三角恒等变换知识总结及基础训练

1、sin(cos(tan(tan22tan1 tan2第四讲三角色等变形、三角包等变形知识点总结1.两角和与差的三角函数)sincoscossin)coscossinsintan tan)°1 mtan tan2 .二倍角公式sin2 2sin cos ；c22c2cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2sin13 .三角函数式的化简三角公式常用方法：直接应用公式进行降次、消项；切割化弦，异名化同名，异角化同角； 的逆用等。(2)化简要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使项数尽量少；尽量 使分母不含三角函数；尽量使被开方数不含三角函数。(1)降哥公式sin cos

2、1sin2 ； sin2 21 cos2 2；cos 21 cos22(2)辅助角公式asin x bcosx. a2b2 sin,cos其中sin4 .三角函数的求值类型有三类(1)给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消 去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；(2)给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于 变角”,如 ()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；(3)给值求角：实质上转化为 给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的 单调性求得角。5.

3、三角等式的证明(1)三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化 异”为 同”；(2)三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或 分析法进行证明。二、典例解析【题型1】两角和与差的三角函数【例 1】已知 sin sin 1,cos cos 0 ,求 cos(）的值。分析：因为（）既可看成是与的和,也可以看作是的倍角，因而可得到下面的两种解法。sin解：由已知sin2+2得 cos (22得即 2cos (+sin =12+2coscos2+cos2+2cos (cos +cos =0)=T,c

4、os()1点评：此题是给出单角的三角函数方程，求复角的余弦值，易犯错误是利用方程组解sin 、coscos ，但未知数有四个，显然前景并不乐观，其错误的原因在于没有注意到所求式与已知式的关系.本题关键在于化和为积促转化,整体对应”巧应用。【例2】已知tan ,tan是方程5x 6 0的两个实根,求 2sin23sincos2cos的值。解法一：由韦达定理得 tan tan5, tantan6,所以tantan tan1.原式2sin21tan tan3sin1 6cos2 cossin22 cos2tan23tan1 2 1311tan211 1解法二：由韦达定理得tantan5, tanta

5、n 6所以tantan tantantan1.于是有原式 2sin2 k3一 sin 2k2cos33113。2222443点评：(1)本例解法二比解法一要简捷，好的解法来源于熟练地掌握知识的系统结构，从而寻找解答本题的知识 最近发展区”。(2)运用两角和与差角三角函数公式的关键是熟记公式,我们不仅要记住公式,更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征, 变形式也要熟悉，如联想到相应的公式，从而找到解题的切入点。(3)对公式

6、的逆用公式,coscossinsincostan1tan tantantantantantantantan tantantantantan tantan二倍角公式【题型2】【例3】化简:1 cos22,2, 一 3解：因为-2所以11 cos22 2cosL 1，所以J1221 cos2sin 2sin 2x44445所以，原式=sin 一。2的二倍,要熟悉多种形式的两个点评：(1)在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于角的倍数同时还要注意2，44角的内在联系的作用，cos2 sin2sin 4cos 4是常用的三角变换。(2)化简题一定要找准解题的突破口或切入点,sin 2 cos2si

7、n其中的降次，消元，切化弦，异名化同名，异角化同角是常用的化简技巧。(3)公式变形【例4】若2，cos1 cos2 . 2 ,sin1 cos2cos 43 17一,5 12r. c八27，求 Sin以 2cos X 的值1 tan x ,17斛：由一12又因cos 一43 .一,sin 5cosx coscoscossin 一 x sin 44,210，从而 sinx 上，tanx 7.102原式 2sin xcosx 2sin x7.21027.2 2210101 tan x2875点评：此题若将 cos - x3回-的左边展开成 cos- cosx sinsinx3、一一再求sin x,

8、cos x的值，就很5繁琐，把x作为整体，并注意角的变换42 - - x 2x,运用二倍角公式，问题就公难为易，化42繁为简所以在解答有条件限制的求值问题时, 般方法是拼角与拆角，要善于发现所求的三角函数的角与已知条件的角的联系,【题型3】辅助角公式【例5】已知函数(1)(2)(1),2,2123y= cos2x+ -sinxcosx+ 1, xC R.当函数y取得最大值时，求自变量 x的集合;该函数的图象可由y=sinx (xC R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到解：y= cos2x+23sinxcosx+12(2cos2x1)3(2sinxcosx) + 14=cos2x+sin2x+

9、 一1=一 (cos2x sin + sin2x cos )y取得最大值必须且只需2x+ =F 2 k it, kC Z,即 x=1- k tt, kCZ。所以当函数y取得最大值时，自变量 x的集合为 x|x= + k kCZ。(2)将函数y= sinx依次进行如下变换:把函数y= sinx的图象向左平移 一，得到函数y= sin (x+)的图象;把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)7y= sin (2x+ )的图象;把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的(横坐标不变)1y= - sin (2x+ 6)的图象;. 5把得到的图象向上平移 -个单位长度,4得到函数1y= - sin

10、(2x+25)+ z的图象;1.3综上得到函数 y= cos2x+ sinxcosx+1的图象。点评：引入辅助角技巧性较强，但辅助角公式asin.2. 2.bcos . a b sin其中tanb一,或 asin abcosa2 b2 cos,其中tana在历年高考中使用频率是相 b当高的，应加以关注。【题型4】三角函数式化简【例6】已知函数f(x)1 .2sin(2x )4-( 的第四象限的角)cosxtan解：因为tan4一,且是第四象限的角，所以sin34一 ,cos535,故 f (x),2sin(2 -)1 2(2；2sin25 cos2sin 2 cos 2coscoscos2-.

11、2cos 2sincoscos142(cos sin )。5【题型5】三角函数的值及周期【例7】设函数f (x) ,cos2 x sin xcosx a (其中 >0,a R),且f(x)的图象在y轴右侧的第一个高点的横坐标为一6(I )求3的值；(n)如果f(x)在区间5上的最小值为6<*3 ,求a的值。解：(I) f (x)30s221 sin 22、3 x 2a sin(2 x依题意得(II)由(I)知,f(x)sin(x又当最小值为.3时,70，Tsin(x ) 3从而f (x)在区间Tt 5 7t AA上的3 6a,【题型6】三角函数综合问题【例8已知向量(sinr ,1

12、),b(1,cos ),(I)rb,求(II)求rb的最大值。解:(1)r r a b,r v agosin cos 0r(2). a(sin1,cos1)sin1)2 (cos 1)2sin22sin 12cos 2cos 1 2(sin cos ) 32.2sin( ) 34当 sin(一)=1 时 a4rb有最大值，此时_ 最大值为22.22.322.14°513.、基础训练、选择题：1已知sin 22皿 2/ 一则 cos (32.3.4.B.4) =13D.函数f(x)sin xcosx-cos2x的最小正周期和振幅分别是 2兀,1B.7t,2C. 2 兀,1D.,2设 s

13、in ( +B.D.f(x)、.3 sincosx( 0), xR.在曲线yf (x)与直线1的交点中,若相邻交点距离的最小值为则f (x)的最小正周期为35.6.7.8.A.一22B.3C.D. 2sin47o sin170 cos30ocos17oA.B.1 c.2,3D.2已知sincos(0兀)则sin 2A.B.-22.2 C.2D.1函数f(x)(1Etan x)cosx的最小正周期为3B. 一2C.D.已知f(x)A. a+b= 0 2 ，sin (x )若 a=f (lg5)B. a-b= 0,1b f (lg -)则5C. a+b=1D. a-b= 1二、填空题:9.已知 t

14、an(x7)2,则tanx 田的值为tan2x10.已知立则tan211.函数ysin 一 2x cos - x6的最大值为12.函数y2sin xcos x的最大值为；5三、解答题:13.已知函数f (x)(1)求A的值;(2)14(1)(2)(2)0,(1)因为所以cos(Acosx46 ?x R ,且f - 3,2一 ，f24433017f 42385,求 cos(Acos126Acos4二A2V2,解得A 2。2cos362cos22sin30，即sin172cos662cos8 ,即5cos45o)的值.0,一,所以已知函数f(x)sin2xcos2sin17sin2cos)cos cossinsin_8