重庆大学齿轮啮合原理作业

1、硕士学位课程考试试卷考试科目： 齿轮啮合原理 考生姓名： 考生学号： 学 院： 机械工程学院 专 业： 机械工程领域 考 生 成 绩： 任课老师 (签名) 2013 年 6月 24 日一、 基本概念（每题3分，共计24分）1 解释齿轮的瞬心线？ 答： 瞬心和瞬心线的定义如下：瞬心是指两构件上瞬时速度相等重合的点，瞬心点运动所形成的轨迹称为瞬心线。如图1，设P点处的相对运动速度为零，所以P点就是两齿轮的瞬时相对运动中心（瞬心）。由于P点在联心线上，且，当传动比是变数时，在齿轮传动过程中，P点的位置也是在上变动的。P点在平面及上的轨迹就称为齿轮1及齿轮2的瞬心线（图1.1）。 图1.1 瞬心线2

2、解释平面曲线的曲率？ 答：在图1.2中，用表示曲线的弧长。考察曲线上分别与和对应的两个相邻的点和，图2。点和之间的弧长，而是点和处的两条切线之间的夹角。当点趋近于点时，比值的极限称为曲线在点处的曲率（标记为），即。在存在的条件下，。图1.2 平面曲线的曲率3 解释齿廓渐屈线？答：一条给定齿廓曲线的渐屈线是该齿廓曲线曲率中心的轨迹，也是该齿廓曲线密切圆圆心的轨迹（图1.3）。齿廓曲线每一点的法线都和其渐屈线相切，因此，齿廓渐屈线也是齿廓法线族的包络。 图1.3 齿廓的渐屈线4 解释齿轮的瞬时回转轴？ 答：在平行轴或相交轴的齿轮副中，两齿轮作相对的瞬时回转运动的轴线，称为瞬时回转轴。在交错轴齿轮副

3、中，两齿轮作相对的瞬时螺旋运动的轴线，也称为瞬时回转轴。如图1.4。图1.4 齿轮的瞬时回转轴5 解释齿轮的瞬轴面？ 答：图1.5表示回转运动在两个相交轴之间进行传递，两轴线和构成夹角。两齿轮朝相反的方向转动，瞬时回转轴线是齿轮1对齿轮2（或齿轮2对齿轮1）相对运动中的角速度的作用线，相对于两齿轮轴线的方向用角和来确定。瞬时回转轴在与回转齿轮刚性固接的动参考标架中的轨迹构成瞬轴面。在两相交轴之间的回转运动进行传递的情况下，瞬轴面是两个顶角为和的圆锥。 图1.6中，两个构件分别以角速度和绕两个相错轴转动，转动轴线构成相错角，两轴线之间的最短距离为。当构件1和2转动时，螺旋运动的瞬时轴线在参考标架

4、1和2中将形成两个曲面回转双曲面。这样的曲面是在两相错轴之间传递回转运动情况下的瞬轴面，此时的瞬轴面是螺旋运动瞬时轴线在坐标系中形成的轨迹。 图1.5 瞬轴面：两相交轴之间的回转运动 图1.6 瞬轴面：两相错轴之间的回转运动6 解释共轭齿形？ 答：在图1.7中、是两齿轮的瞬心线，1、2则是相应的一对齿形。齿轮传动过程中，两瞬心线作相对的纯滚动，两齿形则应时时保持相切接触（有相对滑动），它们常称为互相共轭的齿形或共轭齿形。 共轭齿形在传动的任一瞬时，它们在接触点的公法线必然通过该瞬时的瞬心点P。P点在联心线上，而。当传动比是常值时，P点在联心线上的位置是固定的，因此，共轭齿形在接触点的公法线是通

5、过一个定点（节点）P的。图1.7 共轭齿形7 解释啮合面？ 答：配对曲面和在每一个瞬时彼此沿着一条线相接触，该线称作瞬时接触线或者特征线。齿轮齿面上瞬时接触线的位置决定于运动参数。而啮合面是表示在与机架刚性固定坐标系中的瞬时接触线族。啮合面用如下方程表示：。式中，这里，矩阵描述到的坐标变换。8 写出Euler的方程式？ 答：Euler方程建立了曲面的法曲率和主曲率之间的关系，并且表示为。式中是由矢量和单位矢量构成的夹角（图1.8）。矢量表示在曲面的切面上选取的方向，而是曲面在这个方向上的法曲率。单位矢量和沿着两个主方向，而和是主曲率。图1.8 矢量的分解二、 分析曲线和曲面（21分）要求：采用

6、微分几何理论及数学软件的方法；1） 举实例对曲线进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：a、本题将对外摆线进行绘制。 外摆线 是所有形式为的曲线，其中 n 为正实数。Matlab程序：t=0:pi/100:2*pi;a=20;b=2;x=(a+b)*cos(t)-b*cos(a+b)*t/b);y=(a+b)*sin(t)-b*sin(a+b)*t/b);plot(x,y);axis equal;图形：图2.1 外摆线b、内摆线内摆线的定义：一个动圆内切于一个定圆作无滑动的滚动，动圆圆周上一个定点的轨迹叫做内摆线。内摆线（圆内螺线）是所有形式为x

7、=cost+cos(nt)/ny=sint-sin(nt)/n的曲线，其中 n 为正实数。Matlab程序：clear all;clc; t=0:pi/100:2*pi; a=20;b=2; x=(a-b)*cos(t)+b*cos(a-b)*t/b); y=(a-b)*sin(t)-b*sin(a-b)*t/b); plot(x,y);axis equal; 图形如下：图2.2 内摆线2） 举实例对曲面进行分析（建立坐标系、详细说明、作图分析及列出程序）。答：本题将对阿基米德螺旋面进行绘制定义：动直线以恒定的角度与一条固定的直线（轴线）相交，并沿此轴线方向作等速移动时，又绕此轴线作等角速的旋

8、转运动；此动直线在固定空间内的运动轨迹。方程是：x=rcos; y=rsin; z=h/(2*pi);化简计算，取r为1，h为2*pi。Matlab程序如下：h=2*pi;r,theta=meshgrid(linspace(0,1,50),linspace(0,2*pi,500);x=r.*cos(theta);y=r.*sin(theta);z=h*theta/2/pi;surf(x,y,z);shading interp结果图形如下：图2.3 阿基米德螺旋面三、 推导方程（1题8分，2题12分，共计20分）1. 坐标系S1(x1,y1,z1)和S2(x2,y2,z2) 刚性固接到齿轮1和齿

9、轮2，两齿轮传递平行轴之间的回转运动（图1）。齿轮的两回转角1和2 用方程:21=12 联系着，式中1和2是两瞬线的半径。E是两转动轴线之间的最短距离。固定坐标系Sf 刚性固接到齿轮箱体上。Sp 是辅助坐标系，它也刚性固接到齿轮箱体上。 图1推导：1) 从S2到S1的坐标变换方程。2) 从S1到S2的坐标变换方程。解：1) 易知，从到的坐标系变换是基于如下的矩阵方程： (1) 式中和是转动矩阵，而是移动矩阵。这里 (2) 从方程(2)可导出 (3) 利用方程(1)和(3)，我们得到从S2到S1的坐标变换方程： 2) 逆矩阵可以通过的各元素表达如下 逆坐标变换基于矩阵方程 从该方程可导出从S1到

10、S2的坐标变换方程： 2. 坐标系 S1 , S2 和 Sf分别与齿条刀具、被加工的直齿外齿轮和机架刚性固接（图2）。齿条刀具的齿形是直线，该直线用方程x1=usina y1=ucosa （ -u1<u<u2 ）表示在S1 中。这里，a 是齿形角（压力角）；u 是变参数，该参数用来确定齿条刀具齿形上的流动点位置（对于点M，u>0 ；对于点M'，u<0）。瞬时回转中心为I 。齿轮的瞬心线是半径为r的圆，而齿条刀具的瞬心线与x1 轴重合（图2）。齿条刀具的位移s 和齿轮的转角 有如下关系式s=r 图2求： 1）推导啮合方程。2）导出齿条刀具和被加工齿轮在啮合中的啮合

11、线方程。3）导出被加工齿轮的齿形方程。4）确定齿条刀具的极限安装位置，这种安装位置将使齿轮的被加工齿形避免根切，并作图说明。解：1) 啮合方程可写成如下形式： 这里，是表示在中的I的坐标。 式中和是产生齿形的切线矢量和法线矢量，是轴的单位矢量。 从上述方程可以导出啮合方程的下列表达式 2) 啮合线方程可以表示为：于是， 从而可以得到啮合线方程如下， 3) 被加工齿轮的齿形用下列方程表示S1到S2的坐标变化： (1)啮合方程： (2) 式中 (3) 方程(1)(3)可以导出被加工齿轮齿形的下列表达式： (4) 方程(4)用有联系的参数和以双参数形式表示被加工齿形（它是平面曲线）。 在这种特殊情况

12、下，因为啮合方程对参数是线性的，所以能够从方程(4)中消去，并且以单参数形式将被加工齿形表示如下： (5) 方程(5)表示一条渐开线，它对应半径为的基圆。 4) 齿条刀具齿形的界限点是这样的点，它在齿轮的齿形上形成奇异点。齿条刀具的界限点可以用啮合方程和根切方程确定，后一方程可以用下面的方程求出 联系和 式中 可以导出 这样，我们得到的界限值为，进而我们得到 考虑到啮合方程，我们得到与由方程给出的相同的界限值。图3.1 齿条刀具的极限安装位置 上图说明了齿条刀具的极限安装位置，此时点F形成齿轮齿形上的奇异点。点F的参数是负的，并由方程确定。四、 综述及分析？（20分）采用齿轮啮合原理的基本理论

13、和方法，结合工程实际或列举实例，建立坐标系、理论推导、综合分析齿轮啮合原理的应用。（编程设计、实体建模、仿真分析、运动轨迹等）。答：本题分两部分作答，第一部分使用Matlab编程通过范成法原理绘制齿轮的外齿廓，第二部分是利用COMSOL有限元分析软件对齿轮进行力学性能分析。第一部分：范成法画齿廓这里以齿条插刀切制齿轮为例，在加工过程中，刀具与齿轮毛坯之间的相对运动相当于齿条与齿轮的啮合运动，它们之间的相对运动关系，可以看成是这样两种独立运动的叠加。假定齿轮静止不动，而齿条刀具首先平移一个齿距S且S=R*，然后再绕齿轮毛坯中心沿着与平移方向相反的方向绕过一个角，按照齿条刀具的这种复合运动，齿条上

14、任意一点A1(x1,y1)有如下关系: 齿条刀具绕齿轮毛坯中心逆时针转过角，A1(x1,y1)移至A2(x2,y2)点。 由上述式子可知，对应于不同的值，可求出齿条刀具上若干特征点在不同位置时的一系列的坐标值，由此可确定出齿轮毛坯的渐开线齿廓。范成法原理：一对齿轮啮合传动时，两轮的齿廓互为包络线。如齿轮刀具与毛坯模拟一对齿轮传动，则可加工出与刀刃互为包络线的齿廓。刀刃为渐开线，则被加工齿轮齿廓也为渐开线。由于在实际加工时，看不到刀具在各个位置形成包络线的过程，通常是使用齿轮范成仪来模拟演示齿轮范成过程，范成仪上的齿条刀具做横向移动，范成仪上代表被切齿轮毛坯的硬图纸以作定轴转动，此时齿条刀具节线

15、与硬图纸分度圆作纯滚动。齿条刀具每移动一小距离即在图纸上记录出齿条廓线，最后由一系列廓线形成的包络线，即为被切齿轮的齿廓曲线，此过程即为齿轮齿廓的范成演示过程。Matlab程序如下：clearhd=pi/180;clear;m=10;z=input('请输入渐开线齿轮齿数z=');phi0=20;x=0;x0=0;y0=0;r=m*z/2;hd=pi/180;du=180/pi;p=pi*m;s=2.5*m*tan(phi0*hd);h=(2*s+p)/4;c=x0-2*p-h;%2.计算齿条刀具上20个特征点在初始位置的坐标值，并存入数组x1,y1x1(1,1)=c; y1(

16、1,1)=-(r+(1.25+x)*m)+y0;x1(2,1)=x1(1,1)+s;y1(2,1)=y1(1,1)+2.5*m;x1(3,1)=x1(2,1)+(p/2-s);y1(3,1)=y1(2,1);x1(4,1)=x1(3,1)+s;y1(4,1)=y1(3,1)-2.5*m;for i=5:20 x1(i,1)=x1(i-4,1)+p; y1(i,1)=y1(i-4,1);end%3.计算齿条刀具向左侧平移和旋转后的坐标值，并存入数组x2,y2j=0;for d_phi=0:(6*hd):4.398226/2; j=j+1; for i=1:20; x1(i,j)=x1(i,1)-

17、r*d_phi; y1(i,j)=y1(i,1); s2=y1(i,j)-y0; s1=x1(i,j)-x0; r1(i,j)=sqrt(s1)2+(s2)2); phi(i,j)=atan(s1/s2); x2(i,j)=r1(i,j)*sin(phi(i,j)-d_phi)+x0; y2(i,j)=r1(i,j)*cos(phi(i,j)-d_phi)+y0; endend%4.计算齿条刀具向右侧平移和旋转后的坐标值，继续存入数组x2，y2for d_phi=0:-(6*hd):-4.398226/2; j=j+1; for i=1:20; x1(i,j)=x1(i,1)-r*d_phi;

18、 y1(i,j)=y1(i,1); s2=y1(i,j)-y0; s1=x1(i,j)-x0; r1(i,j)=sqrt(s1)2+(s2)2); phi(i,j)=atan(s1/s2); x2(i,j)=r1(i,j)*sin(phi(i,j)-d_phi)+x0; y2(i,j)=r1(i,j)*cos(phi(i,j)-d_phi)+y0; endend%5.渐开线齿轮范成的动态模拟figure(1);j0=j;for j=1:j0plot(x2(:,j),y2(:,j); axis equal; hold on;grid on;endrb=r*cos(20*hd); ra=r+(1+

19、x)*m;rf=r-(1.25-x)*m; ct=linspace(0,2*pi);plot(rb*cos(ct),rb*sin(ct),'c-'); plot(r*cos(ct),r*sin(ct),'g');plot(ra*cos(ct),ra*sin(ct),'r');plot(rf*cos(ct),rf*sin(ct),'b');title('渐开线齿轮范成的动态模拟'); xlabel('m=10,z=6/12/20,alpha=20,x0=0');Matlab程序生成的结果图如下：图4.

20、1 模数z分别为6,12,20时的渐开线齿轮动态模拟图图4.2 模数z分别为6,12,20时的渐开线齿轮动态模拟图的局部放大图第二部分：利用COMSOL有限元软件对齿轮进行力学性能分析解题过程及结果如下：1、 使用UG NX8.0里的工具箱进行齿轮建模并装配，然后进行修剪再导入COMSOL进行有限元分析。图形如下：图4.3 整个齿轮的装配图2、 先截取三对轮齿对其进行静力学分析，其中左侧小轮为主动轮，施加14.375Nm的转矩，右侧大轮为从动轮，对其内圈进行固定。结果如下：图4.4 静力学分析3、 对修剪之后的三对轮齿进行下列前处理（左侧小轮为主动轮，大轮为从动轮）图4.5a 前处理（蓝色面为

21、对称面）图4.5b 前处理（蓝色面施加扭矩并只保留沿z轴转动自由度） 图4.5c 前处理，设置蓝色面为接触副1 图4.5d 前处理，设置蓝色面为接触副2 图4.5e 蓝色面施加转速并约束其余自由度 图4.5f 前处理，网格划分2.选择瞬态模块对已建好的模型进行分析3.得到的结果如下所示 图4.5a Time = 0时刻 图4.5b Time = 1e-4时刻图4.5c Time = 2e-4时刻五、 学习心得体会？（15分）学习本门课程的具体详细收获及体会。答：由于导师要求以及齿轮啮合相关知识的需要，有幸能够选修到林老师的齿轮啮合原理这门课程。本门课程统一使用李特文教授编写的齿轮几何学与应用理

22、论，不得不说该书是一部经典的齿轮啮合理论丛书，包含了齿轮啮合方方面面的只是，着实让我受益匪浅。具体来说，该书，也即是该课程的主要内容有：坐标变换、相对速度、瞬心线、瞬轴面、工作曲面、平面曲线、曲面、共轭曲面、共轭曲线、曲率、接触椭圆、计算机模拟、各类型齿轮、各类型齿轮传动、螺旋面加工、飞刀设计等。初上这门课程的时候感觉挺简单的，因为坐标变换、相对速度等一些基础知识以前都有学习过，所以学起来很轻松，但越到后边，就越感觉到学习的吃力，因为内容太多，而课程的时间以及自己课外学习的时间有限，所以在课程的后面没有能够紧跟老师步伐，稳打稳扎，对此破表遗憾。但，总的来说，该门课对我齿轮方面相关知识的学习以及以后的科研进展都很有帮助。首先，不得不说，上课点名以及迟到扣分不失为一个获取良好上课氛围的好方法。林老师的课应该是所有课程当中到课学生最多的，学生学习态度最好的，这是我们必须承认的。如林老师所说，态度是第一步。人首先得端正了态度，他才能最高效的去学习知识。虽然该课程很难，但我们能始终如一以一颗饱满的学习知识的态度修习完整个课程，这就是一种成功。最后，采取分组，然后以讲PPT的方式来锻炼学生自我学习、自我总结以及表现自我的能力，这也是值得大大称赞的。我做的是第七章曲面曲率那一部分，如第一、第二基本齐式，主方向和