(word完整版)抛物线的性质归纳及证明,推荐文档

1、抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2 2px（p 0）焦点 F 的弦两端点为A(x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 倾斜角为, 中点为C(x ,y ),分别过 A、 B、C 作抛物线准线的垂线，垂足为A、 B、 C.001. 求证： 焦半径 | AF |x1pp；焦半径 | BF |x2pp;21 cos22 p1 cos11 2； 弦长 | AB | x1 x2 p=；特别地，当 x1=x2(=90 )|AF|BF |psin 2p2时，弦长 |AB| 最短，称为通径

2、，长为2p； AOB的面积OAB.S2sinp， | BF | | BC | x2p，证明：根据抛物线的定义，| AF | | AD | x1 2 2| AB | | AF | | BF | x1 x2 p如图 2，过 A、 B 引 x 轴的垂线 AA 1、 BB1，垂足为A1、 B1，那么 | RF | | AD | | FA 1 | | AF | | AF |cos ，|AF | |RF | p1 cos 1 cos同理， |BF | |RF|p1 cos1 cos | AB | AF |BF |pp 2p.1 cos1 cossin2yDA(x1，y1)B1ROFA1xCB(x2 ，y2

3、)111p图 2SOAB SOAF S OBF | OF | y1| | OF | y1|· ·(| y12222| | y1 |) y1y2 p2，则 y1、 y2 异号，因此， | y1 | | y1 | | y1 y2 | SOAB p| y1 y2| p(y1y2 )2 4y1y2 p4m2p2 4p2 p21 m2 p2.44422sin12. 求证： xx12p2； y1 y2p2；1 1 2.4|AF |BF|p当 AB x 轴时，有AFBFp，成立；当 AB 与 x 轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为： y kxp. 代入抛物线方程：2p2p2k22x2p k

4、2k201x2 px . 化简得： k2 x24方程（ 1）之二根为 x，x， x1x2k 2.124111111x1x2p2AFBFAA1BB1 x1ppp x1px2x22x1x2224x1 x2px1x2p2y.22p x1A'App x1x2px2pp4242C'C3.求证：AC'BA' FB'Rt .K OFxB'B先证明： AMB Rt 【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于 E，如图 3，y则DA(x1， y1) ADM ECM ，| AM | EM |， | EC | AD |MNOx| BE | | BC | CE | BC

5、 | AD |RF|BF |AF |AB |ECB(x2，y2 )2图 3 ABE 为等腰三角形，又M 是 AE 的中点， BM AE，即 AMB Rt【证法二】取 AB 的中点 N，连结 MN ，则111| MN | 2(| AD| BC |)2(| AF | BF |)2| AB |， | MN | AN | BN | ABM 为直角三角形， AB 为斜边，故 AMB Rt .【证法三】由已知得C( p， y2)、 D( p， y112)，由此得 M( p， y y).222212 p2y yp(y1)y12y1 y2p(y1 y2)y kAM 2 p ，同理 kBM p221x1py1

6、py1 p2y1 p2y1y222· 2p kp · p p2 p2 1AM · kBM121 2p2yyy yy BM AE，即 AMB Rt .DApp【证法四】由已知得C(2，y2)、D ( 2，y1)，由此得 M (p， y1y2).22y y (x3 p，y y MA (x1 p，1)， MB2)212222pp(y1 y2)( y2 y1)MA·MB (x1 )( x2 )422pp2(y y )2 x1x2 ( x1 x2)12424 p2 p( y12 y22 ) p2 y12 y22 2y1y242 2p2p4422 p2 p y1y2

7、 p 2 0222，故 AMB Rt .MAMB【证法五】由下面证得DFC 90，连结 FM ，则 FMDM .又 AD AF ，故 ADM AFM ，如图 4 1 2，同理 3 41M 24 3ROFxC B图 43 2 312× 180 90 AMB Rt.接着证明： DFC Rt 【证法一】如图 5，由于 | AD | | AF |， AD RF，故可设 AFD ADF DFR ，同理，设 BFC BCF CFR ，而 AFD DFR BFC CFR 180 2( )180 ，即 90 ，故 DFC 90【证法二】取CD 的中点 M，即 M( p， y1y2)22p y2 y2

8、p由前知 kAM y1， kCF pp p y122yDA(x1， y1)Op， 0)RF(x2C B( x2， y2)图 5yD1DA(x1， y1)GMORFxH kAM kCF ， AM CF ，同理， BM DFCB( x2， y2) DFC AMB 90 .【证法三】 (p， y2) ，DF (p， y1)， CF DF · CF p2 y1y2 0 DF CF ，故 DFC90 .【证法四】 由于 | RF |2 p2 y1y2 | DR |·| RC |，即| DR | |RF|RF|，且 DRF FRC 90 DRF FRC DFR RCF，而 RCF RF

9、C90 DFR RFC 90 DFC 904. C A 、 C B 是抛物线的切线【证法一】 kAMp ， AM 的直线方程为y y1p (xy12 )y1y12p4图 6lyM1MOFxN1N图 7yD1DA(x1， y1)MORFxCB(x2， y2)图 8与抛物线方程y22px 联立消去 x 得y y1 p (y2 y12 )，整理得 y2 2y1y y12 0y12p2p可见 (2y1) 2 4y12 0，故直线 AM 与抛物线 y2 2px 相切，同理 BM 也是抛物线的切线，如图 8.【证法二】由抛物线方程y2 2px，两边对 x 求导， ( y2)x (2px)x，得 2y

10、83;yx2p， yx p，故抛物线 y2 2px 在点 A(x1，y1)处的切线的斜率为k 切 yx| yyp y1 .y1p kAM，即 AM 是抛物线在点A 处的切线，同理BM 也是抛物线的又 kAMy1 ， k切切线 .【证法三】过点A(x1，y1)的切线方程为y1yp(x x1)，把 M(p， y1 y2)代入22222左边 y1y1 y2 y1 y1y22px1 p px1p ，·222 2右边 p( p x1)p2 px1，左边右边，可见，过点A 的切线经过点M，22即 AM 是抛物线的切线，同理BM 也是抛物线的切线 .yDA(x1 ，y1 )5. C A、 C B

11、分别是 AAB 和 BBA 的平分线 .【证法一】延长 AM 交 BC 的延长线于E，如图 9，MN则 ADM ECM ，有 AD BC，AB BE，ROx DAM AEB BAM ，FB(x2，y2)即 AM 平分 DAB ，同理 BM 平分 CBA. EC【证法二】由图 9 可知只须证明直线 AB 的倾斜角 是直线 AM 的倾斜角 的 2 倍即可， 即图 9 2 . 且 M(p， y y)12225y y1y y12p22.tan kAB22x2 x1y2y1y1 y22p2py1y1 y2 p2)2y yp(y y )p(y1 ytan kAM12121 p .p22 p2 2p2x1y

12、1 py1y1y122· 2p2ptan 2 2tany12py12py12p tan1 tan2p 2 p22 y12121 (y)2y2y2yy y1 2 ，即 AM 平分 DAB ，同理 BM 平分 CBA.6.AC 、 A F、 y 轴三线共点，BC 、 B F、 y 轴三线共点【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，由以上证明知 | AD | | AF |， AM 平分 DAF ，故 AG1也是 DF 边上的中线，G1 是 DF 的中点 .设 AD 与 y 轴交于点 D 1， DF 与 y 轴相交于点 G2 ，y易知， | DD1 | OF |，DD 1O

13、F，1DDA(x1， y1)故 DD 1G2 FOG2 | DG2 | FG2 |，则 G2也是 DF 的中点 . G1 与 G2 重合（设为点 G），则 AM 、DF 、 y 轴三线共点，GMORFxH同理 BM 、 CF 、 y 轴也三线共点 .2py1【证法二】 AM 的直线方程为y y1(x)，CB(x2， y2 )y12py1令 x0 得 AM 与 y 轴交于点G1(0， 2 )，图 10又 DF 的直线方程为 y y1p2y1p (x 2)，令 x0 得 DF 与 y 轴交于点G(0， 2) AM、 DF 与 y 轴的相交同一点G(0，y12)，则 AM 、 DF 、 y 轴三线共

14、点，同理 BM 、 CF 、 y 轴也三线共点 H 由以上证明还可以得四边形MHFG 是矩形 .67. A 、 O、 B三点共线， B 、 O、 A 三点共线 .【证法一】如图11， kOA y1 y21 2p，yx1 y1y1A(x1，y1 )2pDOCy2 2y2 2py22py2 2pk ppp2 y1y2 y1 2ROxF kOA kOC，则 A、 O、 C 三点共线，B(x2，y2)C同理 D、O、B 三点也共线 .【证法二】设AC 与 x 轴交于点 O ， AD RF BC图 11 | ROAD | COCA | | BFAB |， | OAFF | | CBAB |，又| AD

15、|AF |，| BC | BF |， | RO | |O F |AF |AF | RO | O F |，则 O 与 O 重合，即 C、O、A 三点共线，同理D、 O、 B 三点也共线 .【证法三】设AC 与 x 轴交于点 O ， RF BC，| O F |AF |，|CB |AB | O F | CB |· | AF | BF |·| AF |11 p【见证】|AB |AF |BF |12|AF |BF | O 与 O 重合，则即 C、 O、 A 三点共线，同理D、 O、 B 三点也共线 .【证法四】p (x1， y1)，OC(， y2)， OA2 p· y1 x

16、1 y2 p· y1 y12y2 py1 y1y2y1 py1 p2y1 0222p22p22p为端点OCOA，且都以 O A、 O、 C 三点共线，同理B、 O、D 三点共线 .【推广】过定点 P(m， 0)的直线与抛物线点分别作直线 l： x m 的垂线，垂足分别为三点也共线，如下图：y2 2px（ p 0）相交于点 A、 B，过 A、 B 两M、 N，则 A、 O、N 三点共线， B、 O、 M7yyMAMABNOPxP OxNB8. 若 | AF |： | BF | m： n，点 A 在第一象限，为直线 AB 的倾斜角 . 则 cosm n ； m n【证明】如图 14，过

17、A、B 分别作准线l 的垂线，垂足分别为D， C，过 B 作 BE AD于 E，设 | AF | mt， | AF | nt，则| AD | | AF |， | BC | | BF |，| AE | | AD | | BC |(m n)t在 Rt ABE 中， cos BAE | AE | (mn)t m n| AB | (m n)tm n cos cos BAE mnm n.【例 6】设经过抛物线y2 2px 的焦点 F 的直线与抛物线相交于两点 A、 B，且 | AF |：| BF | 3：1，则直线 AB 的倾斜角的大小为.【答案】 60 或 120 .yEDAROFxCBl图 149.

18、 以 AF 为直径的圆与y 轴相切， 以 BF 为直径的圆与y 轴相切； 以 AB 为直径的圆与准线相切 ; A B为直径的圆与焦点弦AB相切.yyyA'AA'AA'AM'MC'CC'CKO FxK OFxB'BB'BO Fx【说明】如图15，设 E 是 AF 的中点，8p x1y12，则 E的坐标为 (2)，2px1则点 E 到 y 轴的距离为21d |AF|22故以 AF 为直径的圆与y 轴相切，同理以 BF 为直径的圆与y 轴相切 .【说明】如图15，设 M 是 AB 的中点，作 MN准线 l 于 N，则111|MN |2(| AD | | BC |)2(| AF| | BF |)2|AB|1则圆心