向量代数与空间解析几何12160

1、第七章空间解析几何与向量代数第一部分第一部分 向量代数向量代数第二部分第二部分 空间解析几何空间解析几何 在三维空间中:空间形式空间形式 点点, , 线线, , 面面 数量关系数量关系 坐标坐标, ,方程（组）方程（组）基本方法基本方法 坐标法坐标法; ; 向量法向量法第一节 空间直角坐标系空间直角坐标系一、空间点的直角坐标一、空间点的直角坐标二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离三、小结三、小结 空间解析几何空间解析几何 与向量代数与向量代数x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 定点定点o空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向三个坐标轴的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手

2、握住z轴，轴，当右手的四个手指当右手的四个手指从正向从正向x轴以轴以2 角角度转向正向度转向正向y轴轴时，大拇指的指向时，大拇指的指向就是就是z轴的正向轴的正向.一、空间点的直角坐标xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有空间直角坐标系共有八个卦限八个卦限空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11特殊点的表示特殊点的表示:)0 , 0 , 0(o),(zyxm xyzo)0 , 0 ,(xp)0 , 0(yq), 0 , 0(zr)0 ,(yxa), 0(zyb),(zoxc坐标轴上的点坐标轴上的点,p,q,r坐标面上的点坐标面上的点,a,b,c坐标轴 : 轴x00zy

3、00 xz轴y轴z00yx坐标面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo设设),(1111zyxm、),(2222zyxm为为空空间间两两点点xyzo 1mpnqr 2m?21 mmd在在直直角角21nmm 及及 直直 角角pnm1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212nmpnpmd 二、空间两点间的距离,121xxpm ,12yypn ,122zznm 22221nmpnpmd .21221221221zzyyxxmm 空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为,),(zyxm)0 , 0 , 0(oomd .222zyx xyzo

4、 1mpnqr 2m第二节 向量及其加减法向量及其加减法 向量与数的乘法向量与数的乘法一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加减法二、向量的加减法三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法四、小结四、小结向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：以以1m为起点，为起点，2m为终点的有向线段为终点的有向线段.1m2m a21mm模长为模长为1 1的向量的向量. .21mm00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21mm| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起

5、点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a aba a2、向量的线性运算、向量的线性运算1. 向量的加法向量的加法三角形法则:平行四边形法则:运算规律 :交换律结合律三角形法则可推广到多个向量相加 .bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba s3a4a5a2a1a54321aaaaas2. 向量的减法向量的减法三角不等式ab)( ab有时特别当,ab aa )( aababaabababa0baba设设

6、 是是一一个个数数，向向量量a与与 的的乘乘积积a 规规定定为为, 0)1( a 与与a同向，同向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 与与a反向，反向，|aa aa2a21 三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的实数一的实数分必要条件是：存在唯分必要条件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量设向量设向量定理定理两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理1. 设 a 为非零向量 , 则( 为唯一

7、实数)证证: “ ”., 取 且再证数 的唯一性 .则,0故.即abab设 abba取正号, 反向时取负号, a , b 同向时则 b 与 a 同向,设又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而“ ”则,0 时当例例1. 设 m 为mbacd解解:abcd 对角线的交点,0 时当ba,0 时当,aab ,bdaacmc2ma2bdmd2mb2已知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,mdmcmbmaba表示与试用baab)(21bama)(21abmb)(21bamc)(21abmd同方向的单位向量，同方向的单位向量，表示与非零向量表示与非零向量设设aa0按照向

8、量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量.第三节第三节 向量的坐标向量的坐标一、向量夹角一、向量夹角二、向量的坐标表示二、向量的坐标表示三、向量的模与方向余弦的坐标表示式三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 一、空间两向量的夹角的概念：一、空间两向量的夹角的概念：, 0 a, 0 bab 向向量量a与与向向量量b的的夹夹角角),(ba ),(ab 类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴的夹角的夹角.特

9、殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定它们的夹角可在它们的夹角可在0与与 之间任意取值之间任意取值. 0() 三三. 向量的坐标表示向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点 m , ),(zyxm则沿三个坐标轴方向的分向量分向量.kzjyixr),(zyxxoyzmnbcijka,轴上的单位向量分别表示以zyxkji的坐标为此式称为向量 r 的坐标分解式坐标分解式 ,rkzjyix称为向量,r任意向量 r 可用向径 om 表示.nmonomocoboa, ixoa, jyobkzocxyzo 1mpnqr 2m以以kji,分分别别表表示示沿沿zyx,轴轴正

10、正向向的的单单位位向向量量.ijkkajaiaazyx 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影x 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影y 向量在向量在 轴上的投影轴上的投影z12xxax 12yyay 12zzaz kzzjyyixxmm)()()(12121221 kzzjyyixxmm)()()(12121221 按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：,kajaiazyx向量的向量的坐标坐标：,zyxaaa向量的向量的坐标表达式坐标表达式：,zyxaaaa ,12121221zzyyxxmm 特殊地：特殊地：,zyxom 向量的加减法

11、、向量与数的乘法运算的坐标表达式向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式,zyxaaaa ,zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa ;)()()(kbajbaibazzyyxx ;)()()(kbajbaibazzyyxx .)()()(kajaiazyx 三、向量的模、方向角、投影三、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有omr 222oroqopxoyzmnqrp由勾股定理得),(111zyxa因ab得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx2

12、12212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zyxb, rom作omr oroqopbabaoaobba例例2. 求证以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321mmm证证:1m2m3m21mm 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432mm 2)75( 2) 12( 2)23( 631mm 2)45( 2)32( 2) 13( 63132mmmm即321mmm为等腰三角形 .的三角形是等腰三角形 . 为顶点oyzx2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦设有两非零向量 ,ba任取空间一点 o ,aoa作,boboab称 =aob (0 ) 为向量

13、 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(baoyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos例例4. 已知两点)2,2,2(1m和, )0,3, 1(2m的模 、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20计算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,

14、34321mm(21mm21mm例例5. 设点 a 位于第一卦限,解解: 已知角依次为,43求点 a 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 a 在第一卦限 ,故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 a 的坐标为 . )3,23,3(向径 oa 与 x 轴 y 轴的夹 ,6ao且oaoaao3.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影32空间一点在轴上的投影u aa 过点过点 a作轴作轴 u的垂直的垂直平面，交点平面，交点a 即为点即为点a在轴在轴 u上的投影上的投影. 33空间一向量在轴上的投影ua abb 已知向量的起点已知向量的起点 a和终点和终点 b在

15、在轴轴 u上的投影分别为上的投影分别为ba , 那那 么轴么轴 u上的有向线段上的有向线段ba 的值的值,称为向量在轴称为向量在轴 u上的上的投影投影 . 向向量量ab在在轴轴u上上的的投投影影记记为为 .jprabu34关于向量的投影定理(1) 向量向量 ab 在轴在轴 u 上的投影等于向量的模乘上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：以轴与向量的夹角的余弦： 证uaba b b cos| ab u abuprj cos| ab abuprjabu prj35两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和. 关于向量的投影定理(2).prjprj)(prjbabauuu aa

16、bb cc （可推广到有限多个）uab36关于向量的投影定理(3).prj)(prjakakuu 若向量若向量,zyxaaaa , ,则则zyxaaa,就是就是a在三条坐标轴上的投影在三条坐标轴上的投影. . xyzo m cos|rax cos|ray cos|raz xayaza第四节第四节 数量积数量积 向量积向量积 混合积混合积一、两向量的数量积一、两向量的数量积二、两向量的向量积二、两向量的向量积三、向量的混合积三、向量的混合积 一一物物体体在在常常力力f作作用用下下沿沿直直线线从从点点1m移移动动到到点点2m，以以s表表示示位位移移，则则力力f所所作作的的功功为为 cos|sfw

17、(其中其中 为为f与与s的夹角的夹角)启示启示向量向量a与与b的的数量积数量积为为ba cos|baba (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积（点积或内积）ab cos|baba 数量积也称为数量积也称为“点积点积”、“内积内积”.结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积乘积. .关于数量积的说明：关于数量积的说明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b

18、, 0cos .ba .|)1(2aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba证证 ,2 ,2 数量积符合下列运算规律：数量积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 为数为数： ),()()(bababa 若若 、 为数为数： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 数量积的坐标表达式数量积的坐标表达式 cos|bab

19、a ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a与与b的夹角；的夹角；（3）a在在b上的投影上的投影.解解ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabpr|)3( . 3|pr bbaajb .43 2021-11-2345

20、例 2 证明向量c与向量acbbca)()( 垂直. 证证cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(2021-11-2346解解; 1100111 amb cosambbam 求求和和、已知三点已知三点例例),2 , 1 , 2()1 , 2 , 2()1 , 1 , 1( 3.,的夹角的夹角与与就是向量就是向量作向量作向量 mbmaambmbma1 , 0 , 1,0 , 1 , 1 mbma mbma2,2 mbma mbmambma21221 3 amb|foqm sin|fop m的的方方向向垂垂直直于于op与与f所所决决定定的的平

21、平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.实例实例二、两向量的向量积lfpqo 向向量量a与与b的的向向量量积积为为 bac sin|bac (其中其中 为为a与与b的夹角的夹角)定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0si

22、n| baba证证ba/ba/或或0 )(kajaiazyx)(kbjbibzyx向量积的坐标表示式向量积的坐标表示式设则,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayz)(jjbayy)(kkbazzijk机动 目录 上页 下页 返回 结束 kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可

23、推出向量积的行列式计算法向量积的行列式计算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx( 行列式计算见 p339p342 ) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxbaaa 000, 0 yxaa补充补充|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.xb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，abbac 2021-11-2354结论|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边

24、边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 例 4 在顶点为)3 , 2 , 1(a、)7 , 4 , 2(),5 , 4 , 3(cb的三角形中，求三角形abc的面积. 4 , 2 , 1 ac2 , 2 , 2 ab三角形abc的面积为|21abacs 141 , 3, 242122221 kji解解解解zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kjabc解解d3, 4 , 0 ac0 , 5, 4 ab三角形三角形abc的面积为的面积为|21abacs 22216121521 ,225 | ac, 5)

25、3(422 |21bds | ac|521225bd . 5| bd解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设设已已知知三三个个向向量量a、b、c，数数量量cba )(称称为为这这三三个个向向量量的的混混合合积积，记记为为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向量的混合积向

26、量的混合积cbacba )(是这样是这样的一个数，它的绝对值表的一个数，它的绝对值表示以向量示以向量a、b、c为棱的为棱的平行六面体的体积平行六面体的体积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac （3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已知已知2 cba， 计算计算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6例例 7 7 已知空间内不在一平面上

27、的四点已知空间内不在一平面上的四点),(111zyxa、),(222zyxb、),(333zyxc、),(444zyxd, 求四面体的体积求四面体的体积.解解由由立立体体几几何何知知，四四面面体体的的体体积积等等于于以以向向量量ab、ac、ad为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积的的六六分分之之一一.61adacabv ,121212zzyyxxab ,131313zzyyxxac ,141414zzyyxxad 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxv 式中正负号的选择必须和行列式的符号一致式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.内容小结内容小结

28、设1. 向量运算加减:数乘:点积:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉积:kjixayazaxbybzbba机动 目录 上页 下页 返回 结束 混合积:2. 向量关系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0bazyxzyxzyxcccbbbaaacba)(cba共面cba,0zyxzyxzyxcccbbbaaa0)(cba机动 目录 上页 下页 返回 结束 0ba向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（

29、结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）一、一、 填空题：填空题：1 1、 已知已知a=3=3，b=26=26，ba =72,=72,则则ba =_=_；2 2、 已知已知（ba,）= =32 ，且，且a=1=1，b=2=2，则，则 2)(ba =_=_；3 3、ba 的几何意义是以的几何意义是以ba,为其邻边的为其邻边的_；4 4、 三向 量三向 量cba,的 混 合 积的 混 合 积 cba 的 几 何 意 义 是的 几 何 意 义 是_；5 5、 两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有两向量的的内积为零的充分必要条件是至少其中有 一个向量为一个向量为_，或它们互相，或它们互相 _；6 6、 两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一两向量的外积为零的充分必要条件是至少其中有一 个向量为个向量为_，或它们