数学物理方程PPT讲义

1、同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。二、定解条件的推导二、定解条件的推导其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。初始时刻的温度分布：B、热传导方程的初始条件0(, )|()tu M tMC、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件条件A、 波动方程的初始条件00|( )( )ttuxuxt1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度注意：初

2、始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。注意：初始条件必须写完整，也就是要把整个体系所有点的初始态都写出来。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况三类边界条件第一类边界条件：直接规定了所研究的物理量在边界上的数值，即)(tfuS第二类边界条件：规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值，即)(tfnuS)()(tfnuuS第三类边界条件：规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界的数值，即(2)自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A、 波动方程的边

3、界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：0|0,xu( , )0u a t 或：0 x aux( , )0 xu a t (3) 弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。或0 x auux0 x auTxYx ax auTkux SYB、热传导方程的边界条件(1) 给定温度在边界上的值|sufS给定区域v 的边界(2) 绝热状态0sun(3)热交换状态牛顿冷却定律：H热传递系数，T周围介质的温度1kkH)(TuHnukwss1SSuuunT1 1、定解问题、定解问题三、定解问题的概念三、定解问题的概念(1) 初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2) 边值

4、问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3) 混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的适定性定解问题的适定性（判断定解问题是否提的正确）（判断定解问题是否提的正确） 一个偏微分方程的定解问题，如果它对所考察的物理现象的描述基本上是正确的，那么，它的解通常应该是存在的，唯一确定的，而且是稳定的。u解的存在性：是研究在一定的定解条件下，方程是否有解。从自然现象归结出偏微分方程时，总要经过一些近似的过程，并提出一些附加的要求。对于比较复杂的自然现象，有时也很难断定所给的定解条件是否过多，或者互

5、相矛盾。从物理意义上来看，对于合理的提出问题，解的存在似乎不成问题，因为自然现象本身给出了问题的答案。在数学上对解的存在性进行证明的必要性u解的唯一性：是研究在已给的定解条件下，方程的解是否只有一个。从物理意义上来看，这又是一个不成问题的问题，因为在客观上，决不会在相同的条件，存在两种不同的物理过程。但是，如果所给的定解条件不够，那就不足以保证解的唯一性。u解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应的微小变动。在研究物理现象时，对定解条件是通过测量得到的，而测量不免有误差。如果定解条件的细小误差便导致了解的极大变化，那么所考察的定解问题，实际上就不能正确的反映所想要确定的物理现象。这样，在

6、数学上就不能保证所获得的解是实际所需要的解的近似。如果定解问题的解是稳定的，那么就可断言，只要定解条件的误差在一定的限制之间，我们所得的解就必然近似于所需要的解。线性方程的解具有叠加特性 iifLu ffiuuifLu 0iLuuui0Lu2 2、叠加原理、叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)3 3、微分方程的解、微分方程的解 古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。通解： 解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常数的解。 特解： 通过定解条件确定了解中的任意常数后得到的解。

7、形式解：未经过验证的解为形式解。 4 4、求解方法、求解方法分离变量法、行波法、积分变换法、格林函数法思考题一长为l的均匀柔软细绳（绳的重量忽略），其一端固定在竖直轴上。绳子和轴以匀角速 转动，试导出此绳相对水平线的横振动方程。解：由于研究的是柔软的轻绳，故弦的重力可忽略不计。取绳的平衡位置，即水平线为x轴，如图所示。oxx+dxxu在绳中取一小段dx，考虑它的受力和运动情况。oxx+dxxuT2T112设x处t时刻的位移为u(x,t)，T1和T2分别为dx微元两端所受的张力，且与水平方向的夹角为1和2.由牛顿第二定律得：x方向xdxTT21122coscosu方向ttdxuTT1122sinsin(1)(2)由于是微小的横振动，所以1coscos12dxxxu22ta