第13讲对弧长的曲线积分

1、高等院校非数学类本科数学课程脚本编写：课件制作：第二章 多元函数积分学正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。正确理解对弧长的曲线积分的概念和物理背景。熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。熟悉二维空间中对弧长的曲线积分的计算方法。了解三维空间中对弧长的曲线积分。了解三维空间中对弧长的曲线积分。正确理解弧长元素的含义。正确理解弧长元素的含义。本节教学要求：本节教学要求：第第 四四 节节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分 弧长元素、弧长弧长元素、弧长 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 空间中对弧长的曲线积分的计算空间中对弧长的曲线积分的计算 参数方程时对

2、弧长的曲线积分的计算参数方程时对弧长的曲线积分的计算 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分第第 四四 节节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一一. 对弧长的曲线积分的物理背景对弧长的曲线积分的物理背景 二二. 对弧长的曲线积分的定义和性质对弧长的曲线积分的定义和性质四四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算参数方程时对弧长的曲线积分的计算三三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算五五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算三维空间中对弧长的曲线积分的计算一一. 对弧长的曲线积分的物理背景对弧长的曲线积分的物理背景 , l的光滑的平面曲线构件设有一质量非均匀分布 . ),

3、( ),( : lyxyxfl上点的连续函数是其密度 . 的质量求曲线构件 l : 法直线构件的质量计算方仿照质量非均匀分布的分割分割 近似近似 求和求和 取极限取极限 . 将构件简化为数学中 . 具有质量的平面曲线 o x y abab o x y abab 1a1iaia1na1iaia) ,(iiim isiiiisfm) ,( ) ,(1iniiisfm ) ,(lim10niiiisfm ) ,( 的位置点iiim 的到可以由点ma . 弧长来确定 ) ,()(iiifmf 可以看成是弧长的 . 函数 ) , ( ablxyyxf曲线平面上的一条可求长的是定义在设函数 , 1110b

4、aaaaaaannii , ) , , 2 , 1 ( 每个小弧段的长度个小弧段成分将nisnliab ) ,(lim10 niiiisf , ) ,( 记为上对弧长的积分在曲线则称该极限值为函数ablyxf . ) ,(limd),( 1 0niiiilsfsyxfab : 1 . 个点上任取在上的有界函数nlab . max , 1iniiss并记记为 , ) ,( 极限若iiis , ) ,( ,的取法无关的分法和点且该极限值与对曲线存在iiabl二二. 对弧长的曲线积分的定义和性质对弧长的曲线积分的定义和性质 . ) ,(limd),(10 niiiilsfsyxfab ；对弧长的曲线

5、积分号abl d),(；被积表达式syxf ),(被积函数；yxf ) ( d；弧微分弧长元素s . 积分曲线abl 号对弧长的曲线积分的记 上定义在曲线abl , 则积分记为闭曲线如果积分曲线为一条封l . ) ,(limd),( 10 niiiilsfsyxf 质对弧长的曲线积分的性 : . 1无关曲线的起点、终点位置对弧长的曲线积分值与 . d),(d),( baabllsyxfsyxf , , . 22121则是光滑曲线和如果lllll . d),(d),(d),(21 lllsyxfsyxfsyxf , 1),( . 3时当yxf . ) ( d d),( 的弧长为曲线 lssssy

6、xfll . )( 参照定积分自己证明三三. 直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算直角坐标系下对弧长的曲线积分的计算 : d s的弧微分首先回忆定积分中讲过 ddd222syx , 的增加方向一致时变量当弧长的增加方向与自x . d1 d2xys d xydd sy )(xfy . 1的方程为设曲线 l , ) , ()( , , , )(1则且bacxybaxxyy . ) 1 ( d1 )(,(d),( 2 balxyxyxfsyxf , 关与起点、终点的位置无由于对弧长的曲线积分 . , 的增加方向一致方向与总可以认为弧长的增加所以x , 积分下限为定积分计算时将对弧长的曲线积分化 . 总

7、小于积分上限 . 2的方程为设曲线 l , ) , ()( , , , )(1则且dccyxdcyyxx . )2( d1 ),(d),( 2 dclyxyyxfsyxfoxycd)(yxx oxy例解解 , d 其中计算lsx . ) 1 , 1 ( )0 , 0( ) 12的一段弧到点上由原点是boxyl . )0 , 1 ( , ) 2aoabl其中是折线 , 1 , 0 , : )12而xxyl , d41 d1 d22xxxys)0 , 1 (a) 1 , 1 (b , )2aboal , dd , 1 : ; dd , 0 : ysxabxsyoa上在上在 . 23d1dd d d

8、 1 0 1 0 yxxsxsxsxaboal故 . ) 155(121d41 d 1 0 2 xxxsxl故oxy ) 1 , 0(a ) 1 , 0(b )0 , 1 (c例解解 . , d | 为右半单位圆其中求lsyl . 0 , 1 : ,22xyxl由题意 , 得由隐函数求导法 , yxy . d|1dd1 d 2222xyxyyxxys故 d |d |d | , bcaclllsysysy从而 . 2d |1 |d |1 |1 0 1 0 xyyxyy . . 自己完成请同学课后作自变量此题可选 y四四. 参数方程时对弧长的曲线积分的计算参数方程时对弧长的曲线积分的计算 , ,

9、, )( , )( : ttyytxxl设 , ) ,()( , )( 1则且ctytx , d)()(d22ttytxs . (3) d)()()(),(d),( 22 ttytxtytxfsyxfl . :的增加方向一致变量取弧长的增加方向与自注意t . , 积分下限小于积分上限化为定积分后例解解 )cos1 ( , )sin( , d 2tayttaxlsyl为摆线其中计算 . )20( )0(ta的第一拱 dsin)cos1 (dd222222ttatatyxs )20( , d2sin2ttta2 0 532 0 23 2d2sin8d2sin)cos1 (2d ttatttasyl

10、于是 dsin)cos1 (16dsin16 0 223 0 53uuuauua2 tu 令 . 15256d)1 (1631 1 223avva cos uv 令例解解 . 0)( : , d)( 222 22aayxlsyxl其中 .2dd)( , 32 0 2 22ataasyxl从而 . 20 , sin , cos ttaytaxl的参数方程为 . dd)cos()sin(dd2222tattatatyxs , 故上定义在曲线由于被积函数lf ,),(222ayxyxf五五. 三维空间中对弧长的曲线积分的计算三维空间中对弧长的曲线积分的计算 , 3然后程形式中的曲线表示为参数方通常将

11、空间r . 化为定积分来计算 3的参数方程为中曲线设r , , , )( , )( , )( :ttzztyytxx , ) ,()( , )( , )( 1则且ctztytx , d)()()(d222ttztytxs . d)()()()(),(),(d),( 222 ttztytxtztytxfszyxf ; ),(的量弧长的增加方向与自变上定义在曲线tzyxf . 增加方向一致例解解 222 , sin , cos , d taytaxzyxs是螺旋线求 . ) 20 ( ttbz的第一圈 , dd)()()(d22222tbattztytxs 0 22222222 ddtbatbazyxs . 2arctan22ababba 例解解 : , d 2其中sx ,2222azyx . 0zyx : , 可以利用对称性数的形式由曲线的方程及被积函 d 2sx d 2sy d 2sz d)(31d 222 2szyxsx于是 d3d31 2 2sasa .322332aaa ) . , (的