初数学平行线分线段成比例定理

1、初二数学【教学进度】几何第二册第五章§ 5.2教学内容 平行线分线段成比例定理重点难点剖析一、主要知识点1平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。2三角形一边平行线的性质定理（即平行线分线段成比例定理的推论）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。3三角形一边的平行线的判定定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。4三角形一边的平行线的性质定理2（即课本例6）：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边

2、对应成比例。二、重点剖析1平行线分线段成比例定理，是研究相似的最重和最基本的理论，同时， 它也是直接证明线段成比例的最重要方法之一。定理的基本图形ADL 1DAL 1A (D)L 1DAL 1BEL2EBL 2BEL 2B(E)L 2CFL 3CFL 3CFL 3CFL 3图1- （1）图1- （2）图1- （3）图1- （4）ABDEABDEBCEF l1 l2 l 3 EFACDFACDFBC对应线段是指一条直线被两条平行直线截得的线段与另一条直线被这两条平行直线截得的线段对应。为了强调对应和记忆，可以使用一些简单形象化语言记忆上面所列三组比例式：ABDE，可以说成“上比下等于上比下”BC

3、EFABDE，可以说成“上比全等于上比全”ACDFBCEF，可以说成“下比全等于下比全”等ACDF2三角形一边平行线的性质定理1（即平行线分线段比例定理的推论）基本图形精选文库AEDAABCDEBCBC DE图 2-(1)图 2-(2)图 2-(3) DE BC ADAEADAEDBCEDBECABACABAC图 2（ 1），图 2（ 3）称为“ A ”型，图2（ 2）称为“ X ”型推论中“或两边的延长线”是指三角形两边在第三边同一侧的延长线3三角形一边平行线的判定定理是平行线分线段成比例的推论的逆命题。（ 1）这个定理可以用来判定两条直线平行。（ 2）使用时，一定要注意这个定理的前提：截三

4、角形的两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例。4平行线分线段成比例定理的逆命题：三条直线截两条直ADl 1线，截得的对应线段成比例，那么这三条直线平行。它是一个假命题，如图3，其中 AB=BC ，AB DE，但 L1BEl 2l 3DE=EF ，则123不平行。、L 、LBCEF5、三角形一边的平行线的性质定理 2（即课本例 6），这个定理也叫做相似三角形预备定理ADDEAE DE BCABBCAC这时，成比例的线段已经不一定分布在两条直线上。当平行于三角形一边的直线截两边的延长线时，这个定FC图3ADEBC图4理也成立。图 4 是最基本的“ A ”型，课本例 6 中有“ A”型时常A作平行

5、线， 把所要研究的线段中， 与其它线段关系不明显的线段平移到关系明显的线段上去。GE典型例题 F例 1、如图 5，在 ABC 中， D 是 BC 上的点，E 是 AC 上的点， AD 与 BE 交于点 F，若 AE:EC=3:4 ，BDCBD:DC=2:3 ，求 BF:EF 的值。图5分析：求两条线段的比值，可通过平行线截得比例线段定理和已知线段的比发生联系，而图形本身并没有平行线，故需添加辅助线平行线去构造比例线段，进而求出比值。解：过 E 作 EG BC 交 AD 于 G，则在 ADC 中，GEAEDCACAE3AE3EG3又477ECACDC极 EG=3X ， DC=7X （ X>

6、0 ），则 BD2 DB=2 DC27x14 xDC3333BD14 x1433x9EG2精选文库BFBD14又 EGBC， FEEG9例 2、如图 6，DE AB ， EF BC ，AF=5cm, FB=3cm, CD=2cm, 求 BD 。分析 根据条件可知 BDEF 为平行四边形， 由 EF BC ，应用相似三角形的预备定理，得AFEFAB再应用比例性质，即可求出 EF 即 BD 。BC解： DE AB ， EFBC 四边形 BDEF 为平行四边形， BD=EFAFEAFEF又 EF BC， BCBDCAB图 6AFBD5BDBD DCBD 2AF BF5 3解之，得 BD=10 （ c

7、m）3例 3、如图 7， A 、 C、 E 和 B 、 F、 D 分别是 O 的两边上的点，且求证： AF/CD分析 要证明 AF/CD ，应推导出能使AF/CD 的比例线段，由题中图形可知，应证明OAOF ，而由 AB/ED ，OCODBC/FE ，容易得到此关系。AB ED 、 BC FE。ECA证明： AB/ED OAOB OBOCOB FDBC/FE图7OEODOFOE由得 OA ODOB OE由得 OC OFOB OEOA ODOC OF则 OA OFAF/CDOC OD点评：本题是采用的是“公比过渡”的方法来解决问题的，“公比”是指两个或两个以上的比例式中均有一个公共比， A 有时

8、公比是采用乘积式的形式。例 4 如图 8 梯形 ABCD 中， AB/CD ， M 为 AB 的中点，分别连结 AB 、BD 、MD 、MC，且 AC 与 MD 交于E， DB 与 MC 交于 F，求证 EF/CD分析：要证EF/CD ，可根据三角形一边平行线的判定定理证明，首先观察 EF、 CD 截哪个三角形，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可。MBEFD图8C证明： AB/CD CDDEAMEM， CDCF又 AM=BM DECF EF/CDMBFMEMFM点评利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为：（ 1）首先观察欲证平行线截哪个三角形（2）再观察它们截这个三角形

9、的哪两边（ 3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其它相等线段）的比作为中间比例 5 如图 9， A ,B , C ,分别在 ABC 的三边 BC、AC、AB 上或其延长线上，且AA / BB / CC求证：111AABBCCACB分析 所证结论中出现的三条线段的倒数，解决此类问题，一般情况下，要将其转化为线段比的形式。BA图9 C证明： CC / AA CCBCCC /BB CCACAABABBAB3精选文库CCC CBCACB CAC111BBBAABAB1AAAABBCC点评 对于线段倒数和的证明，常见的方法是化倒数形式为线段的比的形

10、式，再利用平行线或相似三角形有关性质进行求解，如本题中， 要证111，只需证 CCC C1 ，即将倒数和的形式化AABBCCAABB为线段比的形式。例6 如图10四边形 ABCD 中， BAD 的平分线交 BD 于 E，AEF/CD 交 BC 于 F，求证：BCAD1BFABEDB分析 结论是两个线段比的差，可分别求出每一组线段的比，再进行减法运算。F证明： AE 平分 BAD ADDEC图10ABBE在 BCD 中 EF/CD DBCBBEBF得BCADDBDE1 BCAD1BFABBEBEBFABA例 7 如图 11， AD 为 ABC 的角平线，BF AD 的延长线于F， AM AD 于

11、 A交 BC 的延长线于 M ， FC 的延长线交 AM 于 E，求证： AE=EM分析要证 AE=EM ，可利用比例缎来证明，而由BF AF ，BD可延长 BF 交 AC 延于 N，构造等腰三角形，FN C利用等腰三角形性质有BF=FN ，再由 BN/AM ，得比例线段，即可得出结论。证明：延长 BF 交 AC 的延长线于N AF BF BFA= NFA=90 0EM图11又 BAF= NAF ，AF=AF ABF ANF BF=NF BF AF AM AF BF/AM BFFC， ENFC BFFNEMECAECE又 BF=FN EM=AEEMAE点评（ 1）有和角平分线垂直线段时常把它延

12、长，构造等腰三角形，利用等腰三角形性质证题（ 2）利用比例证明线段相等主要有以下形式 a1a b aca cbbbacac2a b da c b db dbdacA3aDMEB例 8 如图 12 把线段 AB 分成 2：3 两部分分析 利用平行线分线段成比例定理作图作法； 1. 以点 A 为端点，作射线 AM2. 在 AM 上顺次截 AD=2a ， DE=3a （ a 为任意长）3. 连结 BE，过点 D 作 DC/BE 交 AB 于 C，则点 C 即为所求练习与测试 1 如图 ABC 中， D 、E、 F 分别在 AB 、 AC 、BC 上，且 DE/BC ， EF/AB ，AD=9 ， E

13、F=6，CF=5 ，则 BF=2 直线 DE 分别交 ABC 的边 AB 、 AC 于点 D 、 E，且 AD=4cm ， AE=6cm 、 AB=12cm ，AC=那么 DE/BCC图12AADEDEBFCBC( 第1题)( 第3题)AEDF4B( 第4题)C3 如图 DE/BCAD2 ，DB3精选文库E那么 AC=DEECBC4如图在ABCD 中， E 在 AD 上，ADDCO且 4AE=5DE ，CE 交 BD 于 F，则 BFEFDFGHBC( 第5题)AF5 如图，梯形ABCD 中， AD/BC ，对角线AC 、 BD 相交于 O， CE/AB 交 BD 的延长线于若 OB=6 ，O

14、D=3 ，则 DE=6 如图，已知DC/EF/GH/AB ，AB=30 ，CD=6 ，且 DE：EG： GA=1 ：2： 3，则 EF=GH=7如图，在ABCD 中，O1、 O2、 O3 分别为对角线BD 上三点，且 BO 1=O 1O2=O 2O3=O 3D，连结 AO1 ，并延长交连结 EO3，并延长交 AD 于点 F，则 AD ： FD=E，AB( 第6题)G Al 1FEBl 2C D( 第8题)BC于E，AO2 O3DO1BEC( 第7题)ADEB (第9题) CAD8 图， l1 / l 2 , AF2GB ， BC=4CD ，GE5B若 AE=k EC ，则 k=D9 如图， C

15、D 是 ABC 的角平分线，( 第10题)点E在AC上， ADAE2 ，AC=10 ，求 DEADABAC5F10 如图， CD 是 ABC 中， E 为 AC 的中点，EN MCEFMNBC( 第13题（1）)ADEFBCAG（N）D 为 BC 上的点，且 BD=AB ，求证：GDMAB11 已知， C 是线段 AB 上一点，分别以AC 、BCBCBC为边，在 AB 的同侧作两个等边三角形ACD 和 BCE ，（第13题（2）（第13题（2）AE 交 CD 于 F， BD 交 CG 于 G，求证 FG/ABNEFM12 已知， BD 为 ABC 的角平分线， DE/BC ，AD交 AB 于 E，求证：111ABBCDE13已知，如图（ 1），梯形 ABCD 中， AD/BC ， E、 F 分别在 AB 、 CD 上，且 EF/BC ，EF 分别交 BD 、AC 于 M、N。求证 ME=NF当 EF 向上平移图（ 2）各个位置其他条件不变时，的结论是否成立，请证明你的判断。BC（第13题（2）练习与测试参考解答或提示5精选文库115 ； 2 18cm；3 5,2 ； 4 9：4；59；610， 18；7 9： 1；8 2； 96235AGAEBCEC10提示，过 D 作 DH/AC交BG于H点，则GD，BDDH，又 AE=EC