2022年其他不等式的解法

1、学习必备欢迎下载课题：其他不等式的解法教学目标： 1、把握简洁的分式不等式、肯定值不等式的解法；2、能对简洁的肯定值不等式给出几何说明，并结合图形解决简洁的肯定值不等式；3、介绍简洁的高次不等式的解法；4、体会化归、等价转换的数学思想方法；教学重点：简洁的分式不等式、肯定值不等式的解法.教学难点：不等式的同解变形.教学过程：一、分式不等式的解法1、引入某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同） ，假如甲的上楼速度是乙的2 倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上， 问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍；设楼梯的长度为 s,甲的速度为 v,自动扶梯的运

2、行速度为v0 ,于是甲上楼所需时间为svs，乙上楼所需时间为v.v 0 + 2由题意，得 s2v<s. v 0 + v整理的 1v2<2 v 0 + v .由于此处速度为正值，因此上式可化为2v0+v<2v ，即 v>2v 0；所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2 倍.2、分式不等式的解法例 1 解不等式： x + 13 x - 2>2.解：（化分式不等式为一元一次不等式组）x + 13 x - 2>2x - 1 < 0x + 13 x - 2 -2>0x - 1 > 0- 5 x - 1 3 x - 2>0x < 1x -

3、 13 x - 2 <0x > 13 x - 2 > 0 或3 x - 2 < 02 或x > 32x <323 <x<1 或 x 存在所以，原不等式的解集为232,1 ，即解集为 3,1；另解：（利用两数的商与积同号ab>0ab>0,a b<0ab<0 化为一元二次不等式）x + 13 x - 2>2x + 13 x - 2 -2>02- 5 x - 1 3 x - 2>0x - 13 x - 2 <03x2x 1<03 <x<1 ，所以，原不等式的解集为23,1.由例 1 我们

4、可以得到分式不等式的求解通法：（ 1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零.（ 2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分为两类：（ 1） f x g x （ 2） f x g x 说明 >0<0fxgx>0<0 ；f x g x 0 0 0（ 0）g x 0解不等式中的每一步往往要求“等价 ”，即同解变形，否就所得的解集或“增”或“漏”由.于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要；例：解不等式x123 x2x1解：由3x2x12 得3x220 ，即5 x503x2由于两个数的

5、商与积同号，所以（-5x+5 ） 3x-2<0即 5x-13x-2<02x13所以原不等式的解集为 2 ,13一般地，解形如 axbk 的分式不等式的一般解法是：先移项通分，转化为解形如cxda' xb'cxd0 的分式不等式，然后再进一步转化为解一元二次不等式；例、解不等式 x 2x + 8+ 2 x + 3<2.解：由 x 2x + 8+ 2 x + 3<2.得x820x 22x3整理得2x 2x 23x202x3由于一元二次方程x 22x30 的根的判别式=-8<0 ，因此对于任何实数x，分母 x22x3 的值都大于零；于是原不等式与不等式2

6、x 23x20 的解集相同；解不等式2x 23x20 ，得 x2或x1 ，2所以原不等式的解集为, 2 1 , ；2例、当 m 为何值时，关于 x 的方程 mx-1=3x+2 的解是正数？ m 为何值时，方程的解是负数？解：原方程可以化为（m-3） x=m+6假如 m=3,原方程无解假如 m3,那么原方程的解是xm6m3（ 1）方程的解是正数，即m60m3解集为 ,63,m6（ 2）方程的解是负数，即0m3解集为（ -6， 3）当 m,63, 时，原方程的解是正数； 当 m（ -6， 3）时，原方程的解是负数；练习 p402.31二、含肯定值的不等式的解法1、复习肯定值概念的几何意义.|x|=

7、x x00 x0xx0它表示实数 x 在数轴上所对应的点到原点的距离；因此，求不等式xa, a0 的解集就是求在数轴上到原点的距离小于a 的点所对应的实数 x 的集合；2、设 a,b r+，且 a<b，求以下不等式的解集.（ 1） |x|>a.（ 2） |x|<b.（ 3） a<|x|<b.（ 4） |fx|<gx 5|fx|>gx我们可以获得含肯定值的不等式的如下重要结论：设 0<a<b，就（ 1） |x|>ax<-a 或 x>a.（ 2） |x|<b-b<x<b.（ 3） a<|x|<b-

8、b<x<-a 或 a<x<b.上述结论的几何意义是比较明显的.说明 以上结论对于 a,b r 均成立，即（ 1） x|x|>a,a r=x|x<-a或 x>a,x r（ 2） x|x|<b,b r=x|-b<x<b,br三、例题应用例 1、解不等式 |2x-3|<5解： -5<2x-3<5-2<2x<8-1<x<4原不等式的解集是（ -1， 4）例2、解不等式 | x23 x |>4解： x23x4 或 x23 x4x23x40 或x23x40.（ x-4 ） x+1>0 或324

9、491670x>4 或 x<-1 或不等式无解原不等式的解集是,14,小结：1、形如 |fx|<aa>0 的解法，先转化为-a<fx<a, 然后求他们的解集2、形如 |fx|>aa>0 的解法，先转化为fx>a 或 fx<-a, 然后求他们的解集的并集；例 3、解不等式13| 2 x解：原不等式可化为3 | 2x3 |132x302x31 or 2x31即332x30解得 x54，或x33或 x>3322原不等式的解集是,5 4 ,3 3 ,3322例4、解不等式 |2x-1|-x<|x+3|+1分析： 要去掉第一个肯定值

10、的符号需争论x< 1 与 x21两种情形； 要去掉其次个肯定2值的符号需争论x<-3与 x3 两种情形；这样，要同时去掉两个肯定值的符号，需分x3,3x1 , x1 这三种情形加以争论；22解：当 x<-3 时， 1-2x-x<-x-3+1x> 3 这与 x<-3 冲突，原不等式无解2当3x1时,1-2x-x<x+3+123x>-43-41<x<21当 x时， 2x-1-x<x+3+12即-1<4.当 x1时，原不等式成立23原不等式的解集是x|x>-4例5、解不等式 |x+1|>|x-3|解： |x+1|,|

11、x-3|均非负，两边平方，得 x12 x32x22x1x26x98x>8x>1原不等式的解集是x|x>1小结 ;如|fx|<|gx| 或|fx|>gx| 的解法，可先转化为f 2 xg 2 x或 f2 xg 2 x，然后求它们的解集；练习 p42（ 1） |x1 + x|>x 1 + x.-1<x<0（ 2） |x2-3x|>4.x<1 或 x>4（ 3） x25|x|+6>0.x<-3 或2<x<2 或 x>3|（ 4） 2 x - 3x + 2|>1.x<-2 或2<x<

12、 1或 x>53（ 5） |x2|>2x+1 数形结合 x< 13（ 6） |3x1|<x+2 数形结合 - 12<x< 3 2（ 7） |x+1|+|x-2|>5. （分类争论） （ x<-2 或 x>3 ）（ 8） |x+3|-|2x1|<x2+1x<- 27或 x>2四、高次不等式2例 1、解不等式 x3x20解法一：x 22x3x23x20x1或x2x22x301x31x1或 2x3x2或 x23x202 x301x2x1或x31x1或2x3解法二：（列表法）原不等式可化为 x1x2 x3 x10 列表x+1, 1

13、-（-1， 1）+（ 1， 2）+（ 2， 3）+3,+x-1-+x-2-+x-3-+x-1x-2x-3+-+-+x+1留意：按根的由小到大排列解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解-2-101234小结：在某一区间内，一个式子是大于0（仍是小于 0）取决于这个式子的各因式在此区间内的符号；而区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在全部的高次不等式，其中最值得举荐的是“标根法”例 2、解不等式 x 33x22 x6解：原不等式化为 x3 x2 x20原不等式的解为x2或 3x2例 3、解不等式 x 24 x5 x 2x20解：x2x20 恒成立原不等式等价于x 24

14、x50 即-1< x<5例 4、解不等式 x2 2 x1 3 x1 x20解：原不等式等价于 x1 x1 x20 且 x2, x1原不等式的解为 x |1x2或 2x1或x2如原题目改为 x2 2 x1 3 x1 x20 呢？例 5、解不等式 x5 x2 x1 x480解：原不等式等价于 x 2x20 x2x2800即： x2x 222 x 2x1200 x2x12 x 2x100 x4x3 x141 x2141 02 4x1412或141x32例 6、解不等式16x1x1解：原不等式等价于 x5 x30x1原不等式的解为：3x1或x52x 22kxk例 7、k 为何值时，下式恒成

15、立：124x6x3解：原不等式可化为：22x64x 22k x3k 06x3而 4x26x30原不等式等价于2x 262k x3k 0由 62k 2423k 0 得 1< k<3例 8、解以下不等式 :2（ 1） xx 23x27x12 0；（ 2） xx 3x 1x 2 0x 23x2x1 x2解：（ 1） 2 00x7 x12x3 x4+_+_1_-_2_3_-_+_4_xx,12,3 4,（ 2） xx 3 x 1 x 2 0x1,02,3综合应用：1、 已知集合 a x x 23x20 ， b x mx24 xm10, mr ；如 ab，且 a b=a；求 m的取值范畴；解： a x x 23x20 = x x2或x1 ，a b又 ab b， ba ,b或b x2xa ； b x21x1 不合题意，舍去；又 b x mx24 xm10, mr ，b 等价于对一切xr , mx 24xm10 恒成立；m0164m m10m1172如 m=0, 就-4x-1>0 ，不合题意m 的取值范畴是 , 117 22 、设集合 a x x23, xr ， b x x 2px