分部积分法-复合分部积分法公式

1、分部积分法分部积分法 前面我们在复合函数微分法的基前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法将介绍另一种基本积分方法分部分部积分法，它是两个函数乘积的微分法积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。则的逆转。问题问题 ?dxxex解决思路解决思路利用两个函数乘积的求导法则利用两个函数乘积的求导法则.设设函函数数)(xuu 和和)(xvv 具具有有连连续续导导数数, ,vuvuuv , vuuvvu ,dxvuuvdxvu .duvuvudv 分部积分公式分部

2、积分公式一、基本内容一、基本内容注注分部积分公式的特点：等式两边分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置互换位置分部积分公式的作用：当左边的积分分部积分公式的作用：当左边的积分 udv不易求得，而右边的积分不易求得，而右边的积分 vdu容易求得容易求得利用分部积分公式利用分部积分公式化难为易化难为易例例1 1 求积分求积分.cos xdxx解（一）解（一） 令令,cosxu dvdxxdx 221 xdxxcos xdxxxxsin2cos222显然，显然， 选择不当选择不当，积分更难进行，积分更难进行.vu ,解（二）解（二） 令令,xu dvxdxdx sincos xdxxcos

3、xxdsin xdxxxsinsin.cossinCxxx 分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u,v 一般来说，一般来说， u,v 选取的原则是：选取的原则是：（1）积分容易者选为）积分容易者选为v （2）求导简单者选为）求导简单者选为u分部积分法的分部积分法的实质实质是：将所求积分化为两个积分是：将所求积分化为两个积分之差，积分容易者先积分。之差，积分容易者先积分。实际上是两次积分。实际上是两次积分。例例2 2 求积分求积分.2 dxexx解解,2xu ,dvdedxexx dxexx2 dxxeexxx22.)(22Cexeexxxx （再次使用分

4、部积分法）（再次使用分部积分法）,xu dvdxex 总结总结 若被积函数是幂函数和正若被积函数是幂函数和正(余余)弦函数弦函数或幂函数和指数函数的乘积或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函就考虑设幂函数为数为 , 使其降幂一次使其降幂一次(假定幂指数是正整数假定幂指数是正整数)u例例3 3 求积分求积分.arctan xdxx解解令令,arctanxu dvxdxdx 22 xdxxarctan)(arctan2arctan222xdxxx dxxxxx222112arctan2 dxxxx)111(21arctan222 .)arctan(21arctan22Cxxxx 若被积函数是幂函

5、数和对数函数或幂若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为数或反三角函数为 .这样使用一次分部积分这样使用一次分部积分公式就可使被积函数降次、简化、代数化、公式就可使被积函数降次、简化、代数化、有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。有理化。目的、宗旨只有一个：容易积分。u例例4 4 求积分求积分.ln3 xdxx解解,ln xu ,443dvxddxx xdxx ln3 dxxxx3441ln41.161ln4144Cxxx 总结总结例例5 5 求积分求积分.)sin(ln dxx解解 dxx)sin(ln )s

6、in(ln)sin(lnxxdxx dxxxxxx1)cos(ln)sin(ln )cos(ln)cos(ln)sin(lnxxdxxxx dxxxxx)sin(ln)cos(ln)sin(ln dxx)sin(ln.)cos(ln)sin(ln2Cxxx 注注：本题也可令：本题也可令xtln 分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一定要加上积分常数定要加上积分常数C例例6 6 求积分求积分.sin xdxex解解 xdxexsin xxdesin )(sin

7、sinxdexexx xdxexexxcossin xxxdexecossin )coscos(sinxdexexexxx xdxexxexxsin)cos(sin xdxexsin.)cos(sin2Cxxex 注意循环形式注意循环形式例例7dxx 3sec解解dxx 3sec xxdtansecdxxxxx sectantansec2 xdxxdxxx3secsectansec xdxxxxx3sec)tanln(sectansecCxxxxxdx )tanln(sec21tansec21sec3例例8)(sinNnxdxn 解解xdxxdxnncossinsin1 xdxnxxxnn22

8、1sin)1(coscossin xdxnxxnn21sin)1(cossin xdxnnsin)1( xdxnnxxnxdxnnn21sin1cossin1sin若设若设 xdxInnsin则上述计算公式可表为则上述计算公式可表为211cossin1 nnnInnxxnI递推公式递推公式反复使用递推公式，最后归结为求反复使用递推公式，最后归结为求xsin的一次幂或零次幂的不定积分的一次幂或零次幂的不定积分例例9dxeexx arctan解一解一令令xeu dxeexx arctanduuuu 1arctan )1(arctanuudduuuuu2111arctan1 duuuuuu11arc

9、tan12Cuuuu )1ln(21lnarctan12Cexeexxx )1ln(21arctan2解二解二直接分部积分直接分部积分dxeexx arctan xxdeearctandxeeeeexxxxx21arctan dxeeexxx 211arctan对对 dxex211分子分母同乘以分子分母同乘以xe dxex211dxeeexxx )1(2令令xeu duuu )1(12)1ln(21ln2uu 或或分子分母同乘以分子分母同乘以xe2 dxex211 dxeeexxx)1(222)()1(121222xxxedee 令令xet2 dttt)1(121 dttt11121)1ln(

10、ln21tt 解三解三彻底换元彻底换元令令xetarctan 则则txtanln tdttdx2sectan1 dxeexx arctantdtttt2sectan1tan dttt2sin1 tdttdcot tdtttcotcotCttt sinlncotCeeeexxxx 21lnarctanCexeexxx )1ln(21arctan2例例10dxxexxx )1(1分析分析需要将需要将xxe作为整体来考虑作为整体来考虑解解分子分母同乘以分子分母同乘以xedxxexxx )1(1dxxexeexxxx )1()1(令令xxet dttt)1(1Ctt )1ln(lnCxexxx )1l

11、n(ln例例1111 求积分求积分 .1arctan2dxxxx解解 ,1122xxx dxxxx21arctan 21arctanxxd)(arctan1arctan122xdxxx dxxxxx222111arctan1 dxxxx 2211arctan1令令txtan dxx 211 tdtt22sectan11 tdtsecCtt )tanln(secCxx )1ln(2 dxxxx21arctanxx arctan12 .)1ln(2Cxx 例例12 xdxex cos解解 xdxex cos xxde cos1 xdxexexx sincos1 xxxdexe sincos12 xdxexexexxx cossincos1222 Cxxexdxexxsincoscos22 类似地有类似地有 Cxxexdxexxcossinsin22 例例1313 已 知已 知)(xf的 一 个 原 函 数 是的 一 个 原 函 数 是2xe , 求求 dxxfx)(. 解解 dxxfx)( )(xxdf,)()( dxxfxxf,)(2 Cedxxfx ),()(xfdxxf 两边同时对两边同时对 求导求导, 得得x,2)(2xxexf dxxfx)( dxxfxxf)()(222xex .2Cex 合理选择合理选择 ，正确使用分部积，正确使用分部积分公式分公式vu