8.2消元——二元一次方程组的解法

1、 篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一篮球联赛中，每场都要分出胜负，每队胜一场得场得2分，负一场得分，负一场得1分，某队为了争取较好的名分，某队为了争取较好的名次，想在全部的次，想在全部的22场比赛中得到场比赛中得到40分，那么这个分，那么这个队胜负应该分别是多少？队胜负应该分别是多少？解法二：解法二：设胜设胜x场，则负（场，则负（22x）场，则有）场，则有2x+（22-x）=40解得解得 x=18，y=4 1熟练地解二元一次方程组；熟练地解二元一次方程组； 2了解消元的思想方法，设法消去方程中了解消元的思想方法，设法消去方程中的一个未知数，把的一个未知数，把“二元二元”变成变成“一元一元”

2、； 3灵活运用代入消元法、加减消元法解方灵活运用代入消元法、加减消元法解方程组；程组； 4会用加减法求未知数系数相等或互为相会用加减法求未知数系数相等或互为相反数的二元一次方程组的解反数的二元一次方程组的解通过探求二元一次方程组的解法，经历通过探求二元一次方程组的解法，经历用加减法把用加减法把“二元二元”化为化为“一元一元”的过程，的过程，体会消元的思想，以及把体会消元的思想，以及把“未知未知”转化为转化为“已知已知”，把复杂问题转化为简单问题的化，把复杂问题转化为简单问题的化归思想归思想 1通过研究解决问题的方法，培养合通过研究解决问题的方法，培养合作交流意识与探究精神；作交流意识与探究精神

3、； 2体会代入消元法和化未知为已知的体会代入消元法和化未知为已知的数学思想数学思想 二元一次方程组的解法二元一次方程组的解法代入消元代入消元法和加减消元法，以及列出二元一次方程法和加减消元法，以及列出二元一次方程组解简单的实际问题组解简单的实际问题 二元一次方程的解的不确定性；二元二元一次方程的解的不确定性；二元一次方程组解的意义；列出二元一次方程一次方程组解的意义；列出二元一次方程组解简单的实际问题组解简单的实际问题 消去二元一次方程组中的一个未知数，消去二元一次方程组中的一个未知数，把它转化为一元一次方程进行求解，这种把它转化为一元一次方程进行求解，这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思

4、将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫消元思想想，叫消元思想 把二元一次方程组中一个方程的未知数用把二元一次方程组中一个方程的未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法法4x+2y=1用含有用含有x的式子表示的式子表示y的形式是的形式是y=用含有用含有y的式子表示的式子表示x的形式是的形式是x=1-2y41-4x23x y= 7 5x 6y= 3 例例1 用代入法解方程组用代入法解方程

5、组解：由解：由，得，得 y=3x7 把把代入代入，得，得 5x-6（3x7） =3解这个方程，得解这个方程，得 x=3把把x=3代入代入，得，得 y=2所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是 x=3 y=25x +4y = 18 7x2y = 10 例例2 用代入法解方程组用代入法解方程组解：由解：由，得，得 y= 把把代入代入，得，得 5x4（ ） =18解这个方程，得解这个方程，得 x=2把把x=2代入代入，得，得 y=2所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是 x=2 y=27102x7102x二元一次二元一次方程组方程组一元一一元一次方程次方程一元一次一元一次方程的解方程的解二元一次

6、方二元一次方程组的解程组的解代入消元法代入消元法“化多为少、由繁至简、各个击破、逐化多为少、由繁至简、各个击破、逐一解决一解决”的转化的数学思想的转化的数学思想转化转化 例例3 两个完全相同的纸杯中盛有相同重量两个完全相同的纸杯中盛有相同重量的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入的水，现将第一个纸杯中的若干重量的水倒入第二个纸杯中，称得第一个纸杯重第二个纸杯中，称得第一个纸杯重50克，第二克，第二个纸杯重个纸杯重90克（纸杯本身的重量忽略不计），克（纸杯本身的重量忽略不计），问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯问原来纸杯中各盛有多少克水？从第一个纸杯中倒了多少克水到第二个纸杯中？中倒了多

7、少克水到第二个纸杯中？ 解：设原来纸杯中盛有解：设原来纸杯中盛有x克水，从第一个克水，从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为纸杯中倒入第二个纸杯中的水为y克，根据题克，根据题意，得意，得xy=50 xy=90 由由，得，得 x=y50 把把代入代入，得，得 y50y=90解这个方程，得解这个方程，得 y=20把把y=20代入代入，得，得 x=70所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是x=70y=20答：原来纸杯中盛有答：原来纸杯中盛有70克水，从第一个纸克水，从第一个纸杯中倒入第二个纸杯中的水为杯中倒入第二个纸杯中的水为20克克 得：（得：（xy）（）（xy）5090， 则有则有 2x5090

8、 所以所以 x=70或者：或者：得得 ：（：（x+y） （xy）9050，则有则有 2y40 所以所以 y=20 xy=50 xy=90 上述方程的另一种解法是：上述方程的另一种解法是：解：解： ，得，得 9y = -18 y= - 2 把把 y = - 2 代入代入 ， 得得3x + 5 （ - 2 ） = 5解得解得 x = 5所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是例例4 用加减法解方程组用加减法解方程组解这个方程得，解这个方程得，3x + 5y = 5， 3x - 4y =23 x = 5y = - 2解：解： + ，得，得 7x = 14x = 2把把 x = 2 代入代入，得，得

9、3 2 + 7y = 276 + 7y =27y= 3所以这个原方程组的解是所以这个原方程组的解是x = 2y = 3例例5 用加减法解方程组用加减法解方程组3x + 7y = 27 4x - 7y =13 例例6 用加减法解方程组用加减法解方程组4x5y=23 5x2y=4 解：解：2，得，得 8x10y=46 5，得，得 25x10y=20 ，得，得 33x=66 x=2把把x=2代入代入，得，得 522y=4， y=3所以这个方程组的解是所以这个方程组的解是x=2y=3解：原方程组变形为解：原方程组变形为，得：，得：2y=2 y=1把把y=1代入代入，得，得x=2例例7 用加减法解方程组

10、用加减法解方程组2（2x+1）=155y3（y+1）=14-4x4x+5y=134x+3y=11x=2y=1解：由解：由6，得，得3x+2y=9 由由15，得，得 5x-3y=15 例例8 用加减法解方程组用加减法解方程组1532321yxyx，得，得 19x= 57 x=3把把x= 3代入代入，得，得组成一个新的方程组：组成一个新的方程组：3x+2y=9 5x-3y=15 3，得，得 9x6y=27 2，得，得 10 x6y=30 332y=9 y=0 所以原方程组的解是所以原方程组的解是x=3y=0例例9 已知方程组已知方程组与方程组与方程组的解相同，求的解相同，求a，b的值的值ax-by

11、=4ax+by=24x+3y=114x-5y=3解方程组解方程组得得解：解：4x+3y=114x-5y=3把把x=2，y=1代入代入 得，得，ax-by=4ax+by=2x=2y=12ab=42ab=2解得解得a=1.5b=1 当方程组中同一未知数的系数的绝当方程组中同一未知数的系数的绝对值不相等时，必须用等式性质来改变对值不相等时，必须用等式性质来改变方程组中方程的形式，得到与原方程组方程组中方程的形式，得到与原方程组同解的且某未知数系数的绝对值相等的同解的且某未知数系数的绝对值相等的新的方程组，从而为加减消元法解方程新的方程组，从而为加减消元法解方程组创造条件组创造条件主要步骤：主要步骤：

12、基本思路：基本思路：写解写解求解求解加减加减消去一个元消去一个元求出两个未知数的值求出两个未知数的值写出方程组的解写出方程组的解变形变形同一个未知数的系数同一个未知数的系数相同或互为相反数相同或互为相反数例例10 解关于解关于x，y的方程组的方程组4x+3ky+1=0 6y-4x=1 解解：+得（得（3k+6）y=0即（即（2+k）y=0（1）当）当k2时，时，y=0（2）当）当k=-2时，则时，则k+2=0，（，（2+k）y=0恒成立恒成立 原方程组有无数组解原方程组有无数组解把把y=0代入代入，得，得 -4x=114x y=014x 例例11 已知已知4|5x3y23| 5（x4y8）2

13、= 0 ，求，求xy的值的值解：由题知，解：由题知，5x+3y-23=0 x+4y8=0 解这个方程组，得解这个方程组，得x=4y=1所以所以 xy=41=3 例例12 已知已知4x3a+b3 +3y2a-b=2，是关于，是关于x、y的二元一次方程，试求的二元一次方程，试求a、b的值的值解：根据题意：得解：根据题意：得3a+b3=12a-b=1解，得解，得a=1b=1解：由已知得解：由已知得3x-2y- 8z=0 2x+y-10z=0 例例13 已知：已知：3x-2y-8z=0，2x+y-10z=0，且，且x，y，z均不为零，求均不为零，求 的值的值2222x +3y -4zxy +xz+yz

14、解得解得x=4zy=2z把把x=4z，y=2z代入所求代数式，解得代入所求代数式，解得2222x +3y -4zxy +xz+yz207222222222222 4z+3(2z) -4z=(4z)(2z)+(4z)z+(2z)z32z +12z -4z=8z +4z +2z40z=14z（ ） 例例13 当当x = 2与与x = 3时，代数式时，代数式2x2+axb的值都是的值都是9，求，求a， b 的值的值解：把解：把x=2，x=3代入代入2x2+ax-b，得，得82ab=9183ab=9即即2ab=13ab=9解，得解，得a=2b=3 例例14 a 为何值时，方程组为何值时，方程组 的解互

15、为相反数，并求它的值的解互为相反数，并求它的值2x-7y=9a3x+4y=a-6 解：若方程组的解互为相反数，则有解：若方程组的解互为相反数，则有y=-x，将将y=-x代入原方程组，得代入原方程组，得2x+7x=9a3x-4x=a-6解，得解，得x=3a=3 当当a=3时，原方程组中的解互为相反数，时，原方程组中的解互为相反数，即即x=3y=-3 例例15 m ， n 为何值时，为何值时，5x4m-ny3m+2n与与3x5y6m是同类项是同类项解：根据同类项的定义，有解：根据同类项的定义，有4m-n=53m+2n=6m解，得解，得m=2n=3 对于用代入法解未知数系数的绝对值不是对于用代入法解

16、未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时应选择未知数的系的二元一次方程组，解题时应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样运算简便算简便 用加减法解二元一次方程组的思想：用加减法解二元一次方程组的思想：“二二元元”消元转化为消元转化为“一元一元”条件：某一未知数条件：某一未知数系数绝对值相等系数绝对值相等2若（若（x-2y3）2+（2xy-3）2=0， 则则x、y的的 值是值是x=_，y=_111二元一次方程组二元一次方程组 的解是的解是_4x-y=55x+2y=10 x=0y=53已知已知xy5（2x3y10）2=0，则，则 x=_

17、，y=_ 144己知：己知： ，则方程组，则方程组 的解是的解是_ 21a-2 +(b-2) = 02ax-by = 2x+y = 5x=2，y=35已知（已知（3m+2n-16）2与与|3m-n-1|互为相反数，互为相反数， 则则m+2n=_126若方程若方程 （a2-9）x2+（2-4a）x+（a+4）y+ 3a5=0 是二元一次方程，则是二元一次方程，则a的值为的值为37已知已知5a3xb2x-y和和-9a8-yb7是同类项，则是同类项，则2xy=_6238若方程组若方程组 与与 方程组方程组 同解，则同解，则 m=_，n=_x+y = 3 2x-y = -1mx-ny = -4nx+m

18、y = 79下列方程组中，下列方程组中， x=_，y=_ 3x-y2x+y +54x+5y-1=2354210已知方程组已知方程组 ，且，且x+y=2， 则则m2-2m+5的值是的值是_3x+y = m+14x-3y = 2m-511当当m时，方程组时，方程组 有一组解有一组解 4x-3y = 21x+my =283-412已知方程组已知方程组 ，且，且y=3x，则，则m=_4x-y-5m = 05x-y-10 = 01 13己知己知 ，则，则 的值是的值是_4x-3y+2z = 0 x+4y-9z = 02222222x +7y + 20zx +5y +4z214 己知己知 ，则，则 的值是的值是 _ xyz=345x+y+z2x2125x = -,s =,2111 2 520y =;t =;211x = 6,x = 2,3 4y = -0.5;y = 3.（）（ ）（ ）（ ）21138 11y =-x 2y =-x 2 47 7453y =x4y = x+.53（）（； ）；（ ）；（ ）u = 2,a =1,1 2 1b =1;t =;2x =1,x =1,3 4 y =1;y =1.（）（ ）（ ）（ ）34设买甲种票设买甲种票x张、买乙种票