2022年放缩法证明数列不等式的几种类型和途径(上传)

1、学习必备欢迎下载用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径不等式的证明 ,特别是使用放缩法证明不等式 ,许多同学觉得无从下手 ,老师也觉得教学成效不抱负 .这里仅就用放缩法证明数列不等式谈谈自己的看法,不妥之处请同行指教 .依据建构主义的观点 ,同学在学习时可将学问分成如干模块 ,再对如干模块进行学习 ,经过同化和顺应 ,将学问变成自己的一部分 .常见的放缩方法有 :增加削减某些项 ,增大削减分子 分母,增大减小 被开方数 ,增大减小底数指数,利用二项式定理 ,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等 .对于“和式”数列不等式 ,如能够直接求和，就考虑先求和，再证不等式；如不能或甚难求和，就

2、可考虑使用放缩法证明不等式 .而对于 “和式”数列不等式 ,放缩的最主要目的是通过放缩 ,把原数列变为可求和、易求和的数列 .下面依据实施的途径分为以下五类进行争论:途径 1: 放缩为1类.等差 等差例 1. 求证： 111122232n2证明： 1112232111n2112231n1 n1111122311122n1nn2注 1：此题如放缩为 1n1n 21411n1n122, 就可证明 1111522.223n3注 2： 此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子并不肯定是放缩为1.等差 等差此类型的特点是：通项的结构常与正整数的幂有关.同类不等式仍

3、有：11 12333111n38（从第三项起放缩为： 1n 3 n21n1= 1 n2 n12 n11 ）n1n注 3：如第三项放缩为1n31n1 n n1112n1 n1n n1，就可证明 111233315 .n34 1112.3.17n.4（从第三项起放缩为1n.1n2 n1n112n2 n11）n1 n11 13252122n17162 2n1n>1从其次项起放缩为：12n1 212n1 2 n11122n112 n1，再累加可得 n1222n 2n413352n1 2n12n>1（从第一项起放缩为： n4nn122n2n2n22n11 114212n11，2n12再累加得

4、：左式 <中式=nnn n1右式）23 12232n3n>1n 22 2n12 n1从其次项起放缩为：nn212n nn nnn n12nn n1nn21 nn1=2nn121nn1n11，再累加得：左边 <3n23 n途径 2: 放缩为等比类 .例 2. 求证： 12112211231152 n13证明：2n172n 1, n3412n14172n 1112122112311112n134172212n 1421421n 372373435521213例 3. 1111 33211 13n2证明 1：利用不等式：如 0ai1, i1,2,n ,就1a11a2 1an 1a1

5、a2an 就有： 11 11 332113n 1 113321 13n1 11 23n11122 3n2证明 2：利用 11 nn3 后面例 8 将证原不等式3132123n1n2 真分数的性质 33311 11 11 3323n2 *11 11 11 11 11 332n113n 现证：3323nn均值不等式 111332nn. 13nnn1 11 123n11 n2 n112n2113222n注： 此类型的实质就是通过放缩把原数列变成可以用“错位相减法”求和的新数列（经常是等比数列），有的题例子并不严格是放缩为等比数列（犹如类不等式的）.此类型的放缩手法多样：可以简洁地放大缩小分子分母（犹

6、如类不等式的），或利用重要的不等式（例 3），或采纳固定的程式放缩（如例 2，同类不等式的、）等 .此类型的特点是：通项的结构常与正整数的指数式有关.同类不等式仍有：11 2122111 323222123113323142n1513n2n 从第三项起放缩为：4311 2n12n 3n5 2n3n2n2n 2 n4 , 从第四项起放缩为：13n2n12n 21 220112211122211322n 1 2 2n 1n1, 从第一项起放缩为：11.13 3132121353312n143n1322 n 113n 1（从其次项起放缩为：2 n13n12n 得：左13n24632332n13n25

7、2n363n 142n3433n 13 ）从第一项起放缩为：途径 3: 放缩为 高阶 等差类.例 4. 已知 ansinn n,sn1为其前 n项和. 求证: 当 0x时, 有22 xsin xx ; 1sn.证明：用导数证明，略 . 0nn1,2 112nn12n n1sinn n1n n111nn121111223111snnn11111122311nn121snn11n11sn注： 此类型的实质就是直接利用函数不等式进行放缩. 至于何时使用此法，一是看不等式的结构， 二是多数情形下题目要给出提示 .此类型的特点是：不等式的结构常与函数不等式有关.常见函数不等式如下 : 2 xsin xx

8、tan x0x3 ; xxsin xx x20 ; 1x2cosx1x4xx0 ;32 tan xxx 0x 32 ; ex126x, ex1xx x 20 ; 12xx2282241x1x x0 ;22 xxln 1x 2x x0; x1xln 1xx x1,当且仅当 x0时取等同类不等式仍有： 1. 求证： 当 x>-1 时有： xx1ln 1xx 当且仅当 x0时取等 ；求证： 1123证明： 由导数易证，略 .1ln n1111 .n12n由的结论：取 x1 有： 1ln 111n1nnn1213从而有： 14ln 11111221111112ln33234n11ln 1ln 1

9、34lnln23n1111ln1n23n1ln 111n1nn1112341ln234n1n1123n111231 ，从而原不等式成立 .n途径 4: 增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类 .例 5. 求证：n n121 22 3n n1n n22证明：n12n2nn1n2n1 22 3n1n142nn112n1n2n n121223nn1n n22例 6. 求证：111111 1111 证明：n1 1311 111,22, 34552n1n 2462 n111,62n12n11123512n11111 2462n 1 1111 22462n +得： 11113512n1n1 111n24

10、61 原不等式成立 .2n注： 此类型的放缩手法常见的有：增加 削减某些项 ,增大削减 分子分母,增大减小被开方数等 .此类型的特点是：通项的结构常与正整数的分式、根式有关.同类不等式仍有： 2n11 1+ 11231 2nn 从第一项起放缩为： 2nn121nn1n22n1n1nn , 再累加可得 1112n1n211 由 12n2n11 , 1n1n 2n11 ,., 1n2n2n112nn累加可得 注：此题可加强为： 1211n1n2132 n4证明：设就用累加法可得：得：途径 5: 利用二项式定理放缩类 .例 7. 求证：（1+1 ）（1+ 1 ）（ 1+ 1 ）（ 1+1） 2 n1

11、1352n1证明一：原式（1+1 ） 2 （1+ 1 ） 2 （1+ 1 ） 2 （ 1+1） 2 2n+1（ 1+11） 2 =1+23512 1+22n12n12n12 n12 n12n12 n1（ 1+1 ） 2 （1+1 ） 2 （1+ 1 ） 2 （ 1+1） 21 357135352n1 =2n+12n12n1原不等式成立 .注 1：证明二 , 证明三分别见例 9, 例 10.也可用对偶式进行放缩：设 a=2462n,b= 3572n11352 n12462n2明显 ab, a 234 5ab=12342n2n12n1 =2n+1a2 n2n1例 8. 求证： 2（ 1+ 1 n

12、3 n1n0证明： 1n1=c0 +c11 +c2 1.cn 1 c+c11 =2nnn nn n 2n nnnn nn11=c0 +c11 +c2 1.cn1nnn nn n 2n nn=1+1+nn112.n2nn1 n3.21n3nn1 n2.3 2 11n.nn1+1+ 111 2+ 111=3-2.3.1 3nn.1 22 3n1 n注 2：此类型的特点是：不等式的结构常与二项式有关.同类不等式仍有： 2 n 2n+2 n 3; 2 n n 2n22 n 2; 3 n n+22n 1 n 1（ 1+ 1 ）（ 1+ 1 ）（1+ 1 ）（ 1+1） 33n2 n 12583n12 从

13、第一项起放缩为 :1313n1133n13n2 3n1nnn n 1 n+1 n n 3n（ n1nnc 1nn 1c 2nn 2ccnn 1nnnnnnn n 1nn2.1 nn 2nnn1.2 n1.n. 1n. nn1 nn1.1 nn2.1nnnn n2.nnnnnnnnnnn nnnn 1 ） 1+1 n 1+n1n 1n1n 1n 111法一： n1nn2n1n21n1n21nn2n2n1n2n 33n2n11n3n2n1 nn1nn1 2n1n1 2n1n1 2n1=n33n 23n11 （法二见途径 6 练习）途径 6: 利用均值不等式放缩类 .例 9. 求证：（1+1 ）（1

14、+ 1 ）（ 1+ 1 ）（ 1+1） 2 n1 前面例 7 之证明二 135证明二: 左边= 24 62n2n12 4 62n2n11 352n1 133557 2n12n1>2 4 62n2n12 4 62 n2n12 n1右边13 35572222 n12 n122 4 62 n同类不等式仍有 : 1 22 3nn1 nn22 从第一项起放缩为 :nn1nn122n1 , 再累加2 1111n23n111 左> n n1231n n111 nnnn1n n n1 nnnnn右边 1+1 n 1+n1n 1n1n 1（ 1+1 n =取等条件不成立 ）n途径 7: 利用数列单调性放缩类 .这是证明数列不等式的一大类方法, 即构造一个新的数列 , 通过判定其单调性来证明不等式, 许多有关数列的不等式都可以用此法进行证明. 常见的构造方法是作差或作商 .例 10. 求证：（ 1+1 ）（1+1 ）（1+ 1 ）（ 1+1）2 n1 前面例 7 之证明三 证明三: 设 an11111311351 152n112n1就 an 12n112n12 n24n 28n432 n12n234n8n312n11an从而