A19连续函数运算与初等函数连续性

1、1-9 连续函数的运算与连续函数的运算与 初等函数的连续性初等函数的连续性0 四则运算的连续性四则运算的连续性0 反函数与复合函数的连续性反函数与复合函数的连续性0 初等函数的连续性初等函数的连续性一、四则运算的连续性一、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如, ,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理

2、定理2 2(p53)(p53)严格单调的连续函数必有严格单调的严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数连续反函数. .例如例如,2,2sin上上单单调调增增加加且且连连续续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;意义意义定理定理3 3.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合

3、函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 例如例如, ,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy)(lim0 xfxx ).()()(lim000ufxfxfxx 证证,)(0连连续续在在点点uuuf .)()(,00成成立立恒恒有有时时使使当当 ufufuu),()(lim00 xxxx 又又, 0, 0 对对于于.)()(00成立成立恒有恒有 uuxx, 0, 0 ,00时时使当使当 xx综合两步综合两步: :,0, 0, 00时时使当使

4、当 xx)()()()(00 xfxfufuf .成立成立 )(lim0 xfxx ).()(lim00ufxfxx 例例 .设)()(xgxf与均在,ba上连续, 证明函数)(, )(max)(xgxfx 也在,ba上连续.证证:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根据连续函数运算法则 , 可知)(, )(xx也在,ba上连续 .)(, )(min)(xgxfx 三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调

5、且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理4 4 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xyxaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理5 5 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不

6、一定连续;例如例如, , 1cos xy,4,2, 0: xd这些孤立点的邻域内没有定义这些孤立点的邻域内没有定义. .,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在在0 0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义. .), 1上上连连续续函函数数在在区区间间 注注:例例1 1. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例2 2.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx2. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入

7、法.例例3. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例4. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat则, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln例例5. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e说明说明: 若,0)(lim0 xuxx则有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxxx21,41,)(xxxxx例例6. 设,1,21,)(2xxxxxf解解:讨论复合函数)(xf的连续性 . )(xf1,2xx1,2xx故此时连续; 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1为第一类间断点 .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1为初等函数时xfx在点 x = 1 不连续 , 例求函数例求函数)tan(/4)1()( xxxxf在区间在区间(0, 2)内的间断点，并判断其类型。内的间断点，并判断其类型。解解 f(x)在在(0, 2)内有间断点为内有间断点为,47,45,43,4