2022年数列拔高难题训练

1、2017 数列拔高训练1、已知数列 an满足 a1=2，an+1=2an+4(1)证明数列 an+4是等比数列并求出an通项公式；(2)若，求数列 bn的前 n 项和 sn2、已知数列 an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2a3=2b3，a32b2=1 (1)求数列 an和bn的通项公式(2)设 cn=an+bn， n n*， 求数列 cn的前 n 项和 sn3、（理科答）已知数列an及等差数列 bn，若 a1=3，an= an1+1（n2 ）， a1=b2，2a3+a2=b4，(1)证明数列 an 2为等比数列；(2)求数列 an及数列 bn的通项公式；(3)

2、设数列 an?bn的前 n 项和为 tn， 求 tn4、已知正项数列an的前 n 项和为 sn， 数列 an满足， 2sn=an（an+1）(1)求数列 an的通项公式；(2)设数列 的前 n 项和为 an， 求证：对任意正整数n，都有 an成立；(3)数列 bn满足 bn= （）nan， 它的前 n 项和为 tn， 若存在正整数n，使得不等式 （2）n1 tn+ 2n1成立，求实数的取值范围5、设正项数列 an的前 n 项和为 sn， 且满足(1)计算 a1， a2， a3的值，并猜想 an的通项公式；(2)用数学归纳法证明an的通项公式6、数列 an的前 n 项和是 sn， a1=5，且

3、an=sn1（n=2，3，4， ）(1)求 sn；(2)求数列 an的通项公式；(3)求证：+ + + + 7、已知各项为正的等比数列an的前 n 项和为 sn， s4=30，过点 p （n， log2an） 和 q （n+2，log2an+1）（ nn*）的直线的一个方向向量为（1， 1）(1)求数列 an的通项公式；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 28 页 - - - -

4、- - - - -(2)设 bn= ，数列 bn的前 n 项和为 tn， 证明：对于任意nn*， 都有tn8、已知函数，数列 an满足(1)求证：数列 是等差数列；(2)求数列 an的通项公式；(3)记 sn=a1a2+a2a3+ +anan+1， 求 sn9、各项均为正数的数列an中， a1=1， sn是数列 an的前 n 项和，对任意nn*， 有2sn=2pan2+panp（pr）(1)求常数 p 的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)记 bn= ，求数列 bn的前 n 项和 t10、已知数列 an满足： a1= ，a2= ，2an=an+1+an1（ n2 ，nn?），数列 bn满足

5、： b10，3bnbn1=n（n2 ，nr），数列 bn的前 n 项和为 sn(1)求证：数列 bnan为等比数列；(2)求证：数列 bn为递增数列；(3)若当且仅当n=3 时， sn取得最小值，求b1的取值范围11、已知递增等比数列an的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项分别减去1，3，9 后成等差数列(1)求an的首项和公比；(2)设 sn=a12+a22+ +an2， 求 sn12、已知 f（ x）=3x22x，数列 an的前 n 项和为 sn， 点（n，sn）（nn*）均在函数y=f（x）的图像上(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn= ，tn是数列 bn的前 n项和，

6、求使得tn对所有 n n*都成立的最小正整数 m13、已知数列 an的前 n 项和为 sn， 对任意的 nn*， 点（ n， sn）恒在函数y= x 的图象上(1)求数列 an的通项公式；(2)记 tn= ，若对于一切的正整数n，总有 tnm 成立，求实数m 的取值范围；精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 28 页 - - - - - - - - -(3)设 kn为数列 bn的前

7、n 项和，其中bn=2an， 问是否存在正整数n，t，使成立？若存在，求出正整数n，t；若不存在，请说明理由14、已知等差数列an的各项均为正数，且sn= + + + ，s2= ，s3= 设 x表示不大于x 的最大整数（如2.10=2 ，0.9=0）(1)试求数列 an的通项；(2)求 t=log21+log22+log23+ +log2（1）+log2（）关于 n 的表达式15、已知数列 an中， a1=3，a2=5，其前 n 项和为 sn满足 sn+sn2=2sn1+2n1（n3 ，nn* ）(1)试求数列 an的通项公式(2)令 bn= ，tn是数列 bn的前 n 项和证明：对任意给定的

8、m（0，），均存在n0n* ，使得当nn0时， tnm 恒成立16、已知数列 an满足 a1=1，an+1=2an3（ 1）n（n n*）(1)若 bn=a2n1，求证： bn+1=4bn；(2)求数列 an的通项公式；(3)若 a1+2a2+3a3+ +nan ?2n对一切正整数n 恒成立，求实数 的取值范围17、已知等差数列an，a2=8，前 9 项和为 153(1)求 a5和 an；(2)若，证明数列 bn为等比数列；18、一列火车从重庆驶往北京，沿途有n 个车站（包括起点站重庆和终点站北京）车上有一邮政车厢，每停靠一站便要卸下火车已经过的各站发往该站的邮袋各1 个，同时又要装上该站发往

9、以后各站的邮袋各1 个，设从第k 站出发时，邮政车厢内共有邮袋ak个（k=1，2， ，n）(1)求数列 ak的通项公式；(2)当 k 为何值时， ak的值最大，求出ak的最大值19、已知 an是递增的等差数列，a2， a4是方程 x2 5x+6=0的根（i）求 an的通项公式；（ii）求数列 的前 n 项和20、数列 an满足 a1=1，nan+1=（n+1）an+n（ n+1）， nn*（ ）证明：数列 是等差数列；（ ）设 bn=3n? ，求数列 bn的前 n 项和 sn精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - -

10、 - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 28 页 - - - - - - - - -21、已知数列 an满足 a1=1，an+1= （ ）求证： an+1an；（ ）求证：an 22、已知数列 an的前 n 项和为 sn， a1=1，且 nan+1=2sn（n n*），数列 bn满足 b1= ，b2= ，对任意 nn+， 都有 bn+12=bn?bn+2（i）求数列 an，bn的通项公式；（ii） 设anbn的前 n 项和为 tn， 若 tn对任意的nn+恒成立，求 得取值范围23、已知数列 an是非常

11、值数列，且满足an+2=2an+1an（nn*），其前n 项和为 sn， 若s5=70，a2， a7， a22成等比数列（ i）求数列 an的通项公式；（ ii）设数列的前 n 项和为 tn， 求证：24、数列 an中，（ ）求 a1， a2， a3， a4；（ ）猜想 an的表达式，并用数学归纳法加以证明25、设数列 an满足 a1=a， an+1=can+1 c（nn*），其中 a， c为实数，且c0 （ ）求数列 an的通项公式；（ ）设，求数列 bn的前 n 项和 sn26、已知 a（x1， y1）， b（x2， y2）是函数的图象上的任意两点（可以重合），点m 在直线 x=上，且=（

12、 ）求 x1+x2的值及 y1+y2的值（ ）已知 s1=0，当 n2 时， sn=+， 求 sn；（ ）在（ ）的条件下，设an=， tn为数列 an的前 n 项和，若存在正整数c、m，使得不等式成立，求c 和 m 的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 28 页 - - - - - - - - -答案解析部分一、综合题1、【答案】 （1）证明：a1=2，a1+4=2，an+1=

13、2an+4，an+1+4=2an+8=2（an+4），an+4是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，由上知，（2）解：， 得：= =2+2n+12（ n+1）2n+1=n?2n+1【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】（ 1）利用已知条件转化求解数列an+4是等比数列，然后求出an通项公式（ 2）化简数列通项公式bn， 利用错位相减法求和求解即可2、【答案】 （1）解：设数列 an是公差为d 的等差数列，bn是各项均为正数且公比为q的等比数列，由 a1=b1=1， b2a3=2b3， a32b2=1，可得 q（ 1+2d）=2q2， 1+2d2q= 1，解得 d=，q= ，可得

14、 an=a1+（n1） d=1（n1）= （ 3n）；bn=b1qn1=（）n1， n n* （2）解： cn=an+bn= （3n） +（）n1，可得数列 cn的前 n 项和 sn= n（1+ 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 28 页 - - - - - - - - -） + =n2+ n+2 【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】（ 1）设数列 an是公差为d

15、的等差数列， bn是各项均为正数且公比为q的等比数列，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得公差和公比，即可得到所求通项公式；（2）求出 cn=an+bn= （3 n）+（）n1， 运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和3、【答案】 （1）证明： a1=3，an= an1+1（n2 ），an2= （an12），则数列 an2为首项为1，公比为的等比数列（2）解：（由（1）可得 an2=（）n1，即为 an=2+（）n1，a1=b2=3，2a3+a2=b4=2（2+ ）+2+ =7，可得等差数列 bn的公差 d= =2，则 bn=b2+（n2

16、） d=3+2（ n2）=2n1 （3）证明：数列 an?bn的前 n 项和为 tn，an?bn=2+（）n1（2n1）=2（ 2n1）+（2n1）?（）n1，设 sn=1?（）0+3?（）+5?（）2+（2n 1）?（）n1，sn=1?（）+3?（）2+5?（）3+（2n1）?（）n，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 28 页 - - - - - - - - -相减可得，sn=

17、1+2（）+（）2+（）3+（）n1（ 2n1）?（）n=1+2 （ 2n1）?（）n，化简可得sn=6，则 tn=2? n（1+2n 1）+6=2n2+6【考点】 等差数列与等比数列的综合【解析】 【分析】（ 1）an= an1+1 的两边减2，再由等比数列的定义即可得证；（2）运用等比数列和等差数列的通项公式，计算即可得到；（3）求得 an?bn=2+（）n1（ 2n1）=2（2n1）+（2n1）?（）n1， 再由数列的求和方法：分组求和和错位相减法，结合等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和4、【答案】（1）解：，当 n2 时，两式相减得：，所以（ an+an1）（ anan11）=

18、0因为数列 an为正项数列，故an+an10 ，也即 anan1=1，所以数列 an为以 1 为首项 1 为公差的等差数列，故通项公式为an=n，nn*（2）解：= ，所以对任意正整数n，都有成立（3）解：易知，则， ，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 28 页 - - - - - - - - - 可得：故，所以不等式成立，若 n 为偶数，则，所以设，则 y=2t+t2+1=（t

19、1）2在单调递减，故当时，所以；若 n 为奇数，则，所以设，则 y=2tt21=（ t1）2在（ 0，1单调递增，故当 t=1 时， ymax=0，所以 0综上所述， 的取值范围 0 或【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】 （1）根据数列的递推公式即可求出数列an的通项公式，（2）= = ，利用放缩法即可证明，（3）先利用错位相减法求出数列 bn的前 n 项和为 tn， 不等式（ 2）n1 tn+ 2n1成立，转化为成立，分n 为偶数和奇数，根据函数的性质即可求出实数 的取值范围5、 【答案】 （1） 解：当 n=1 时，得 a1=1；，得 a2=2，得 a3=3，猜想 an=n

20、 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 28 页 - - - - - - - - -（2）解：证明：（）当 n=1 时，显然成立，（）假设当n=k 时， ak=k，则当 n=k+1 时，= ，整理得：，即 ak+1（ k+1）ak+1+（k1）=0，结合 an0，解得 ak+1=k+1，于是对于一切的自然数nn*， 都有 an=n 【考点】 数列递推式，数学归纳法，数学归纳法【解析】

21、 【分析】（ 1）利用递推关系式求解数列a1， a2， a3的值，猜想 an的通项公式；（ 2）利用数学归纳法的证明步骤，逐步证明即可6、【答案】 （1）解：由an=sn1， ，得： an+1=sn， 得： an+1 an=snsn1=an，即 an+1=2an， （ n2 且 nn*），a2=s1=a1=5，故数列从第二项起，各项成等比数列且公比为2，nn*（2）解：当n=1 时， a1=5，当 n2 ，且 nn*时，=5?2n2故数列 an的通项公式为（3）证明：当n=1 时，= ，成立，当 n2 且 n n*时，= = = 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - -

22、- - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 28 页 - - - - - - - - -= + + + + 【考点】 数列与不等式的综合【解析】 【分析】 （1） 由 an=sn1， 得 an+1=2an，（n2 且 nn*） ，由此能求出sn（2）当 n=1 时， a1=5，当 n2 ，且 nn*时，=5?2n2 由此能求出数列an的通项公式 （3）当 n=1 时，= ，成立，当n2 且 nn*时，= ，由此能证明+ + + 7、【答案】（1） 解：

23、 各项为正的等比数列an的前 n 项和为 sn， s4=30，过点 p （n，log2an）和 q（ n+2，log2an+1）（ nn*）的直线的一个方向向量为（1， 1），解得， q=4，an= （2）解： bn= = = （），数列 bn的前 n 项和：tn= （+ + + + + ）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 28 页 - - - - - - - - -= （）

24、= （+ ）对于任意 nn*， 都有 tn【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】（ 1）利用等比数列前n 项和公式及直线的方向向量性质列出方程组，由此能求出首项和公比，从而能求出数列an的通项公式（2）由 bn= = （），利用裂项法能证明对于任意nn*， 都有 tn8、【答案】 （1）证明： 函数，数列 an满足，=3+ ，=3，=1，数列 是首项为1，公差为3 的等差数列（2） 解： 数列 是首项为 1，公差为3 的等差数列，=1+ （n 1） 3=3n 2，an= （3）解： anan+1= = （），sn=a1a2+a2a3+ +anan+1精品学习资料 可选择p d f

25、- - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 28 页 - - - - - - - - -= （1+ + + + ）= = 【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】（ 1）由已知利用函数性质得，从而=3+ ，由此能证明数列 是首项为1，公差为 3 的等差数列（2）由=1+ （n1） 3=3n 2，能求出an （3） anan+1= = （） ，利用裂项求和法能求出sn9、 【答案】 （1） 解： a1=1，对

26、任意的nn* ，有 2sn=2pan2+panp 2a1=2pa12+pa1p，即 2=2p+pp，解得 p=1 （2）解： 2sn=2an2+an1， 2sn1=2an12+an11，（ n2 ）， 即得（ anan1）（ an+an1）=0，因为 an+an10 ，所以 anan1 =0，（3）解： 2sn=2an2+an1=2 ，sn= ，=n?2ntn=121+222+ +n?2n又 2tn=122+223+（n 1）?2n+n2n+1 tn=121（ 22+23+ +2n）+n2n+1=（n 1）2n+1+2 tn=（n1） 2n+1+2 【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【

27、分析】 （1）根据 a1=1，对任意的nn* ，有 2sn=2pan2+panp，令 n=1，解方程即可求得结果；（2）由 2sn=2an2+an1，知 2sn1=2an12+an11，（ n2 ），所以（ an an精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 28 页 - - - - - - - - -11）（an+an1）=0，由此能求出数列an的通项公式（3）根据求出数列bn的通

28、项公式，利用错位相减法即可求得结果10、 【答案】 （1）解： 2an=an+1+an1（n2 ，nn?）， an是等差数列又 a1= ，a2= ，（ n2 ，nn*），bn+1an+1= = = = 又，bnan是以为首项，以为公比的等比数列（2）证明： bnan=（b1）?（）n1，当 n2 时， bnbn1= 又 b10，bnbn10bn是单调递增数列精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

29、 13 页，共 28 页 - - - - - - - - -（3）解： 当且仅当 n=3 时， sn取最小值 ，即，b1 （ 47， 11）【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】 （1）由已知得 an是等差数列，bn+1an+1= = 由此能证明 bnan是以为首项，以为公比的等比数列（2）由得当 n2 时， bnbn1= 由此能证明bn是单调递增数列（3）由已知得，由此能求出 b1的取值范围11、【答案】 （1）解：根据等比数列的性质，可得a3?a5?a7=a53=512，解之得a5=8设数列 an的公比为q，则 a3= ，a7=8q2，由题设可得（1）+（8q29）=2（83）

30、=10 解之得 q2=2 或an是递增数列，可得q1，q2=2，得 q= 因此 a5=a1q4=4a1=8，解得 a1=2 （2）解：由（ 1）得 an的通项公式为an=a1?qn1=2 = ，an2= 2=2n+1，可得 an2是以 4 为首项，公比等于2 的等比数列因此 sn=a12+a22+ +an2= =2n+24 【考点】 数列的求和，等差数列与等比数列的综合【解析】【分析】 （1） 根据题意利用等比数列的性质，可得a53=512，解出 a5=8设公比为 q，得 a3= 且 a7=8q2， 由等差中项的定义建立关于q 的方程，解出q 的值，进精品学习资料 可选择p d f - - -

31、 - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 28 页 - - - - - - - - -而可得 an的首项； （2）由（1）得 an=a1?qn1= ，从而得到an2= 2=2n+1，再利用等比数列的求和公式加以计算，可得求sn的表达式12、 【答案】 （1） 解： f （x） =3x22x，数列 an的前 n 项和为 sn，点 （n，sn） （nn*）均在函数y=f（x）的图像上，当 n2 时， an=sn sn1=（3n2

32、2n） 3（ n1）2 2（n1）=6n5，当 n=1 时， a1=s1=32=1，满足上式，an=6n5，nn*（2）解：由（ 1）得= = ，tn= = ，使得 tn对所有 nn*都成立的最小正整数m 必须且仅须满足，即 m 10， 满足要求的最小整数m=10 【考点】 数列的求和【解析】 【分析】（1） 由已知条件推导出，由此能求出an=6n5，n n*（ 2）由= = ，利用裂项求和法求出tn= ，由此能求出满足要求的最小整数m=1013、【答案】 （1）解：由已知，得当 n2 时， an=sn sn1= =3n 当 n=1 时， a1=s1=3an=3n （2）解：当 n=1 时，

33、tn+1tn， 即 t2t1；当 n=2 时， tn+1=tn， 即 t3=t2；当 n3时， tn+1tn， 即 tntn1 t4t3tn中的最大值为，要使 tnm 对于一切的正整数n 恒成立，只需精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 28 页 - - - - - - - - -解法二：当 n=1， 2 时， tn+1tn；当 n3 时， n+22n?tn+1 tnn=1 时，

34、 t1=9；n=2，3 时，n4时， tnt3tn中的最大值为，要使 tnm 对于一切的正整数n 恒成立，只需（3）解：将 kn代入，化简得，（）若 t=1 时，显然 n=1 时成立；若 t1 时，（）式化简为不可能成立综上，存在正整数n=1，t=1 使成立【考点】 数列的应用，数列与函数的综合【解析】【分析】（1）利用 an=snsn1求解；（2）要使 tnm 对于一切的正整数n 恒成立，只需 m tn中的最大值即可；（3）求解有关正整数n 的不等式14、【答案】 （1）解： sn= + + + = （），s2= ，s3= ，（） = ，（）= ，a1=1，d=1，an=n （2）解： t=

35、log21+log22+log23+ +log2（1） +log2（） =log21+log22+log23+ +log2（2n 1）+log2（ 2n） log21=0，log22=log23=1，log22m=log2（m+1）= =log2（m+11） =m精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 28 页 - - - - - - - - -log21+log22+log23+

36、 +log2（2n1）+log2（2n）=0+12+222+（n 1）?2n1+n，由 s=1 2+222+（n1）?2n1，则 2s=1 22+223+（n1）?2n，s=1 2+1 22+ +2n1（ n1）?2n= （ n 1）?2n，s=（2n）?2n2 t=（2n）?2n2+n 【考点】 数列的应用【解析】 【分析】（1） 利用裂项法求和，结合s2= ，s3= ，即可求数列an的通项；（2）先化简，再利用错位相减法，即可得出结论15、【答案】 （1）解：由sn+sn2=2sn1+2n1（n3 ，n n*），整理得： snsn1=sn1sn2+2n1，an=an1=2n1， 即 ana

37、n1=2n1， n3 ，a2 a1=2，a3a2=4，a4a3=23，anan1=2n1，将上式累加整理得：ana1=2+4+23+ +2n1，an= +3=2n+1，数列 an的通项公式an=2n+1；（2）证明：bn= = = （），数列 bn的前 n 项和 tn=b1+b2+b3+ +bn，= （）+（）+（），= （），tn+1tn= 0，tn随着 n 的增大而增大，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - -

38、- - - - 第 17 页，共 28 页 - - - - - - - - -若 tnm，则（） m，化简整理得：，m （0，），16m0，2n+11，nlog2（1） 1，当 log2（1） 11 时，即 0m，取 n0=1，当 log2（1）11时，解得：m ，记 log2（1）1 的整数部分为 p，取 n0=p+1 即可，综上可知，对任意m（0，），均存在n0n*，使得当nn0时， tnm 恒成立【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】【分析】（ 1）由题意可知snsn1=sn1 sn2+2n1， 即 anan1=2n1， n3 ，采用 “ 累加法 ” 即可求得数列 an的通项公式； （

39、2）由 （1）可知， bn= = = （），采用 “ 裂项法 ” 即可求得数列bn的前 n 项和 tn， 由函数的单调性可知， tn随着 n 的增大而增大，分离参数nlog2（1） 1，分类 log2（1） 11 及 log2（1）11时，求得m 的取值范围，求得n0的值，即可证明存在 n0n* ，使得当nn0时， tnm 恒成立16、【答案】 （1）解：= （2）解： a2=2a1 3（ 1）=5， b1=a21=4，因为 bn+1=4bn所以，所以 bn是等比数列，所以bn=4n=a2n1，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页

40、，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 28 页 - - - - - - - - -，所以，即（3）解：由（ 2），令 s=1?21+2?22+ +n?2n则 2s=1?22+2?23+（n1）?2n+n?2n+1，s=（n1）?2n+1+2 n 为奇数时，n 为偶数时，所以 n 为奇数时，即恒成立，易证递增， n=1 时取最小值，所以n 为偶数时，即，易证递增， n=2 时取最小值，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19

41、 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 28 页 - - - - - - - - -所以综上可得【考点】 数列的求和，数列递推式【解析】 【分析】（ 1）根据数列递推公式即可证明，（2）先求出数列 bn的通项公式，再分类求出 an的通项公式，（3）令 s=1?21+2?22+ +n?2n根据错位相减法求出sn， 分离参数，根据数列的函数特征即可求出 的取值范围17、 【答案】 （1） 设数列 an的公差为d，首项，则a5=17，an=3n+2（2），数列 bn是首项为32，公

42、比为 8 的等比数列【考点】 等差数列的通项公式，等差关系的确定【解析】 知识点：等差数列的通项公式等比关系的确定解析 【分析】 （1）根据前 9 项和为 153 和第五项是前9 项的等差中项，得到第五项的值，根据第二项和第五项的值列出方程求得首项和公差，写出通项公式（2）要证明数列是等比数列，只要相邻两项之比是常数即可，两项之比是一个常数得到结论18、 【答案】 （1）解： a1=n 1，考察相邻两站ak， ak1之间的关系，由题意知k= k1（ k 1）+（nk）， kk1=（n+1） 2k（k2 ）依次让 k 取 2，3，4， ，k 得 k1 个等式，将这k1 个等式相加，得k=nk k

43、2（n，kn+， 1 kn）（2）解：，当 n 为偶数时，取k= ，ak取得最大值；当 n 为奇数时，取k= 或， ak取得最大值【考点】 数列的函数特性精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 20 页，共 28 页 - - - - - - - - -【解析】 【 分析】 本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意数列的性质和应用二、解答题19、【答案】 解：（i）由 x25

44、x+6=0，解得 x=2，3又an是递增的等差数列，a2， a4是方程 x25x+6=0 的根a2=2，a4=3a1+d=2，a1+3d=3，解得 a1= ，d= an= + （n1）= （ii）= 数列 的前 n 项和 sn= + + + = + + + + = + + + = =1sn=2【考点】 数列的求和【解析】 【分析】（ i）由 x2 5x+6=0，解得 x=2，3又 an是递增的等差数列，a2， a4是方程 x25x+6=0 的根可得a2=2，a4=3再利用等差数列的通项公式即可得出（ii）= 利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出20、【答案】 证明（ ）nan+1=（n+

45、1）an+n（n+1），精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 21 页，共 28 页 - - - - - - - - -数列 是以 1 为首项，以1 为公差的等差数列；（ ）由（ ）知，bn=3n? =n?3n，?3n1+n?3n?3n+n?3n+1 得3n n?3n+1= = 【考点】 等比关系的确定，数列的求和【解析】【分析】（ ） 将 nan+1= （n+1） an+n （n+1） 的两

46、边同除以n （n+1）得，由等差数列的定义得证（）由（ ）求出 bn=3n? =n?3n， 利用错位相减求出数列bn的前 n 项和 sn21、【答案】 解：（ ）证明：由a1=1，an+1= ，得 an 0，（ nn），则 an+1an= an= 0，an+1an；（ ）证明：由（）知 0an1，又 an+1= ， = ，即 an+1an，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 22 页，共 2

47、8 页 - - - - - - - - -anan1 （）2an1（）2an1 （）n1a1= ，即 an 由 an+1= ，则=an+ ，=an，=a1=1，=a2= ，=a3=（）2 =an1（）n2，累加得=1+ +（）2+（）n2= =2（）n2，而 a1=1，3 （）n2= = ，an 综上得an 【考点】 数列与不等式的综合【解析】 【分析】 （）由 an0，则做差 an+1an= an= 0，即可证明an+1an；（ ）由 an+1an， anan1 （）2an1（）2an1 （）n1a1= ，则 an 由=an， 采用 “ 累加法 ” 即可求得3 （）n2= = ，即可求得an

48、 22、【答案】 解：（ ）nan+1=2sn， （n1）an=2sn1（n2 ），两式相减得，nan+1（ n1）an=2an，nan+1=（n+1）an， 即= （n2 ），精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 23 页，共 28 页 - - - - - - - - -又因为 a1=1，a2=2，从而=2，an=1 =n（n2 ），故数列 an的通项公式an=n（nn*）在数列 bn中，由

49、 bn+12=bn?bn+2， 知数列 bn是等比数列，首项、公比均为，数列 bn的通项公式bn= ；（ ）tn=a1b1+a2b2+ +anbn= +2 （）2+ +n tn=（）2+2 （）3+（n 1） +n （）n+1由 ，得tn= +（）2+（）3+ + （）n+1=1，tn=2，tn对任意的 nn+恒成立， 对任意的nn+恒成立，设 f（n）= ，f（n） f（n1）= - 0，则 f（n）在 1，+）上单调递减，f（n）f（1）=3恒成立，则 3 满足条件综上所述，实数 的取值范围是（3，+）【考点】 数列的求和，数列递推式，数列与不等式的综合【解析】 【分析】 （）利用 nan

50、+1=2sn， 再写一式，两式相减，再叠乘，即可求数列an的通项公式；在等比数列bn满足 b1= ， b2= ，公比为，由此可得数列bn的通项公式；（ ）利用错位相减法求数列的和，再将不等式转化为 对任意的 nn+恒成立，构造函数，利用函数的性质，即可确定实数的取值范围精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 24 页，共 28 页 - - - - - - - - -23、 【答案】 解：（ i）

51、 因为数列满足an+2=2an+1an（nn*） ，所以 an是等差数列且s5=70，5a1+10d=70a2， a7， a22成等比数列， ，即由 ， 解得 a1=6，d=4 或 a1=14，d=0（舍去），an=4n+2（ ii）证明：由（i）可得，所以所以= = ，数列 tn是递增数列，【考点】 数列的求和，数列递推式，数列与不等式的综合【解析】 【分析】（i）通过 an+2=2an+1an（nn*），判断 an是等差数列，利用s5=70，a2， a7， a22成等比数列求解数列的首项与公差，然后求解通项公式（ii）求出，化简它的倒数，利用裂项消项法求解数列的和，利用数列的单调性证明不等式24、 【答案】 解：（ ），即a1=1，即 a1+a2=4a21，a2=1，即 a1+a2+a3=4a3，a3= ，即 a1+a2+a3+a4=4a