高数定积分的运用课件

1、高数定积分的运用PPT课件一、一、 定积分微元法定积分微元法二、二、 定积分在几何上的应用定积分在几何上的应用 定积分的应用 第六六章 高数定积分的运用PPT课件先回顾定积分概念的引入 ：曲边梯形面积的求法定积分所要解决的问题是求一些非均匀分布的整体量定积分所要解决的问题是求一些非均匀分布的整体量解决的方法是以下四个步骤（设整体量为 ）：Q一、一、“分割分割”：把所要求的整体量把所要求的整体量 分割成许多部分量分割成许多部分量 。iQQ这里先要选择一个被分割的变量这里先要选择一个被分割的变量 和被分割的区间和被分割的区间 。,bax二、二、“近似代替近似代替”：求任一小区间求任一小区间 上上

2、的部分量的部分量 的的近似值，得近似值，得 。,1iixxQiQiiixfQ)(三、三、“求和求和”：得得 。iiiiixfQQ)(四、四、“取极限取极限”：得得 。dxxfxfQbaiii)()(lim0第一节第一节 定积分的微元法定积分的微元法高数定积分的运用PPT课件实用中我们通常把上述四个步骤简化成以下的三步：一、一、“选变量选变量”：选取某个变量选取某个变量 （或（或 等）作为被分割的变量，等）作为被分割的变量，xy它就是积分变量；并确定它就是积分变量；并确定 的变化范围的变化范围 ,它就是被分割的它就是被分割的x,ba区间，也就是积分区间。区间，也就是积分区间。二、二、“求微元求微

3、元”：设想把区间设想把区间 分成分成 个小区间，其中任意一个小区间，其中任意一,ban个小区间用个小区间用 表示表示,小区间的长度小区间的长度 , 所求的量所求的量,dxxxdxx Q对应于小区间对应于小区间 的部分量记作的部分量记作 .并取并取 ，求出部分，求出部分,dxxxQx量量 的近似值的近似值 。QxxfQ)(高数定积分的运用PPT课件 注：这里须指出，注：这里须指出， 作为作为 的近似值，即应满足的近似值，即应满足.)(dxxfdQ xxf)(Q).()(xoxxfQ三、三、“列积分列积分”：以整体量以整体量 的微元的微元 为被积表达为被积表达Qdxxf)(式，在式，在 上积分，即

4、得所求量上积分，即得所求量 。,badxxfQba)(上述把某个量表达为定积分的方法称为定积分的微元法定积分的微元法（或元素法）元素法）。近似值近似值 称为整体量称为整体量 的微元的微元(或元素或元素),记作记作 ，xxf)(QdQ即即高数定积分的运用PPT课件xyo)(xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfA)(xdxx.d)(d:xxfA 面积元素高数定积分的运用PPT课件第二节第二节 定积分的几何应用定积分的几何应用高数定积分的运用PPT课件一、平面图形的面积一、平面图形的面积0 直角坐标系情形直角坐标系情形0 极坐标系情形极坐标系情形高数定积分的运用PPT课件 面积增量

5、的近似值为 f上上(x) f下下(x)dx, ,它也就是面积元素. 设平面图形由上下两条曲线y f上上(x)与y f下下(x)及左右两条直线x a与x b所围成. 因此平面图形的面积为 考虑在x处面积增量的近似值. yf上(x) yf下(x) yf上(x) yf下(x)baSf上上(x) f下下(x)dx. .X-型区域型区域一、平面图形的面积一、平面图形的面积1、直角坐标系情形、直角坐标系情形高数定积分的运用PPT课件baSf上上(x) f下下(x)dx.xj左(y)xj右(y) 由上下两条曲线y f上上(x)与y f下下(x)及左右两条直线x a与x b所围成的平面图形的面积为 由左右两条

6、曲线x j j左左(y)与x j j右右(y)及上下两条直线y d与y c所围成的平面图形的面积如何表示为定积分？dcSj j右右(y) j j左左(y)dy. . 面积为 面积元素为j j右右(y) j j左左(y)dy, ,xj左(y)xj右(y)Y-型区域型区域高数定积分的运用PPT课件例例 1 1 计算由两条抛物线计算由两条抛物线xy 2和和2xy 所围成的所围成的图形的面积图形的面积.解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(面积元素面积元素dxxxdA)(2 选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 xdxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx

7、高数定积分的运用PPT课件选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyydA 242.1842 dAA解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy高数定积分的运用PPT课件xy22 4 xy dxxxdA)2(21 dxxxdA)4(22 .1882220121 dAdAAAA高数定积分的运用PPT课件 设由曲线设由曲线)( j j r及射线及射线 、 围成一曲边扇围成一曲边扇形，求其面积这里，形，求其面积这里，)( j j在在, 上连续，且上连续，且0)( j jxo d d 面积元素面积元素 j jddA2)(21 曲边扇形的面积曲边扇形的面积.)(212

8、j j dA )( j j r在在 , 中取典型小区间中取典型小区间 , +d ，小曲边扇形，小曲边扇形的面积近似为的面积近似为dA=1/2r2( )d . 2、极坐标系情形、极坐标系情形高数定积分的运用PPT课件解解由对称性知总面积由对称性知总面积=4倍第倍第一象限部分面积一象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 2cos22a 1A高数定积分的运用PPT课件二、二、 体积体积0 旋转体的体积旋转体的体积0 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积高数定积分的运用PPT课件 旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一

9、周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台1、旋转体的体积、旋转体的体积高数定积分的运用PPT课件一一般般地地，如如果果旋旋转转体体是是由由连连续续曲曲线线)(xfy 、直直线线ax 、bx 及及x轴轴所所围围成成的的曲曲边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转一一周周而而成成的的立立体体，体体积积为为多多少少？取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，dxxfdV2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfVba2)( )(xfy 高数定积分的运用PPT课件yr解解hPxhry 取取积积分分

10、变变量量为为x，, 0hx 在在, 0h上任取小区间上任取小区间,dxxx ，xo直线直线 方程为方程为OP高数定积分的运用PPT课件dxxhrdV2 圆锥体的体积圆锥体的体积dxxhrVh20 hxhr03223 .32hr yrhPxo高数定积分的运用PPT课件 类似地，如果旋转体是由连续曲线类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yxj j 、直线、直线cy 、dy 及及y轴所围轴所围成的曲边梯形绕成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，轴旋转一周而成的立体，体积为体积为xyo)(yxj j cddyy2)(j j dcV高数定积分的运用PPT课件解解绕绕x轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积d

11、xxyVax)(220 2022)cos1()cos1(dttata 20323)coscos3cos31(dtttta.532a a 2a )(xy高数定积分的运用PPT课件绕绕y轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体体体积积可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202 dtyxa)(2201 oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx 222sin)sin(tdtatta 022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a 高数定积分的运用PPT课件xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的