函数及其表示函数与导数

1、返回目录返回目录 1.1.函数的基本概念 (1)函数定义函数定义 设集合设集合a是一个非空的是一个非空的 ,如果按照某种确定如果按照某种确定的对应关系的对应关系f,使对于集合使对于集合a中的任意一个数中的任意一个数x , 在集合在集合 b中都有中都有 的数的数f(x)和它对应和它对应,那么就称那么就称f : ab为从集合为从集合a到集合到集合b的一个函数，记作的一个函数，记作 .数集数集 唯一确定唯一确定 y=f(x),xa 返回目录返回目录 (2)函数的定义域、值域函数的定义域、值域 在函数在函数y=f(x),xa中，中，x叫做自变量，叫做自变量，x的取值范围的取值范围a叫做函数的叫做函数的

2、 ；与；与x的值相对应的的值相对应的y值叫做函数值，值叫做函数值，函数值的集合函数值的集合f(x)|xa叫做函数的叫做函数的 .显然显然,值域值域是集合是集合b的子集的子集. (3)函数的三要素函数的三要素: 、 和和 . (4)相等函数相等函数:如果两个函数的如果两个函数的 相同，并相同，并且且 完全一致完全一致,则这两个函数相等则这两个函数相等,这是判断两函这是判断两函数相等的依据数相等的依据. 2.函数的表示法 表示函数的常用方法有表示函数的常用方法有: 、 和和 .定义域定义域 值域值域 定义域定义域 值域值域 对应法则对应法则 定义域定义域 对应关系对应关系 解析法解析法 图象法图象

3、法 列表法列表法 3.映射的概念 设设a,b是两个非空的集合是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对如果按照某一个确定的对应关系应关系f,使对于集合使对于集合a中的任意一个元素中的任意一个元素x,在集合在集合b中都中都有唯一确定的元素有唯一确定的元素y与之对应与之对应,则称对应则称对应f:ab是集合是集合a到集合到集合b的一个的一个 . 4.由映射的定义可以看出由映射的定义可以看出,映射是映射是 概念的推概念的推广广, 函数是一种特殊的映射函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合要注意构成函数的两个集合a,b必须是必须是 .非空数集非空数集 返回目录返回目录 映射映射 函数函数 返回目录

4、返回目录 下列四组函数中下列四组函数中,f(x)与与g(x)是否为同一函数是否为同一函数,为什么为什么?(1) f(x)=lgx, g(x)= lgx2;(2) f(x)=x, g(x)= ;(3) f(x)= , g(x)=logaax;(4) f(x)=lgx-2, g(x)=lg .判断两个函数是否为同一函数判断两个函数是否为同一函数,关键是判关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果如果有一个不同有一个不同,它们便不是同一函数它们便不是同一函数.212xx xl lo og ga aa a100 x返回目录返回目录 (1)f(x)

5、的定义域为的定义域为(0,+),g(x)的定义域为的定义域为(-,0)(0,+),定义域不同定义域不同,故故f(x)与与g(x)不是同一函数不是同一函数. (2)函数函数f(x)的值域为的值域为(-,+),g(x)的值域为的值域为0,+),值值域不同域不同,故故f(x)与与g(x)不是同一函数不是同一函数. (3)因为因为f(x)=x(x0),g(x)=x(xr),定义域不同定义域不同,故故f(x)与与g(x)不是同一函数不是同一函数. (4)因为因为f(x)=lgx-2(x0),g(x)=lg =lgx-2(x0),所所以以f(x)与与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同的对应法则、定

6、义域和值域都分别相同 , 故它故它们是同一函数们是同一函数.100 x (1) 只有当两个函数的定义域和对应法则都只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时分别相同时,这两个函数才是同一函数这两个函数才是同一函数,换言之就是换言之就是: 定义域不同定义域不同,两个函数也就不同两个函数也就不同. 对应法则不同对应法则不同,两个函数也是不同的两个函数也是不同的. 即使定义域和值域都分别相同的两个函数即使定义域和值域都分别相同的两个函数 , 它们也它们也不一定是同一函数不一定是同一函数 , 因为函数因为函数 的定义域和值域的定义域和值域 不能唯一不能唯一地确定函数的对应法则地确定函数的对应法则.

7、(2)函数的对应法则可以化简函数的对应法则可以化简,例如题型一例如题型一 (3) (4) 中的中的函数函数,再比如函数再比如函数f(x)=|x|和和g(x)= ,从表面上看它们的从表面上看它们的对应法则不同对应法则不同,但实质上是相同的但实质上是相同的. (3) 当一个函数的对应法则和定义域给定后当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域它的值域便随之确定便随之确定, 所以所以 , 函数的三要素可简化为定义域、对应函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素法则两要素.返回目录返回目录 2x返回目录返回目录 判断下列各组函数是否为同一函数判断下列各组函数是否为同一函数.(1) f(x)=x2+

8、2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2) f(x)= , g(x)=x+1;(3) x+1 (-1x0) x-1 (0 x1),1 1- -x x1 1- -x x2 2; ;x xx xg(x)g(x) , ,1 1x xx x f(x)f(x)2 2g(x)=f-1(x).(4) f(x)=返回目录返回目录 (1)两函数的定义域两函数的定义域 、值域、值域 、对应法则均相同、对应法则均相同 ，所以，所以它们是同一函数它们是同一函数. (2)y= =x+1,但但x1,而而y=x+1中中xr , 所以它们所以它们不是同一函数不是同一函数. (3)函数函数f(x)= 的定义域为的定义域为x|x

9、0 ; 而函数而函数g(x)= 的定义域为的定义域为x|x-1或或x0 , 它们的定义域它们的定义域不同不同,所以不是同一函数所以不是同一函数. x-1,(0 x1) x+1,(-1x0 1,x=0 - ,x0,x=0,x0段上的图象段上的图象,如图所示如图所示,作法略作法略. (2)f(1)=12=1,f(-1)=- =1,ff(-1)=f(1)=1.11返回目录返回目录 如图，如图，oab是边长为是边长为2的正三角形，直线的正三角形，直线x=t(0t2)截截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1) 求函数求函数y=f(t)的解

10、析式，的解析式， 并指明它的定义域并指明它的定义域;(2) 求函数求函数y=f(t)的值域的值域.返回目录返回目录 （1）当）当0t1时，所截图形是一个直角三角形，其面时，所截图形是一个直角三角形，其面积积f(t)= t2tan60= t2; 当当1t2时，所截图形是一个四边形时，所截图形是一个四边形 ，它的面积可，它的面积可由正三角形由正三角形oab的面积减去一个直角三角形的面积来计的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即算，即 f(t)= 2 - (2-t)(2-t)tan60 = - (2-t)2; 当当t=2时，所截图形即时，所截图形即oab，f(t)= . t2，0t1. - （2-t）2