高阶偏导数最新课件

1、高阶偏导数PPT课件 (2)高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学（三）（三）多元微积分学高阶偏导数PPT课件 (2) 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学 曾金平教案编写：刘楚中 曾金平电子制作：刘楚中高阶偏导数PPT课件 (2)第一章 多元函数微分学本章学习要求：理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。熟练掌握二元和三元函数的偏导数、

2、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。1. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。高阶偏导数PPT课件 (2)会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。知道二元函数的泰勒公式形式。知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解

3、条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法求条件极值。13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。高阶偏导数PPT课件 (2)多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似多元函数的高阶导数与一元函数的情形类似. . 一般说来一般说来, , 在区域在区域 内内, , 函数函数 z = f (x, y) 的偏导数的偏导数,xzyz仍是变量仍是变量 x , y 的多元函数的多元函数, , 如果偏导数如果偏导数的二阶偏导数的二阶偏导数. .依此类推依此类推, , 可定义多元函数的更高阶的导数可定义多元函数的更高阶的导数. .仍可偏导仍可偏导

4、, , 则它们的偏导数就是原来函数则它们的偏导数就是原来函数,xzyz高阶偏导数PPT课件 (2) 一般地一般地, , 若函数若函数 f (X) 的的 m1 阶偏导数仍可偏阶偏导数仍可偏 导导, ,则称其偏导数为原来函数的则称其偏导数为原来函数的 m 阶偏导数阶偏导数. . 二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数二阶和二阶以上的偏导数均称为高阶偏导数, , 其其中中, , 关于不同变量的高阶导数关于不同变量的高阶导数, , 称为混合偏导数称为混合偏导数. .高阶偏导数PPT课件 (2)的的二二阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz xzxy xzx xzyyzxy yzx yzy

5、xxx2yyy222xzyxz2xyz222yz 例例高阶偏导数PPT课件 (2)1122ffxzxx 2222ffyzyy 122ffyxzxy 212ffxyzyx 二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项高阶偏导数PPT课件 (2)的的三三阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz 22xz3322xzxzxyxzxzy2322xy22xz22yzyxz2xyz2 例例1高阶偏导数PPT课件 (2)的的三三阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz 22yzxyzyzx23223322yzyzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例2高阶偏导数PPT课件 (2)的

6、的三三阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz yxz2xyxzyxzx32232yxzyxzyxy22xz22yzyxz2xyz2 例例3高阶偏导数PPT课件 (2)的的三三阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz xyz2232xyzxyzxyxyzxyzy32xy22xz22yzyxz2xyz2 例例4共共 23 = 8 项项. .的的三三阶阶偏偏导导数数：二二元元函函数数 ),( yxfz 高阶偏导数PPT课件 (2) 发现求高阶导数与求导顺序有关.高阶偏导数PPT课件 (2)求求13323xyxyyxz的二阶偏导数的二阶偏导数. .先求一阶偏导数：先求一阶偏导

7、数：,33322yyyxxz,9223xxyyxyz再求二阶偏导数：再求二阶偏导数：xzyxyzyx22xzxzx)33(322yyyxx26xy22yzyzy)92(23xxyyxyxyx1823 例例解解高阶偏导数PPT课件 (2)求求13323xyxyyxz的二阶偏导数的二阶偏导数. .xzyxyzyx 例例解解二阶混合偏导数：二阶混合偏导数：yxz2)33(322yyyxy19622yyxxyz2)92(23xxyyxx19622yyx观察 发现两个混合偏导数相等发现两个混合偏导数相等 一般性？一般性？这里的两个混合偏导数均连续高阶偏导数PPT课件 (2)设设0 , 0 0 , )()

8、,(22222222yxyxyxyxxyyxf, )0, 0(xyf . )0, 0(yxf 求求需按定义求函数在点需按定义求函数在点(0, 0) 处的偏导数处的偏导数: :)0, 0(xfxfxfx)0, 0()0,(lim00)0, 0(yfyfyfy)0, 0(), 0(lim00 )0, 0(xyfyfyfxxy)0, 0(), 0(lim01lim0yyy )0, 0(yxfxfxfyyx)0, 0()0,(lim01lim0 xxx 例例解解高阶偏导数PPT课件 (2)这说明只有在一定的条件下求函数 ),0 , 0( )0 , 0( ,yxxyff 在该例中的高阶偏导数才与求导顺序

9、无关.高阶偏导数PPT课件 (2)定理若),(yxfz 的二阶混合偏导数在),U(00yx内存在且在点),(00yx处连续,则必有yxyxf),(002 .),(002xyyxf 废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么. 有些函数不必求出其导数,就可知道它的导函数是否连续. 懂吗！高阶偏导数PPT课件 (2)令令则则内内考考虑虑式式子子在在 ),U( 00yx),(),(A0000yxxfyyxxf ),(),()( 00yxfyyxfx )()(A 00 xxx连续、可导连续、可导, , 由拉格朗日中值定理得由拉格朗日中值定理得 . 1)(

10、0 , )(A110 xxx ),U( )( 00内内在在续性可知，函数续性可知，函数由二阶混合偏导数的连由二阶混合偏导数的连yxx证证),(),( 0000yxfyyxf高阶偏导数PPT课件 (2)即即xyxxfyyxxfxx),(),(A010010关于变量关于变量 y 再运用拉格朗日中值定理再运用拉格朗日中值定理, , 得得yxyyxxfxy ),(A2010 1),(021同理同理, , 令令, ),(),()(00yxfyxxfyh则则)()(A00yhyyh先关于变量先关于变量 y 再关于变量再关于变量 x 运用拉格朗日中值定理运用拉格朗日中值定理, , 得得yxyyxxfyx )

11、,(A4030 1),(043高阶偏导数PPT课件 (2)故故yxyyxxfxy ),(A2010yxyyxxfyx ),(4030由二阶混合偏导数连续性由二阶混合偏导数连续性, , 取极限后取极限后, , 即得定理的结论即得定理的结论. .),(),( 40302010yyxxfyyxxfyxxy 即即有有高阶偏导数PPT课件 (2)现在问你, 证明定理时为什么会想到用),(),(A0000yxxfyyxxf),(00yxf),(00yyxf),(00yxxf),(00yyxxf？ 课后再想),(),(0000yxfyyxf ,22xyfyxf是依次将一个变量看成常数求导.高阶偏导数PPT课

12、件 (2)引入记号：记号：)(Xf在在内有直到内有直到 k 阶的连续偏导数阶的连续偏导数, ,记为记为, )()(kCXf。, 2 , 1 , 0k)(),(nCyxf时时, , 则在求则在求n 阶及阶及n 阶以下的偏导数时阶以下的偏导数时, , 可大大减少运算可大大减少运算次数次数. .自变量的个数越多自变量的个数越多, , 求导与求导顺序无关的作用越求导与求导顺序无关的作用越二元函数的二元函数的n 阶偏导数就有阶偏导数就有2n 项项, , 当当 明显明显. .高阶偏导数PPT课件 (2)xzyxxye22yzyxex22xzxxz22x)2(2yxxyeyxeyxy2)42(22yzyyz

13、22y)(22yxexyxex24xyzyxz22yxeyxx2)22(3x)(22yxex 例例解解 . 2的的二二阶阶偏偏导导数数求求yxez 高阶偏导数PPT课件 (2)xu 1fxzyx)( 2fxxyz)(21fyzfyxu2)(21fyzfy 11fyzyx)( 12fyxyz)(2fz yxyzfyzyxfyz)()(2221 11f 12)(fzyx 222fxyz2fz. ,22yxuxyu此时 . , , ) ,( 22yxuCfxyzzyxfu求求且且设设 例例解解高阶偏导数PPT课件 (2)xu)(222zyxfxzyx)(222)(2222zyxfxx)(2(222z

14、yxfx)(2222zyxf)(42222zyxfx yyxu2)(2(222zyxfx)(4222zyxfxy 22xu 例例解解 . , , , )( 2222222yxuxuCfzyxfu求求其其中中设设高阶偏导数PPT课件 (2) . , 0 22xzxyzez求求设设这是求隐函数的高阶偏导数这是求隐函数的高阶偏导数. .则则令令 ,),( xyzezyxFzzFxFxzxyeyzzxyeyzzxzxxz22xyeyzxz 例例解解高阶偏导数PPT课件 (2)xzxxz22xyeyzxz2)()(xyeyxzeyzxyexzyzzz32)()()(xyexyeyyzeyzxyezyzz

15、zz32232)(22xyeezyzxyzeyzzzxyeyzxzz高阶偏导数PPT课件 (2)利用变量代换利用变量代换,atx atx 将方程将方程22222xuatu化为关于变量化为关于变量,的方程的方程. . )(2Cu令令,),(uu ,atx atx tutuuauatuutxtuttu22uauattutua222tutua222*utx 例例解解高阶偏导数PPT课件 (2)即即22tu222 ua222uaua222同理可得同理可得22xu22 uu2222u将上述偏导数带入原方程将上述偏导数带入原方程, , 得到得到 . 0 2u )(2Cu高阶偏导数PPT课件 (2) 利用算

16、子可以方便地表示 高阶微分 泰勒公式高阶偏导数PPT课件 (2).dddd 2211nnxxuxxuxxuu.dddd 222112uxxxxxxunn若若,),(11Cxxfun则它的全微分则它的全微分存在存在, ,且且 ud 若若,),(21Cxxfun则则 d ,d1的的全全微微分分故故uCu d )d(d2，且且的的二二阶阶微微分分，记记为为存存在在，称称为为ufu高阶偏导数PPT课件 (2) ),( 1阶阶的的微微分分：有有直直到到，则则一一般般地地，若若kfCxxfukn. )(ddd1uukk dddd 2211uxxxxxxuknnk111 2 11 3 3 11系数：高阶偏导

17、数PPT课件 (2)uyyxxu22ddduyyyxyxxx2222222ddd2d2222222ddd2dyyuyxyxuxxu 例例解解 . d ),( 22uCyxfu，求求设设高阶偏导数PPT课件 (2)uyyxxu22ddd2222222ddd2dyyuyxyxuxxuyxyuxyuyxuxuyxdd)d (d222222 称为二阶 Hessian 矩阵二阶微分的矩阵表示：高阶偏导数PPT课件 (2)u3duyyxx3dd333dxxu333d yyuyxyxudd3223223dd3yxyxu又又,633xu,623yxu,623yxu633yu故故u3d)ddd3dd3(d632

18、23yyxyxx 例例解解 . d )(3 333uyxxyyxu，求求设设高阶偏导数PPT课件 (2) 泰勒公式 与求多元函数的偏导数的方法类似, 我们想借助一元函数的泰勒公式来建立多元函数的泰勒公式.高阶偏导数PPT课件 (2)首先首先, , 将一元函数的泰勒公式写成微分形式：将一元函数的泰勒公式写成微分形式：)(xf)(0 xfxxf)(0nnxxfn)(!10)()(xRn)(0 xf)(d0 xf)(d!10 xfnn)(xRn)(0 xf)(d!101xfkknk)(xRn高阶偏导数PPT课件 (2) x 为自变量时)(xf)(0 xf)(d!101xfkknk)(xRn)(xRn

19、)(d! ) 1(101xxfnn) 10( 运用点函数进行推广高阶偏导数PPT课件 (2)定理(多元函数的泰勒公式)(Xf)(0Xf)(d!101Xfkkmk)(XRm拉格朗日余项拉格朗日余项. . )U( )(U()( 001内内有有，则则在在中中，设设在在XXCXfRmn ) 10( , ) (d! ) 1(1)( 01称称为为其其中中XXfmXRmm高阶偏导数PPT课件 (2)由多元函数高阶微分式： dddd 2211uxxxxxxuknnk d1uxxkniii)(diixx多元函数的泰勒公式可写成一般形式：)(Xf)(0Xf) 10()(XRm, )(! ) 1(101XXfxxmniii