《拉普拉斯变换 》ppt课件

1、 第三章第三章 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质 小小 结结 3.1 3.1 引言引言 傅立叶分析工具在研讨信号和线性时不变系傅立叶分析工具在研讨信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有缺乏之处。换有缺乏之处。1 1、要求信号、要求信号f(t)f(t

2、)绝对可积。而有些常用绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。信号不满足该条件。2、有些重要函数如、有些重要函数如eat (a0) 的傅立叶变换的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处置。不存在，无法用傅立叶分析方法处置。而拉氏变换作为傅氏变换的推行，处理了上述缺乏。而拉氏变换作为傅氏变换的推行，处理了上述缺乏。拉氏变换与傅氏变换的关系：拉氏变换与傅氏变换的关系：1、傅立叶变换是将时间函数、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷分解为无穷多项虚指数信号多项虚指数信号ej t之和。之和。 deFtftj)(21)(2、拉普拉斯变换是将时间函数、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复分

3、解为无穷多项复指数信号指数信号est之和。其中之和。其中s= +j s称为复频率称为复频率 dsesFjtfts)(21)( 3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推行、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推行 3.1 3.1 引言引言 3.2 3.2 拉普拉斯变换拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换1 1、傅立叶变换定义、傅立叶变换定义当函数当函数f(t)满足狄里赫利条件时满足狄里赫利条件时 deFtftj)(21)( dtetfFtj )()(2 2、当函数不满足绝对可积条件时、当函数不满足绝对可积条件时0)(lim ttetf tetf )(F F)( bF dteet

4、ftjt )( dtetftj)()( )1()()( dtetfsFstb一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换te称为收敛因子称为收敛因子其中其中dtetfst)(令令s=+j由于上式中由于上式中t为积分变量为积分变量,故积分结果必为故积分结果必为s的函数的函数将将f(t)乘以衰减因子乘以衰减因子e-t ( 为为 一实常数一实常数 ) ，恰当地选取，恰当地选取 的值的值 就有可以使就有可以使f(t)e-t 变得绝对可积，即变得绝对可积，即令令s= +j ，,因因 为常数，所以为常数，所以d = 1/j ds，且当，且当时，时，s j 进展积分换元进展积分换元用傅立叶反

5、变换的定义方法求拉氏反变换用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换 desFetftjbt)(21)( deesFtftjtb)(21)(两边同乘两边同乘e t)2()(21)( jjtsbdsesFjtf (1)式和式和(2)式为双边拉普拉斯变换对式为双边拉普拉斯变换对一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换二、拉普拉斯变换定义二、拉普拉斯变换定义1 1、双边拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换)2()(21)( jjtsbdsesFjtf )1()()( dtetfsFstbs称复频率，称复频率，Fb(s)称信号的复频谱称信号的复频谱2 2、单边拉普拉斯变换、单边拉普拉斯变换f(

6、t)为有始函数，即为有始函数，即t0,幅度发散幅度发散 0的任何值，都有的任何值，都有0)(lim ttetu 所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面3. 线性增长信号线性增长信号 tn0lim tntet 对于对于 0的任何值，都有的任何值，都有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面的右半面平面的右半面 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域4. 指数函数指数函数0lim ttatee 3.3 3.3 拉普拉斯变换的收敛域拉普拉斯变换的收敛域te只需当只需当 时，才有时，才有所以其收敛域为所以其收敛域为s平面上平面上 的部分的部分. 3.4 3.4 常用函数的拉

7、普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换设设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换为有始函数，只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号、单位阶跃信号u(t)L L )(tu 0dtest|0sests1 即即stu1)(L L ate 0dteestatas 1即即L L ateas 12、指数函数、指数函数te3、 tn n为正整数为正整数 L L nt 0dtetstn 010|dtentseeststnststn 01dtetsnstnL L nt1! nsn即即L L t21s 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换4、正弦函数、正弦函数)(21sintjtjeejt t si

8、nL L那那么么 )(21tjtjeej LL)11(21 jsjsj 22 s 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换即即 22sin stL L同理同理 22cos sstL L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换5、冲激函数、冲激函数(t) 1)()(0 dtettst L L 1)( t L L即即同理同理 0)(0stett L L 3.4 3.4 常用函数的拉普拉斯变换常用函数的拉普拉斯变换 3.5 3.5 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 利用拉氏变换进展系统分析时，经常需求从象函利用拉氏变换进展系统分析时，经常需求从象函数数F(s)求

9、出原函数求出原函数f(t)。 一、部分分式法一、部分分式法01110111)()()(asasasabsbsbsbsDsNsFnnnnmmmm 其中，其中，ai ,bj均为实数，均为实数，m，n为正整数为正整数 部分分式法的本质：将部分分式法的本质：将F(s)展开为简单分式之和，展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。再逐项求出其拉氏反变换。一、当一、当m mn n时时 设设N(s)比比D(s)高高r阶阶 将将F(s)化为化为s的多项式与真分式之和的多项式与真分式之和 )()()(2210sBsAsgsgsggsFrr 那么其拉氏反变换为：那么其拉氏反变换为： )()()()()()(1)

10、(10sBsAtgtgtgtfrrL 一、部分分式法一、部分分式法二、二、F(s)F(s)为真分式的情况为真分式的情况1、D(s)=0 的根为单实根的根为单实根)()()()()()(21nnpspspsasNsDsNsF 将上式展开为将上式展开为 n个简单分式之和，即个简单分式之和，即 )()()()(1)(2211nniinpskpskpskpskasF niiinpska1)(1其中，其中，ki为待为待定系数定系数 一、部分分式法一、部分分式法 1.为了确定为了确定ki，在方程两端同时乘以因子，在方程两端同时乘以因子(s-pi) ，再令再令s=pi ，那么，那么) 35 . 3()()(

11、)(ipsinisDsNpsak 一、部分分式法一、部分分式法iipsniniiinpsipspskkpspskpspskasDpssN)()()()()()(1)()(2211或用罗比塔法那么导出另一公式：或用罗比塔法那么导出另一公式： 当当s=pi时，时， (s-pi)和和D(s)均为零，所以均为零，所以 由罗比塔法那么由罗比塔法那么可以求得可以求得)()()(lim)()()(limsDdsdsNpsdsdasDsNpsakipsnipsniii)45 . 3()()(ipsnisDsNak 一、部分分式法一、部分分式法 确定了确定了ki 之后，求出各简单分式对应的之后，求出各简单分式对

12、应的时间函数，迭加后即为时间函数，迭加后即为f(t)nitpinniiintuekapskatfi111)(11)(L 一、部分分式法一、部分分式法例：知例：知231)(2 sssF求求f(t)解：解：)2)(1(23)(2 sssssD有两个互异实根有两个互异实根将将F(s)展开为部分分式：展开为部分分式：21)(21 sksksF 一、部分分式法一、部分分式法21)(21 sksksF1) 2)(1(1) 1()() 1(|111 ssssssFsk1) 2)(1(1) 2()() 2(|222 ssssssFsk2111)( sssF即即 一、部分分式法一、部分分式法所以：所以： )()

13、(2tueetftt 、D(s)=0 的根为重实根的情况的根为重实根的情况设设p1为为r重实根重实根)()()()()()(1)(11111211211) 1( 111nnrrrrrrnpskpskpskpskpskpskasF 式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同 一、部分分式法一、部分分式法1)()()(11psrnrsDsNpsak 1)()()(1)1(1psrnrsDsNpsdsdak 1)()()()!(1)()(1psririrnisDsNpsdsdirak 含有重极点因子的部分分式系数求法如下：含有重极点因子的部分分式系数

14、求法如下： 一、部分分式法一、部分分式法 nritpintprrrrniekaektktrktrkatf111122) 1( 1111)!2()!1(1)(1 一、部分分式法一、部分分式法、D(s)=0 的根为共轭复根的情况的根为共轭复根的情况由于由于D(s)的系数均为实数，所以有复的系数均为实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。根出现时，必为成对的共轭复根。 一、部分分式法一、部分分式法设设)( js 那那么么)()()()(1sDjsjssNsF )()()()(1sDjsjssNsF 用上面所讲方法进展部分分式展开用上面所讲方法进展部分分式展开这种方法要进展复数运算，比较费事这种方

15、法要进展复数运算，比较费事配方法配方法)()()()(122sDsMsbassF 一、部分分式法一、部分分式法知正弦函数知正弦函数 22)()(sin stutetL L 22)()(cos sstutetL L余弦：余弦：所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下方式：法写成如下方式：22)( s或或22)( ss 一、部分分式法一、部分分式法例：例：52)(2ssssFjs21 极点为极点为222) 1(11)(sssF22222) 1(2212) 1(1sss)(2sin21)(2cos)(tutetutetftt 一、部分分式法一、部分分

16、式法 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质1、线性性质、线性性质假假设设 , )()(11sFtf L L )()(22sFtf L L那那么么 )()()()(22112211sFasFatfatfa L L2、时间平移、时间平移假假设设 )()(sFtf L L那那么么 0)()()(00stesFttuttf L L例：周期函数例：周期函数f(t)，周期为，周期为T，假设，假设f1(t)表示从表示从t=0开开场场 的第一个周期的波形，且的第一个周期的波形，且f1(t)的拉氏变换为的拉氏变换为F1(s)， 求求f (t)的拉氏变换的拉氏变换解：解： )2()2()(

17、)()()(111TtuTtfTtuTtftftf且且 ,)()(11sFtf L L sTsTesFesFsFtf2111)()()()(L L)1)(21 sTsTeesFsTesF 11)(1 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质3、s域平移域平移假假设设 )()(sFtf L L那那么么 )()(00ssFetfts L L4、尺度变换、尺度变换假假设设 )()(sFtf L L那那么么 0)(1)( aasFaatfL L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质5、时域微分、时域微分假假设设 )()(sFtf L L那那么么)0()()(

18、 fssFdttdfL L)0()0()()(222 fsfsFsdttfdL L)0()0()0()()()1(21 nnnnnnffsfssFsdttfdL L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质 当当f(t)为有始函数时，为有始函数时，f(0-), f(0-), f(n-1)(0-)均为均为0，此时，此时)()(sFsdttfdnnn L L 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质6、时域积分、时域积分假假设设 )()(sFtf L L那那么么ssFdft)()(0 L LsdfssFdft 0)()()( L L 3.6 3.6 拉普拉斯

19、变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质7、s域微分特性域微分特性假假设设 )()(sFtf L L那那么么)()()(tftdssdF )()()(tftdssFdnnn 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质8、s域积分特性域积分特性假假设设 )()(sFtf L L那那么么ttfdssFs)()(11 9、初值定理、初值定理假设函数假设函数f(t)及其导数及其导数f (t)存在拉氏变换，那么存在拉氏变换，那么f(t)的初的初值为：值为：)(lim)(lim)0(0ssFtffst 3.6 3.6 拉普拉斯变换的根本性质拉普拉斯变换的根本性质10、终值定理、终值定理假设函数假设函数f(t)及其导数及其导数f (t)存在拉氏变换，且存在拉氏变换，且sF(s)的的一切极点都位于一切极