电子科技大学,微积分,数学,定积分01941

1、3.7 反常反常(广义广义)积分积分一无穷区域面积问题一无穷区域面积问题考察如下三种无穷区域面积考察如下三种无穷区域面积2211. ( ),2xxex 12.,1,),1,0;yxxyx213.,1,),1,0;yxxyx 1bax dx （ ） 00bax dxx dx 002limlimbaabsx dxx dx（ ）-4-3-2-10123400.050.10.150.20.250.30.350.4ab2211.,2xyex 方法：方法：2212xye12.,1,),1,0;yxxyx1yx b方法：方法：11122bdxbx （ ）（ ）2lim(22)bsb（ ）（ ）213.,1,

2、),1,0;yxxyx方法：方法：211111bdxbx （ ）（ ）12lim(1)bsb（ ）（ ）bbaabf x dxf x dx( )lim( ) 二、二、无穷限的反常积分无穷限的反常积分当极限存在时，称反常积分当极限存在时，称反常积分收敛收敛；当极限不存在时，；当极限不存在时，lim( )babf x dx f xa,在上的在上的称反常积分称反常积分发散发散.则称极限为 afx dx 记作记作积分，也称在无穷区间上的广义广义积分， 1,fxa 定义设函数在区间上连续，取定义设函数在区间上连续，取 ba ，反常反常.bbaaf x dxf x dx( )lim( ) ,fxb类似地设

3、函数在区间上连续，取类似地设函数在区间上连续，取 当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在；当极限不存在时，时，称广义积分称广义积分发散发散. bfx dx 记作记作lim()baaf x dx 则极限ba ， .,(上的反常积分上的反常积分在在为函数为函数bxff x dxf x dxf x dx00( )( )( )即右端有一个发散，左端就发散.广义积分广义积分收敛收敛；当上式右端两个广义积分都收敛时，称左端当上式右端两个广义积分都收敛时，称左端否则，左端广义积分否则，左端广义积分发散发散. ,fxc ，规定广义积分( )f x dx 设函数设函数 0)(li

4、maadxxf bbdxxf0)(lim例例1 1 计算反常积分计算反常积分解解2211sin.dxxx 2211sindxxx 2211limsinbbdxxx 211limsinbbdxx 21lim cosbbx 1lim coscos2bb 1. 211sinyxx 0 xxe dx 例例2 2原原式式= =xaaxe dx0lim xaax de0lim xxaaaxeedx00lim axaaaee0lim aaaaeelim1 aaelim 0aaaelim aaaelim 0 1 xyxe 例例3 计算广义积分计算广义积分2.1dxx 解解21dxx dxdxxx022011b

5、aabdxdxxx022011limlim11 baabxx00lim arctanlim arctan abablim arctanlim arctan .22 211x 证证(1)1,p 11pdxx 11limbbdxx lim ln( )bb , (2)1,p 11limbpbdxx 11lim()11pbbpp ,11,11ppp 11111ppdxpx 因此当时收敛，且其值为因此当时收敛，且其值为1.p 当时发散当时发散11pdxx .11,141是是发发散散时时收收敛敛；当当当当证证明明广广义义积积分分例例ppdxxp证证pxaedx limbpxabedx limbpxbaep

6、 limpapbbeepp ,0,0apeppp 00.pp当时收敛，当时发散当时收敛，当时发散500.pxaedxpp例 证明广义积分当时收敛；当时发散00sinlimsinbbxdxxdx 解解 lim 1cosbb极限不存在极限不存在故故 此反常积分发散此反常积分发散. 0limcosbbx0sin xdx 例例6判断判断反常反常积分的敛散性积分的敛散性942xxdx练习：求广义积分：练习：求广义积分： 02,dxxfdxxfxf则则为偶函数为偶函数若若?请同学们思考：请同学们思考：？数的奇偶性来简化计算数的奇偶性来简化计算在定积分中如何利用函在定积分中如何利用函三、无界函数的广义积分三

7、、无界函数的广义积分11.,(01,1,0;yxxyx00.20.40.60.811.21.41.61.820.511.522.533.544.5b1yx 11122bdxbx （ ）02lim(22)bsb （ ）212.,(01,1,0;yxxyx121111bdxbx （ ）012lim(1)bsb （ ）00.10.20.30.40.50.60.70.80.91050100150200250300350400bbbaaf x dxf x dx0( )lim( ) 2,fxa b定义设函数在区间上连续，而在点定义设函数在区间上连续，而在点 当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分

8、收敛收敛； ,baa bfx dx 区间上的广义积分，记作区间上的广义积分，记作当极限不存在时，当极限不存在时，称广义积分称广义积分发散发散.a 的右邻域无界，则称极限 bafx dxfx0lim() 在在为bbaaf x dxf x dx0( )lim( ) bafx dxfx0lim() 在在为 baa bf x dx, )上的， 作)上的， 作广义积分广义积分记 的的）上连续，而在）上连续，而在在区间在区间设函数设函数类似的类似的bbaxf,则称则称左邻域无界左邻域无界, 当极限存在时，称广义积分当极限存在时，称广义积分收敛收敛；当极限不存在时，当极限不存在时，称广义积分称广义积分发散发

9、散.定义中定义中c 为为瑕点瑕点，以上积分称为以上积分称为瑕积分瑕积分. ,fxa bc acb设函数在区间上除点外连设函数在区间上除点外连 .bafx dx 否则，就称广义积分发散否则，就称广义积分发散.c续，而在点 的邻域内无界 如果两个广义积分续，而在点 的邻域内无界 如果两个广义积分 cbacfx dxfx dx和都收敛，则定义和都收敛，则定义 bcbaacfx dxfx dxfx dx cbacfx dxfx dx00limlim .收敛收敛dxxfba注意：注意：无界函数的反常积分与定积分的符号虽然相同，无界函数的反常积分与定积分的符号虽然相同，但概念却完全不同，关键看但概念却完全

10、不同，关键看a, b内函数是否有无界点内函数是否有无界点.函数函数在无穷间断点处必无界在无穷间断点处必无界.例例7 计算计算解解220(0).adxaax 221lim,xaax 220adxax 2200limadxax 00lim arcsinaxa 0lim arcsin0aa .2 xa 为被积函数的无穷间断点为被积函数的无穷间断点211yx 例例8 计算计算21.lndxxx 21lndxxx 210limlndxxx 210(ln )limlndxx 210lim ln(ln )x 0lim ln(ln2)ln(ln(1) . 故原广义积分发散故原广义积分发散. 解解 这是无界函数

11、的广义积分，这是无界函数的广义积分，1x 为函数无穷间断点为函数无穷间断点.证证(1)1,q 101dxx 10ln x , (2)1,q 101qdxx 1101qxq ,11,11qqq 101qdxx 111qq 因此当时广义积分收敛，且其值为因此当时广义积分收敛，且其值为1.q 当时发散当时发散时发散时发散当当时收敛时收敛当当证明广义积分证明广义积分例例1,110qqdxxq1 9例例10 求求 1211.dxx 1121111112.dxxx 解解201lim,xx 由于故该积分为无界函数广义积分.由于故该积分为无界函数广义积分.101222110111dxdxdxxxx 1211d

12、xx 所以发散.所以发散.0211dxx 因为因为011limx 01lim1 2012.13dxxx 例判定积分的敛散性例判定积分的敛散性 10,2,1,13xxx 分析:因为在上时分析:因为在上时该问题是第二类广义积分问题.该问题是第二类广义积分问题. 113111.213xxxx 解解 20220013111213dxxxdxdxxx 113yxx 1220011111ln32112dxdxxxx 10ln32 dxdxxx12010011limlim11 201ln32x xx120100lim ln1lim ln1 1ln32 xx12010limln1ln1 1ln32 0liml

13、n(ln) 1ln32 1ln32 x100limln1 20.13dxxx 发散发散xx120100111limln1limln1ln3222 dxdxxxx122001001111limlimln32112 1220011111ln32112dxdxxxx 230111.1dxx 例计算广义积分例计算广义积分dxdxdxxxx212333001111111 dxdxxx1233010011limlim11 解解 这是无界函数的广义积分，瑕点为这是无界函数的广义积分，瑕点为x1 xx122233000133lim1lim122 22330033lim1lim122 3301100.22 dx