D13函数的极限02951

1、 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 ( )( );f xaf xa表示任意小000.xxxx表示的过程x0 x0 x0 x 0,x点 的去心 邻域0.xx体现 接近 程度一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束

2、定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 axf)(axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xaaax0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(p36定理2)这表明: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例1. 证明)(lim0为常数cccxx证证:a

3、xf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 证明1)12(lim1xx证证:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时 , 必有2112xx因此211lim21xxx1 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx 001xxx欲使,0

4、且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.2.单侧极限单侧极限: :例如例如, ,201,0( )1,0lim( )1.xxxf xxxf x设证明00 xx分和两种情况分别讨论0,xx从左侧无限趋近0;xx记作0,xx从 右 侧 无 限 趋 近0;xx记 作yox1xy 112 xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0

5、当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf定理定理 1.axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p38 题8 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 设函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . xyo11 xy11 xy解解: 利用定理 1 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结

6、束 2、函数极限的性质2.2.函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性1.1.唯一性唯一性mxf | )(|0 xx |00 xx3. 保号性定理保号性定理定理定理4 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 x当时, 有.)(axfa当 a 0 时, 取正数,a则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ),(0 x),(0 xx),(0 x(p37定理3)0 x0 xaaax0 xy)(xfy )0(机动 目录 上页 下页 返回 结束 axfa)(:0a:0a若取,2a则在

7、对应的邻域上 若,0)(lim0axfxx则存在使当时, 有.2)(axf推论推论:23)(2axfa2)(23axfa),(0 x, ),(0 x),(0 xx(p37 推论)0 x0 xaaax0 xy)(xfy 分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx则. 0a)0(a证证: 用反证法.则由定理 4,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0a(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20

8、xx存在如 假设 a 0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系定理定理6. axfxx)(lim0:nx,0 xxn有定义,),(0nxxnaxfnn)(lim有)(nxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且设,)(lim0axfxx即,0,0当,00时xx有.)( axf:nx)(,0nnxfxx 有定义 , 且, )(0nxxn对上述 ,nn 时, 有,00 xxn于是当nn 时.)( axfn故axfnn)(lim

9、可用反证法证明. (略).)(limaxfnn有证：证：当 xya,n“ ”“ ”0 x机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理6.axfxx)(lim0 :nx)(,0nnxfxx 有定义, )(0nxxn且.)(limaxfnn有说明说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .法法1 找一个数列:nx,0 xxn, )(0nxxn且不存在 .)(limnnxf使法法2 找两个趋于0 x的不同数列nx及,nx使)(limnnxf)(limnnxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明xx1sinlim0不存在 .证证: 取两个趋于 0 的数列nxn21及221nxn有nnx1s

10、inlimnnx1sinlim由定理 1 知xx1sinlim0不存在 .),2, 1(n02sinlimnn1)2sin(lim2nn机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxaaoxy)(xfy a二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0x,)(,axfxx有时当则称常数时的极限,axfx)(lim)()(xaxf当或几何解释几何解释:axfa)(xxxx或记作直线 y = a 为曲线)(xfy 的水平渐近线,0 xxf当)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 a 为函数例例7. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1x,时当xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x即,1xoxyxy1机动 目录 上页 下页 返回 结束 .10的水平渐近线为xyyx1x11oyxxxgxxf11)(,1)(直线 y = a 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :axfx)(lim,0,0x当xx 时, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x当xx时, 有 axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21机动 目录 上页 下页 返回 结束