两个重要极限63957

1、1第五节第五节极限存在性定理与两个重要极限极限存在性定理与两个重要极限一、极限存在性定理一、极限存在性定理二、两个重要极限二、两个重要极限三、求极限方法小结三、求极限方法小结2一、极限存在性定理一、极限存在性定理定理2.7(夹逼定理) 假设在x0的某一空心邻域 内,恒有000000(,)(,)xxx x( )( )g xf xh x）00lim( )lim ( )xxxxg xh xa其中00,且有则极限 存在,且有0lim( )xxf x0lim( ).xxf xa3证证 由题设可知,对任意给定的0. 必存在10,20,使得当 时,有 ;当 时,有 .010 |xx020 |xx|( )|g

2、 xa| ( )|h xa令 ,则当 时,012min,0 同时有00 |xx|( )|, | ( )|g xah xa即同时有( ),(ag xaah xa) 从而当 时,有00 |xx|( )|0),则称数列un是有界的.(2)如果un un+1(nn+),则称数列un是单调增加的;如果un un+1(nn+),则称数列是单调减少的;单调增加数列和单调减少数列统称为单调数列.定理2.8 单调有界数列必有极限.8例例2.20 设 ,其中a0,求11,(2)nnua uaunlim.nnu解解 首先 ;设 ,则211uauau1nnuu11nnnnuauauu由数学归纳法可知,un单调增加.其

3、次,证un有上界.显然有 ,由此得1nnnuauau1(114 ),12nua n即un有上界.9因此, 存在.设 ,由 limnnulimnnu1nnuau有 ,两边求极限,得2a由此解得 ,由于0,1(114 )2a所以1lim(114 ).2nuua21nnuau10二、两个重要极限二、两个重要极限1.重要极限之一0sinlim1xxx证证 作单位圆,设圆心角 (弧度), ;过点a的切线与ob延长线相交于d; ac ob;aobx(0,)2x(2.11)aob 面积扇形aob面积 aod 面积而 aob 面积= 1sin2x扇形aob的面积= 2x11aod的面积=1tan2x于是111

4、sintan ,(0)2222xxxx即有sintan ,(0)2xxxx由上式可得sincos1,(02xxxx）由sinxx 有 ,于是sin22xx22211 cos2(sin)2( )222xxxx12即有 .于是,由式(2.12)得21cos12xx 2sin1cos1, 022xxxxx（）由于201lim(1)1, 2xx0lim1 1x于是,由夹逼定理得0sinlim1, xxx0limcos1xx又由于 和cosx均为偶函数,且x时, (x )+ ,故有sin xx1300sinsin()limlimxxxxxx0()0limcoslim cos() 1xxxx因左右极限均存

5、在且相等,故有0limcos1.xx()0sin()lim1xxx0sinlim1, xxx知识链接：14例例2.21 求下列极限:0000(1)limsin ; (2)limtanarcsinarctan(3)lim; (4)limxxxxxxxxxx解解 (1)0sin,02xxx于是0limsin0 xx注意到 时, ,于是有0 x()0 x00limsinlim sin()xxxx()0lim sin()0 xx 15故有0limsin0 xx(2)由于00limsin0,limcos10 xxxx 故有0sin0limtanlim0cos1xxxxx(3)令 u=arcsinx ,则

6、x=sinu,且x0时, u0 .于是00arcsinlimlimsinxuxuxu0limsin1uuu知识链接：16(4)令 u=arctanx ,则x=tanu,且x0时, u0 .于是00arctanlimlimtanxuxuxu0limcossin1uuuu知识链接：1722sin (0)arcsin (0)tan (0)arctan (0)11 cos2sin ( ) (0)22xxxxxxxxxxxxxxxx由此例得到如下等价无穷小关系:知识链接：182sin (0)arcsin (0)tan (0)arctan (0)1 cos2sinaxaxxaxaxxaxaxxaxaxxa

7、x 21() () (0)22axaxx 还可得到如下等价无穷小关系其中a为非零数.知识链接：19例例2.22 求下列极限:000 4sintan3(1)lim,0; (2)lim;sin1 cossincos(3)lim; (4) lim.sin( 4)xxxxaxxabbxxxxxxxxsin,sinaxaxbxbx解解 (1)x0时,00sinlimlimsinxxaxaxabxbxbtan3 3xx00tan33limlim3xxxxxx(2)x0时,知识链接：202211 cos, sin2xxxxx22001 cos1lim=lim= sin22xxxxxxx(4)作代换y=x/4

8、 ,则sincossin)cos()44xxyy（于是,有 40sincos2sinlimlim( 4)xyxxyxy(3)x0时,2sin y2.知识链接：21(2)exxx )11(lim定义定义ennn )11(lim1(1)nnxn设21(1)111!2!nn nnn 1111211 1(1)(1)(1)(1).2!nnnnnn (1)(1)1!nn nnnnn221111 1(1)2!11121(1)(1)(1)!121112(1)(1)(1).(1)!121nxnnnnnnnnnnn 1,nnxx显然 ;nx是单调递增的111 12!nxn 1111 122n 1132n3, ;n

9、x是有界的lim.nnx存在ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地,231,x 当时 1,xxx有 1111(1)(1)(1), 1 xxxxxx 1 111lim(1)lim(1)lim(1) xxxxxxxx而, e 111lim(1) 111lim(1)lim(1) 1 1xxxxxxxx, e.)11(limexxx 24,tx 令11lim(1)lim(1)xtxtxt1lim(1)1ttt111lim(1)(1)11tttt. eexxx )11(lim1,tx令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim25例例2.

10、23 求下列极限:1(1)lim(1) ,0; (2)lim(1),0;1(3)lim() .1xmxxxxxmmmxxxx解解 (1)令 ,则x 时, 0 ,于是得mx0lim(1)lim(1)xmxmx10lim(1)e .mm261(2) lim(1)lim(1)mxmxxxxe .m(3)令 ,则当x 时, 0 ,于是21x2101lim()lim(1)1xxxx2e .27例例2.24 连续复利问题 设有一笔本金a0存入银行,年利率为r,则一年末结算时,其本利和为如果一年分n期计息,每期利率为 ,且前一期的本利和后一期的本金,则一年末的本利和为rn1000(1)aaraar如果一年分

11、两期计息,每期利率为 ,且前一期的本利和后一期的本金,则一年末的本利和为2r22000(1)(1)(1)22 22rr rraaaa280(1)nnraan于是,到t年末共计复利nt次,其本利和为0( )(1) (2.20)ntnra tan令 n,则表示利息随时计入本金,因此,t年末的本利和为0lim(1)ntnranlim( )nnnaa t00lim(1)e . (2.21)n r nnnraan知识链接：29 式(2.20)称为t年末本利和的离散复利公式,而式(2.21)称为t年末本利和的连续复利公式.本金a0称为现在值或现值,t年末本利和an(t)或a(t),称为复利问题;已知未来值an(t)或a(t),求现在值a0,称为贴现问题,这时称利率r为贴现率.30三、求