2022年函数的周期性与对称性

1、精品资料欢迎下载函数的周期性与对称性1、函数的周期性如 a 是非零常数，如对于函数y fx定义域内的任一变量x 点有以下条件之一成立， 就函数 yfx是周期函数，且 2|a|是它的一个周期；fx a fx afx a fxfx a 1/fxfx a 1/fx2、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 y fx同时关于直线 x a 与 xb 轴对称， 就函数 fx必为周期函数， 且 t 2|a b|性质 6、如函数 y fx同时关于点（ a， 0）与点（ b，0）中心对称，就函数fx必为周期函数，且t 2|a b|性质 7、如函数 y fx既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线x b 轴对称，就

2、函数fx必为周期函数，且t 4|a b|3. 函数 yf x 图象本身的对称性（自身对称）如 f xaf xb ，就f x 具有周期性；如f axf bx ，就f x 具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称性”；1、 f axf bxyf x 图象关于直线xaxbx 2ab 对称2推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称2、 f axf bx2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称2推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点

3、a,b 对称推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a,b 对称例题分析：1设f x 是 , 上的奇函数，f x2f x ，当 0x1 时，f xx ，就f 47.5 等于（ a ） 0.5（ b）0.5（ c） 1.5（ d）1.52、（山东）已知定义在r 上的奇函数f x 满意f x2f x ，就f 6的值为（）a 1b 0c 1d 23. 设f x 是定义在 r上的奇函数，f 12,f x1f x6, 求f 10.4. 函数f x 对于任意实数x 满意条件f x21，如f xf 15 ，就f f 5 5. 已

4、知f x 是定义在 r上的奇函数，且它的图像关于直线x1 对称；（1）求f 0的值；（ 2）证明f x是周期函数；（3）如f xx0x 1，求 xr时，函数f x的解析式， 并画出满意条件的函数f x至少一个周期的图象；6. 设 fx是定义在 r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 fx 2 fx当 x 0,2时， f x2x x2.1 求证： fx是周期函数； 2当 x 2,4时，求 fx的解析式巩固练习：1. 函数 fx是周期为 4 的偶函数，当 x 0,2 时， f x x 1，就不等式 xfx>0 在 1,3上的解集为 a 1,3b 1,1 c 1,01,3d 1,0 0,12.

5、设函数 fx是定义在 r 上的偶函数，且对任意的x r 恒有 f x 1 fx 1，已知当 x10,1时， fx 21 x，就： 2 是函数 fx的周期；函数 fx 在1,2上递减，在 2,3 上递增；函数 f x的最大值是 1，最小值是 0；当 x3,4 时， f x 12x3 .其中全部正确命题的序号是 13. 设定义在 r 上的奇函数 y fx，满意对任意tr ，都有 ft f1 t，且 x 0， 2 时，2fx x2，就 f3 f 3的值等于 a 1 21b 3c1 41d 54. 如偶函数 y fx为 r 上的周期为 6 的周期函数，且满意f x x 1x a 3 x 3， 就 f

6、6等于5、（ 1）f xa xaxa关于点（11， ）对称：22f xf 1x ;（2）f x4 x12x 12 x1关于（ 0，1）对称：f xf x （3）如f xf 2ax, 设f x0有n个不同的实数根，就x1x2xn .6设 fx是， 上的奇函数， fx 2 f x，当 0 x 1 时， fx x. 1求 f 3的值； 2 当 4 x 4 时，求 fx的图像与 x 轴所围成图形的面积7设f x 是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数， 且f x 是偶函数， 在区间2,3 上，f x2x3 24. 求 x1,2 时，f x 的解析式 .8. 设函数f x 对任意实数 x 满意f 2x

7、f 2x ， f 7xf 7x且f00,判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .9. 已知函数yf x 是定义在 r上的周期函数， 周期 t5 ，函数yf x 1x1 是奇函数 . 又知 yf得最小值5 .x 在0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在x2 时函数取（1）证明：f 1f 40 ；（ 2）求yf x, x1,4的解析式；（3）求yf x 在 4,9 上的解析式 .10. 已知f xx12x11 ，（ 1）判定2f x的奇偶性；（ 2）证明：f x011 、 定 义 在1，1上 的 函 数 yf x是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ，

8、如2f aa1f 4 a50 ，求实数 a 的范畴；2 xb12（重庆文）已知定义域为r的函数f x2 x 1是奇函数；a（）求a,b 的值；（）如对任意的tr ，不等式f t 22t f 2t 2k) 0 恒成立，求 k 的取值范畴；复习题：1. 已知数列 a ，其前 n 项和为s ，点 n, s 在抛物线 y3 x21 x 上；各项都为正数的等比数列 bn 满意nb1b3nn2211, b5.1632（）求数列 an ， bn的通项公式； （）记 cnanbn ,求数列 cn的前 n 项和 tn 222. 在 abc 中，角 a 、 b 、 c 所对的边分别是 a 、b 、 c ，且 bc

9、a28sabc （其23中 s abc 为 abc 的面积）（）求sin 2 bc 2cos 2 a ；（）如 b2 ， abc 的面积为 3，求 a 3. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0 20 45bc（ 1）如所抽取的 20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件， 求 a ， b ， c 的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为x1 ， x2 ， x3 ，等级系数为5的 2 件日用品

10、记为y1 ，y2 ，现从x1 ， x2， x3 ，y1 ，y2 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率p4. 如图，在三棱锥 pabc 中， pa底面 abc ， acbc ，hh 为 pc 的中点，paac2 ， bc1.（）求证：ah平面 pbc ；（）求经过点 pabc 的球的表面积；ac5. 已知抛物线x28 y8) 与 y 轴交点为 m ，动点bp, q 在抛物线上滑动，且mpmq0（1） 求 pq 中点 r的轨迹方程 w ；（2） 点a,b,c,d在w 上， a, d 关于 y 轴对称， 过点 d

11、 作切线 l ，且 bc 与 l 平行， 点 d 到ab, ac 的距离为d1, d2 ，且 d1d22 | ad |，证明：abc 为直角三角形6. 设函数f xln x x2. （ 1）求f x的极大值；（2） 求证：12eln n na1 n22 1 n2n2 n1nn * ax22txt（3） 当方程f x0ar 2e 有唯独解时， 方程gxtxf x2x0 也有唯独解，求正实数 t 的值；函数的周期性与对称性1、函数的周期性如 a 是非零常数，如对于函数y fx定义域内的任一变量x 点有以下条件之一成立， 就函数 yfx是周期函数，且 2|a|是它的一个周期；fx a fx afx

12、a fxfx a 1/fxfx a 1/fx 2、函数的对称性与周期性性质 5 如函数 y fx同时关于直线 x a 与 xb 轴对称， 就函数 fx必为周期函数， 且 t 2|a b|性质 6、如函数 y fx同时关于点（ a， 0）与点（ b，0）中心对称，就函数fx必为周期函数，且t 2|a b|性质 7、如函数 y fx既关于点（ a，0）中心对称，又关于直线x b 轴对称，就函数fx必为周期函数，且t 4|a b|3. 函数 yf x 图象本身的对称性（自身对称）如 f xaf xb ，就f x 具有周期性；如f axf bx ，就f x 具有对称性：“ 内同表示周期性，内反表示对称

13、性”；1、 f axf bxyf x 图象关于直线xaxbx 2ab 对称2推论 1：f axf axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 2、f xf 2 axyf x 的图象关于直线 xa 对称推论 3、 f xf 2axyf x 的图象关于直线 xa 对称2、 f axf bx2cyf x 的图象关于点 ab , c 对称2推论 1、f axf ax2byf x 的图象关于点a,b 对称推论 2、f xf 2ax2byf x 的图象关于点a, b 对称推论 3、 f xf 2ax2byf x 的图象关于点a,b 对称例题分析：1设f x 是 , 上的奇函数，f x2f x ，当 0x

14、1 时，f xx ，就f 47.5 等于（ a ） 0.5（ b）0.5（ c） 1.5（ d）1.52、（山东）已知定义在r 上的奇函数f x 满意f x2f x ，就f 6的值为（）a 1b 0c 1d 23. 设f x 是定义在 r上的奇函数，f 12,f x1f x6, 求f 10.4. 函数f x 对于任意实数x 满意条件f x21，如f xf 15 ，就f f 5 5. 已知f x 是定义在 r上的奇函数，且它的图像关于直线x1 对称；（1）求f 0的值；（ 2）证明f x是周期函数；（3）如f xx0x 1，求 xr时，函数f x的解析式， 并画出满意条件的函数f x至少一个周期

15、的图象；6. 设 fx是定义在 r 上的奇函数，且对任意实数x，恒有 fx 2 fx当 x 0,2时， f x2x x2.1 求证： fx是周期函数； 2当 x 2,4时，求 fx的解析式 解： 1证明： f x 2 fx， f x 4 fx 2 fx fx是周期为 4 的周期函数2 x 2,4， x 4， 2， 4 x 0,2， f4 x 24 x 4 x2 x2 6x 8.又 f4 x f x fx， f x x2 6x 8， 即 fx x2 6x 8， x2,4巩固练习：1. 函数 fx是周期为 4 的偶函数，当 x 0,2 时， f x x 1，就不等式 xfx>0 在 1,3上

16、的解集为 a 1,3b 1,1 c 1,01,3d 1,0 0,1解析： 选 cf x的图像如图当 x 1,0时，由 xfx>0 得 x 1,0；当 x 0,1时，由 xf x<0 得 x .；当 x 1,3时，由 xfx>0 得 x 1,3 故 x 1,0 1,3 2. 设函数 fx是定义在 r 上的偶函数，且对任意的x r 恒有 f x 1 fx 1，已知当 x10,1时， fx 21 x，就： 2 是函数 fx的周期；函数 fx 在1,2上递减，在 2,3 上递增；函数 f x的最大值是 1，最小值是 0；当 x3,4 时， f x 12x3.其中全部正确命题的序号是

17、解析： 由已知条件： f x 2 fx，2就 y fx是以 2 为周期的周期函数，正确； 当 1 x 0 时 0 x 1，fx fx 11 x，函数 yfx的图像如下列图：当 3<x<4 时， 1<x 4<0，1fx fx 4 2x 3，因此正确，不正确答案： 23. 设定义在 r 上的奇函数 y fx，满意对任意tr ，都有 ft f1 t，且 x 0， 1 时，2fx x2，就 f3 f 3的值等于 1a 2b113c 41d 5解析： 选 c由 f t f1 t得 f1 t f t ft， 所以 f2 t f1 t ft，所以 fx的周期为 2.又 f1 f1 1

18、f 0 0，2所以 f3 f 31 f1 f 21 0 22 1.44. 如偶函数 y fx为 r 上的周期为 6 的周期函数，且满意f x x 1x a 3 x 3， 就 f 6等于解析： y fx为偶函数，且 fx x 1· x a 3 x 3， fxx 2 1a xa,1 a 0. a 1.f x x 1x 1 3 x 3 f 6 f 6 6 f0 1.5、（ 1）f xaxa xa关于点（11， ）对称：22f xf 1x1;（2）f xx412x1关于（ 0，1）对称：f xf x22 x 1（3）如f xf 2ax, 设f x0有n个不同的实数根，就x1x2xnx12ax

19、1 x22ax2xn 2axn na .22当n2k1时，必有 x12ax1 ,x1a6设 fx是， 上的奇函数， fx 2 f x，当 0 x 1 时， fx x. 1求 f 3的值； 2 当 4 x 4 时，求 fx的图像与 x 轴所围成图形的面积 解： 1由 fx 2 fx 得， f x4 fx 22 f x 2 fx，所以 fx是以 4 为周期的周期函数，所以f3 f3 4 f1 1.2 由 fx是奇函数与 fx 2 f x，得 fx 1 2 fx 1 f x 1， 即 f1 x f1 x故知函数 y fx的图像关于直线 x1 对称又 0x 1 时， fx x，且 fx的图像关于原点成

20、中心对称，就 1 x 0 时， fx x，就 fx的图像如下列图当 4 x4 时，设 fx的图像与 x 轴围成的图形面积为s，就 s 4soab 4× 1× 2×1 24.7设f x 是定义在 , 上以 2 为周期的周期函数， 且f x 是偶函数， 在区间2,3 上，f x2x3 24. 求 x1,2 时，f x 的解析式 .解：当 x3, 2 ，即x2,3 ，f xf x2x3 242 x3 24又 f x 是以 2 为周期的周期函数，于是当x1,2 ，即3 x42 时，有f xf x4f xf x2 x2 x412324142xx2.1241x2.8. 设函数

21、f x 对任意实数 x 满意f 2xf 2x ， f 7xf 7x且f00,判定函数f x 图象在区间30,30上与 x 轴至少有多少个交点 .解：由题设知函数f x 图象关于直线x2 和 x7 对称，又由函数的性质得f x 是以 10 为周期的函数 . 在一个周期区间0,10 上，f 00, f4f 22f 22f 00且f x不能恒为零 ,故 f x 图象与 x 轴至少有 2 个交点 .而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30 上f x 图象与 x 轴至少有 13 个交点 .9. 已知函数yf x 是定义在 r上的周期函数， 周期 t5 ，函数yf x 1x1 是奇函数 . 又

22、知 yf得最小值5 .x 在0,1 上是一次函数，在 1,4 上是二次函数，且在x2 时函数取（1）证明：f 1f 40 ；（ 2）求yf x, x1,4的解析式；（3）求yf x 在 4,9 上的解析式 .解 ： f x是 以 5 为 周 期 的 周 期 函 数 ， 且 在 1,1 上 是 奇 函 数 ， f 1f 1f 51f 4 ，f 1f 40 .当 x1,4时，由题意可设f xa x225 a0 ，由 f 1f 40 得 a 1225a42 250 ， a2 ， f x2 x2251x4 . yf x1x1 是奇函数，f 00 ，又知 yf x 在 0,1 上是一次函数，可设f xk

23、x0x12而 f 121253 ， k3，当 0x1时，f x3x ，从而 1x0时，f xf x3 x ，故 1x1时，f x3x .当 4x6 时，有1x51，f xf x53 x53 x15 .当 6x9 时， 1x54， f xf x52 x52 252 x7 253x15,4x6 f x2 x7 2.5,6x910. 已知f x1x 2x11 ，（ 1）判定2f x的奇偶性；（ 2）证明：f x011 、 定 义 在1，1上 的 函 数 yf x是 减 函 数 ， 且 是 奇 函 数 ， 如f a 2a1f 4 a50 ，求实数 a 的范畴；2 xb12（重庆文）已知定义域为r的函数

24、f x2 x 1是奇函数；a（）求a,b 的值；（）如对任意的tr ，不等式f t 22t f 2t 2k0 恒成立，求 k 的取值范畴；101偶函数2奇函数111偶函数12、 1,3332复习题：2已知数列 a ，其前 n 项和为nns ，点 n, s 在抛物线 y3 x21 x 上；各项都为正数的等比数列 bn 满意nb1b32251 , b1.1632（）求数列 an ， bn的通项公式； （）记 cnanbn ,求数列 cn的前 n 项和 tn 2. 在 abc 中，角 a 、 b 、 c 所对的边分别是 a 、b 、 c ，且222bca8s（其abc23中 s abc 为 abc

25、的面积）（）求sin 2 bc 2cos 2 a ；（）如 b2 ， abc 的面积为 3，求 a 3. 某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数x 依次为 1,2,3,4,5现从一批该日用品中随机抽取 20 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：x12345频率a0 20 45bc（ 1）如所抽取的 20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，等级系数为 5 的恰有 2 件， 求 a ， b ， c 的值；（）在（ 1）的条件下，将等级系数为4 的 3 件日用品记为x1 ， x2 ， x3 ，等级系数为5的 2 件日用品记为y1 ，y2 ，现从x1 ， x2， x3 ，y

26、1 ，y2 这 5 件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出全部可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率p4. 如图，在三棱锥 pabc 中， pa底面 abc ， acbc ，h 为 pc 的中点，paac2 ， bc1.h（）求证：ah平面 pbc ；（）求经过点 pabc 的球的表面积；5. 已知抛物线x28 y8) 与 y 轴交点为 m ，动点p, q 在抛物线ac上滑动，且mpmq0b（1） 求 pq 中点 r的轨迹方程 w ；（2） 点a,b,c,d在w 上， a, d 关于 y 轴对称， 过点 d 作切线 l ，且 bc 与 l 平行， 点 d 到

27、ab, ac 的距离为d1, d2 ，且 d1d22 | ad |，证明：abc 为直角三角形6. 设函数f xln x x2. （ 1）求f x的极大值；（2） 求证：12eln n na1 n22 1 n2n2 n1nn * ax22txt（3） 当方程f x0ar 2e 有唯独解时， 方程gxtxf x2x0 也有唯独解，求正实数 t 的值；复习题答案： 1、解：（）q sn3 n 21n ，当 n1 时，a1s1222321325当n2时， sn 1n1n1nn12222ansnsn 13n1数列 an是首项为 2，公差为 3 的等差数列，an3n1又各项都为正数的等比数列bn 满意

28、b1b31 ,b15432b2b1q1 , b q 4114321 n，解得 b11 , q1 ，bn221 n2 由题得 cn3n12t211 21 n 11 nn5.3n43 n122221 25 13.3n41 n3 n11n122221tn22 -得1 t1 21 31 n1 n 1n13 l3n12222211 n 11134213n1 n 11251 n1 n 1133n12222tn53n5 2n12 分2、解析：（）由已知得2bc cos a281 bc sin a即 3cos a 324sin a0sin a35cos a45sin 2 bc 2cos 2 a1cos a2c

29、os 2 a2 cos2 acos a122216412525259 6 分50（）由（）知3sin a5s abc1bc s i na23, b2 ,2c5又aa 24252226c25452bcos a 13a13 12 分3、.解：（ 1）由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1, a+b+c=0.35 1 分由于抽取的 20 件日用品中，等级系数为4 的恰有 3 件，所以 b= 320=0.15 3 分等级系数为 5 的恰有 2 件，所以 c= 220=0.1 4 分从而 a=0.35-b-c=0.1所以 a=0.1b=0.15c=0.1 6 分（ 2 ） 从 日 用 品x 1

30、,x 2 ,x 3 ,y1 ,y2 中 任 取 两 件 ， 所 有 可 能 结 果x1,x 2,x 1,x 3,x 1,y1,x 1,y2,（ x 2 ,x3 ） ,x 2 ,y1 ,x 2 ,y2 ,x 3 , y1 , x 3 ,y2 ,y1 ,y2 共 10 种， 9 分设大事 a 表示“从日用品x 1 ,x 2 ,x 3 ,y1 ,y2 中任取两件，其等级系数相等” ，就 a 包含的基本领件为 x 1 ,x 2 ,x 1 ,x 3 ,x 1 ,x 2 ,y1 ,y2 共 4 个， 11 分故所求的概率pa=410=0.4 12 分4、（） 证明：由于 pa底面 abc ， bc底面 abc ， 所以 pabc ，又由于acbc ，paaca ， 所以 bc平面 pac ，又由于 ah平面 pac ，所以 bcah .由于paac，h 是 pc 中点，所