极坐标参数方程典型题

1、1 .已知曲线c的参数方程为r = 2c0s,曲线g的极坐标方程为pcos（&-） = v2. y = sin&4（1）将曲线c|和c2化为普通方程；（2）设g和c?的交点分别为a, b,求线段ab的中垂线的参数方程。2、（2011福建）在直接坐标系xoy中，直线1的方程为x-y+4=0,曲线c的参数方程为 f =为参数）。（）已知在极坐标（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点o为极y = sin a点，以x轴正半轴为极轴）中，点p的极坐标为（4,判断点p与直线1的位置关系；2（ii）设点q是曲线c上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.3、（2011全国新课标）在直

2、角坐标系xoy屮，曲线°】的参数方程为j"* c°sa （g为参数），m为gy = y2sina上的动点，p点满足op = 2om，点p的轨迹为曲线g. （i）求°2的方程；（ii）在以0为极点，x轴的止半轴为极轴的极坐标系中，射线&二兰与©的异于极点的交点为a,与g 3的异于极点的交点为b,求|ab|.y 1 _ 2t'（s为参数）垂直，则£ =y = -2s4. 若直线厶计-（/为参数）与直线厶：y = 2 + kt5. 2014-安徽卷以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中x

3、=/+l,取相同的长度单位.己知直线/的参数方程是(/为参数)，圆c的极坐标方程是p=4cos 0,则ly=t-3直线/被圆c截得的弦长为()a.v14 b. 2v14c.迈 d. 226. 2014-新课标全国卷i选修44：坐标系与参数方程已知曲线c：召+£=1，直线/：为参数).(1)写出曲线c的参数方程，直线/的普通方程；(2)过曲线c上任意一点p作与/夹角为30°的直线，交/于点求|刑的最大值与最小.7、2014新课标全国卷ii选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆c的极坐标方程 为p=2cos &quo

4、t;,0,迈 (1) 求c的参数方程；(2) 设点d在c上，c在d处的切线与直线/： y=y3x+2垂直，根据(1)屮你得到的参数方程，确定 d的坐标8. 将圆x2+y2=l上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线c.写出c的参数方程；设直线l:2x+y-2=0与c的交点为rp?以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过 线段r耳的屮点且与垂直的直线的极坐标方程.极坐标与参数方程一、基础知识点梳理(一)极坐标 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示ox,在平面内取一个定点0,叫做极点，0极点0引一条射线ox，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正

5、方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一 个极坐标系.注：极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系，而极坐标系则不可但极能标系和平面直角坐标系 都是平面坐标系.(2) 极坐标设m是平面内一点，极点o与点m的距离|0m|叫做点m的极径，记为q ;以极轴0兀为始边，射线0m 为终边的角厶0m叫做点m的极角，记为&.有序数对(”,&)叫做点m的极坐标，记作一般地，不作特殊说明时，我们认为p>0, &可取任意实数.特别地，当点m在极点时，它的极坐标为(0, 0) (0 er).和直

6、角坐标不同，平面内一个点的极坐标 有无数种表示.如果规定°>0,05&<2龙，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(p,&)表示；同时,极坐标 (/9,&)表示的点也是唯i确定的.3、极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示:(2)互化公式:设m是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是(x)，极坐标是(p,&) (p>0),于是 极坐标与直角坐标的互化公式如表：点m直角坐标(兀)极坐标(p,&)互化公式jx = /7cos &9?

7、,2pj =x+yy = psin&tan = (xo)x在一般情况下，由tan &确定角时，可根据点m所在的象限最小正角4>常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为厂的圆ap = r(0<0< 2龙)圆心为(r,0),半径为厂的圆°(>) vp - 2rcos&(-& v壬)2 2圆心为(r,-),半 2径为厂的圆(询p2rsin &(05 & v;r)ox过极点，倾斜角为a的直线5(1)e = a(pw 7?)或& =兀 +7?)(2) & = a(p > 0)和 &am

8、p; =兀 + a(p > 0)过点0,0）,与极轴垂直的直线（la丫/9cos& = q(-彳 < <y)7t过点（q,）,与极2轴平行的直线o(" f) xpsin & = d(0v&v;r)（二）、参数方程1、参数方程的概念x = /（/） 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标忑尹都是某个变数（的函数,y = g）并且对于（的每一个允许值，由方程组所确定的点m（x）都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲 线的参数方程，联系变数的变数/叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间 关系的方程叫做普通方程.2、

9、参数方程和普通方程的互化（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到 普通方程.（2）如果知道变数工,p中的一个与参数/的关系，例如x = /（",把它代入普通方程，求出另一个变数 与参数的关系y=g，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适 当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3、圆的参数圆心为（q"）,半径为尸的圆的普通方程是（x-a）2+（y 疔=宀x = arcos0、., “它的参数方程为：,.八（&为参数）。y = p + rsin &4、椭圆的参数方程2 2以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为二+ £ = l（o>