高三数学培优补差辅导专题讲座-三角函数单元易错题分析与练习

1、第三讲：三角函数单元部分易错题解析1、角的概念的推广：平面内一条射线围着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形；按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角；射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边；2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；假如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限；3.终边相同的角的表示：（ 1）终边与终边相同 的终边在终边所在射线上2kkz ， 注意：相等的角的终边肯定相同，终边相同的角不肯定相等. 如与角1

2、825的终边相同，且5肯定值最小的角的度数是，合弧度；（答：25 ；36（ 2）终边与终边共线 的终边在终边所在直线上）k kz .（ 3）终边与终边关于 x 轴对称2k kz .（ 4）终边与终边关于y 轴对称2k（ 5）终边与终边关于原点对称2kkz .kz .（ 6）终边在 x 轴上的角可表示为：k,kz ；终边在y 轴上的角可表示为：k, kz ；终边在坐标轴上的角可表示为：2k, kz . 如的终边与的26终边关于直线yx 对称，就 ；（答： 2k, kz ）34、与的终边关系 ：由“两等分各象限、一二三四”确定. 如如是其次象限角，2就是第 象限角（答：一、三）25. 弧长公式 ：

3、 l| r ，扇形面积公式：s1 lr1 | r2 ，1 弧度 1rad57.3 .22如已知扇形aob 的周长是6cm，该扇形的中心角是1 弧度， 求该扇形的面积； （答： 2 cm2 ）6、任意角的三角函数的定义：设是任意一个角， p x, y 是的终边上的任意一点 （异于 原 点 ）， 它 与 原 点 的 距 离 是rx2y20， 那 么 siny ,cosx，rrtany,x0x， cotx y yr0 ， secxx0 ， cscry0 y；三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点p 的位置无关； 如（ 1）已知角的终边经过点p5， 12 ，就sincos的 值 为 ；（ 答 ：71

4、3）；（ 2 ） 设是 第三 、 四象 限角 ，sin2m33，就 m 的取值范畴是 （答：（ 1， ）；（ 3）如 | sin|cos0 ，4m2sin| cos|试判定cotsintancos 的符号（答：负）y7. 三角函数线的特点是：正弦线 m“p 站在 x 轴上 起点在 x轴上 ”、余弦线 om“躺在 x 轴上 起点是原点 ”、正切线 at“站在点 a1,0 处 起点是 a ” . 三角函数线的重要应用是比较三bs tpomax角函数值的大小和解三角不等式；如（ 1） 如0 ，就8sin,cos, tan的大小关系为 答： tansincos ；（ 2） 如为锐角，就,sin, ta

5、n的 大 小 关 系 为（ 答 ： s i nt a n）；（ 3 ） 函 数2y12 c o xsl g2s i nx3 的定义域是 （ 答：2 k,2 k33 kz ）8. 特殊角的三角函数值：30°45°60°0°90°180°270°15°75°sin122010 1626232244cos3210 106262122244tan313002-32+33cot313002+32-332222229. 同角三角函数的基本关系式：（ 1）平方关系：sincos1,1tansec,1cotcsc（ 2）

6、倒数关系： sincsc=1,cossec=1,tancot=1,（ 3）商数关系：tansin,cotcoscossin同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值； 在运用平方关系解题时，要依据已知角的范畴和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范畴， 以便进行定号； 在详细求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先依据角的范畴确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的肯定值； 如（ 1）函数 ysintancoscot的值的符号为 （答：大于0）；（ 2）如 02x2，就使1sin 2 2xcos2x 成立的 x 的取值范

7、畴是 （答： 0,4 3,4 ）；（ 3） 已知 sinm3 ， cos m542 m m52 ，就 tan （答：5tan）；（ 4 ） 已知1 ，就sin3cos ；sin 2sincos2 ；12tan1sincos （答：513 ）；（ 5） 已知sin 200a ，就tan160a等于a 、ab、1a2352c、1a a1a 2d、a（答： b）；（ 6）已知f cos x1 a2cos3 x ，就 f sin 30 的值为 （答： 1）；10. 三角函数诱导公式（k） 的本质是：奇变偶不变（对k 而言，指k 取奇数或2偶数），符号看象限（看原函数，同时可把看成是锐角）. 诱导公式的

8、应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成2k+, 02； 2转化为锐角三角函数； 如（ 1） cos 9tan7sin 2123的值为 （答：）；（2）4623已 知 sin 5404 ， 就5c o s 2 7 0 ， 如为 第 二 象 限 角 ， 就sin180cos360 243 ；（答：；）tan180510011、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式：令sinsincoscossincoscoscossinsinsin 22sincos22令cos2cossintantantan2cos2cos21+cos2112sin 21tantan2tan 22

9、tan1tan21sin 21cos2222如（ 1）以下各式中， 值为的是a 、 sin152cos15b、cossin1212tan 22.5c、1tan 2 22.5d、1cos302（答： c）；（ 2）命题 p： tan ab 0 ，命题q： tan atan b0 ，就 p 是 q 的a 、充要条件b、充分不必要条件c、必要不 充 分 条 件d 、 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 （ 答 ： c ）； （ 3 ） 已 知s i n c o sc o s 3 ，那s么i ncos 25的值为 （答：7）；（ 4 ）2513的值是 （答： 4）；5 已知tan110 0a ，求

10、tan 500 的值（用a 表sin10sin 80a31a 2示）甲求得的结果是13a，乙求得的结果是，对甲、乙求得的结果的正确性你的2 a判定是 （答：甲、乙都对）12.三角函数的化简、运算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构；即首 先观看角与角之间的关系，留意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！其次看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观看代数式的结构特点；基本的技巧有:（ 1）巧变角 （已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如， 2 ，2 ，22，222等）， 如（ 1）已知 tan2， tan13，那么 tan 的

11、值是 （答：）；（ 2）已知 0544，且 cos41，sin222，求 cos的值（答：4907292）；（ 3） 已知,为锐角， sin29x,cos23y ， cos3 ，就 y 与 x 的函5数关系为 （答： y31x24 x3x1 ）5552 三角函数名互化 切割化弦 ， 如（ 1） 求值 sin50 13 tan10 （答： 1）；（ 2）已知 sincos1,tan2 ，求 tan2 的值（答：1 ）1cos 238(3) 公式变形使用（ tantantan1tantan；如（ 1） 已知 a 、b为锐角，且满意tana tan btan atan b1 ，就 cos ab （答

12、：22）；2设abc 中， tan atan b三角形（答：等边）33 tan atan b ，sin acos a3，就此三角形是 4(4) 三角函数次数的降升 降幂公式：cos21cos 22， sin 21cos 22与升幂公式：21cos 22cos2， 1cos22sin ；如1 如, 32 ，化简1111 cos22222为 （答： sin）；（ 2）函数2f x 5 sin xcos x53cos2 x53 xr 的单调递增区间为 （答： k,k5 kz ）21212(5) 式子结构的转化 对角、函数名、式子结构化同 ； 如（ 1） tancossinsintancotcsc（答

13、： sin）；（2） 求证：1sin12sin 21tan 21tan22；（ 3）化简：2cos4 x2tan2cos2 xxsin 2 12（答： 1 cos 2x ）x244(6) 常值变换主要指“1”的变换 （ 1sin 2 xcos2 xsec2 xtan2 xtan xcot xtan 4sin 2等），如已知 tan2 ，求 sin2sincos3cos23（答：）.5(7) 正余弦“ 三兄妹 sin xcosx、sin xcosx ”的内存联系“知一求二”， 如（ 1）t 21如sin xcos xt ，就 sincxosx （答： ，特殊提示 ：这里 t22,2 ；（2） 如

14、0,sincos1 ， 求 tan的值；（答：47）；（ 3） 已知23sin 22sin 21tank ，试用 k 表示 sincos的值（答：1k ） ；4213、帮助角公式中帮助角的确定： a sin xb cos xa 2b2 sinx其中角所在的象限由a, b 的符号确定，角的值由 tanba确定 在求最值、化简时起着重要作用；如（ 1）如方程 sin x3 cosxc 有实数解， 就 c 的取值范畴是 （.答： 2,2 ）；（2） 当函数 y2 cos x3 sin x 取得最大值时，tan x 的值是 答：3 ；（ 3） 假如2fxsin x312cosx64 sin 2 是奇函

15、数，就tan= 答 ： 2 ；（ 4 ） 求 值 ：20 答： 32sin 2 20cos 2 2014、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysinx 和余弦函数ycos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, 3, 222的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象；15、正弦函数ysinx xr 、余弦函数ycos xxr 的性质 ：（ 1）定义域 ：都是 r；（ 2）值域 ：都是1,1 ， 对 ysinx ，当 x2kkz时， y 取最大值1；当2x2k3kz时， y 取最小值 1；对 y 2cos x ，当 x2kkz时， y 取最大值

16、 1，当 x2kkz时， y 取最小值 1；如（ 1）如函数yab sin3 x 6的最大值为3 ，最小值为21，就 a ， b（答： a21 , b21 或 b1 ）；（ 2）函数f xsin x3 cosx（ x, ）的值域是 （答： 1, 2 ）；（ 3）如 2，22就 ycos6 sin的最大值和最小值分别是 、 （答： 7 ； 5）；（ 4 ） 函数f x2 cos xsin x3 sin23xsinx cos x 的最小值是 ，此时 x （答： 2；kkz ）；（ 5）己知 sin12cos1，求 t222sincos的变化范畴 （答：0,1 ）；（ 6）如 sin222 sin

17、22cos，求 ysinsin的最大、最小值（答：ymax1 ， ymin222 ）； 特殊提示 ：在解含有正余弦函数的问题时，你深化挖掘正余弦函数的有界性了吗？（ 3）周期性 ： ysin x 、ycos x 的最小正周期都是2；f xasinx和f xa cosx 的 最 小 正 周 期 都 是 t2； 如 1如|f xsinx ， 就3f 1f 2 f 3 f 2 00 （答： 0）； 2函数f xcos4x2sinx cos xsin 4x 的最小正周期为 （ 答：）；3设函数f x2sinx 2 ，如对任意 xr5都有 f x1 f xf x2 成立，就| x1x2| 的最小值为 （

18、答： 2）（ 4 ） 奇 偶 性 与 对 称 性 ： 正 弦 函 数 ysinxxr是 奇 函 数 ， 对 称 中 心 是k,0kz，对称轴是直线xkkz；余弦函数y2cos xxr 是偶函数，对称中心是k,0kz，对称轴是直线xkkz （正 余弦型函数的对称轴2为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点） ；如（ 1） 函数ysin52 x的 奇 偶 性 是 （ 答 ： 偶 函 数 ）； （ 2 ） 已 知 函 数2f x axbsin 3 x1 a,b 为常数），且f 5 7 ，就 f 5 （答： 5）；（ 3）函 数 y2 c o xs s i xnc o sx

19、 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 、kk （ 答 ：,1 kz 、28x kz ）；（ 4 ） 已 知28fxs i n x 3c 为o 偶s 函数x，求 的值；（答：k kz ） 6（ 5 ） 单 调 性 ：ysin x在2k,2 k2kz上 单 调 递 增 ， 在22 k,2 k3kz单调递减； ycos x 在 2k,2 kkz上单调递减，22在 2k,2 k2 kz上单调递增； 特殊提示 ，别忘了 kz ！16、形如ya sinx 的函数：（ 1）几个物理量： a 振幅；f相；1 频率（周期的倒数） ；x相位；初t（ 2）函数ya sinx 表达式的确定：a

20、 由最值确定；2y由 周期 确 定 ；由图 象 上的 特殊 点 确定 ，如329f xa sinx a0,0 ，| 的图象如下列图，就x2-2f x （答：f x2sin 15 x ）；23 题 图（ 3）函数323ya sinx 图象的画法 ：“五点法”设xx， 令 x 0，, 222求出相应的x 值，运算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法；（ 4）函数ya sinxk 的图象与ysinx 图象间的关系：函数 ysin x 的图象纵坐标不变，横坐标向左（>0）或向右（<0）平移 | 个单位得ysinx的图象；函数ysinx图象的纵坐标不变，横坐标变

21、为原先的1 ，得到函数ysinx的图象；函数ysinx图象的横坐标不变，纵坐标变为原先的a 倍，得到函数ya sinx 的图象；函数ya sinx 图象的横坐标不变，纵坐标向上（k0 ）或向下（k0 ），得到ya sinxk 的图象；要 特殊留意 ，如由 ysinx 得 到 ysinx的图象，就向左或向右平移应平移| 个单位， 如（ 1） 函数 y2sin2 x1 的图象经过怎样的变换才能得到4ysinx 的图象？（答：y2sin2 x1 向上平移1 个单位得y42sin2 x 的图象， 再向左平移个单位48得 y2sin 2 x 的图象，横坐标扩大到原先的2 倍得 y12sinx 的图象，最

22、终将纵坐标缩小x到原先的即得 y2sinx 的图象）； 2要得到函数ycos 的图象，只需把函数 24ysin x 2的 图 象 向 平移 个单位（答：左；）；（3）将函数 y22sin2 x71 图3像，按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称，这样的向量是否唯独？如唯独，求出 a ；如不唯独，求出模最小的向量（答：存在但不唯独，模最小的向量a,1 ）；（ 4） 如6函数 fxcos xsin xx0, 2的图象与直线yk 有且仅有四个不同的交点，就 k的取值范畴是（答： 1,2 ）（ 5）争论函数ya sinx 性质的方法：类比于争论ysinx 的性质 ，只需将ya sinx 中的x看

23、成 ysinx 中的 x ，但在 求ya sinx 的单调区间时，要特殊留意a 和的符号， 通过诱导公式先将化正；如（ 1）函数ysin2 x 3的递减区间是 （答： k5,k kz ）；（ 2）xylogcos 的12121234递 减 区 间 是 （ 答 ： 6k3,6k3 kz ）；（ 3 ） 设 函 数f xa sinx a0,0,244 的图象关于直线x22对称，它的周期是，3就a 、f x的图象过点10,2b 、 f x在 区 间52, 123上 是 减 函 数c 、f x的图象的一个对称中心是 512,0d 、 fx 的最大值是a （答： c）；（ 4） 对于函数fx2sin2x

24、给出以下结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线3x成轴对称； 图象可由函数y 122sin 2 x 的图像向左平移个单位得到； 图像向左3平移个单位， 即得到函数y 122cos 2 x 的图像； 其中正确结论是 （答： ）；（ 5）已知函数f x2sinx 图象与直线y1 的交点中，距离最近两点间的距离为，3那么此函数的周期是 （答：）17、正切函数ytan x 的图象和性质 ：（ 1）定义域： x | x的定义域了吗？k, kz 2；遇到有关正切函数问题时，你留意到正切函数（ 2）值域是r，在上面定义域上无最大值也无最小值；（ 3）周期性：是周期函数且周期是，它与直线ya 的两个相邻交

25、点之间的距离是一个周期；肯定值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加肯定值或平方，其周期性是：弦减半、 切不变 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定；如 ysinx, y21sin x的周期都是, 但 ysin xcosx 的周期为，而 y| 2sin3 x|, y| 2sin3 x2 |， y| tan x | 的周2期不变；626（ 4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,02kz， 特殊提示 ：正 余 切型函数的对称中心有两类：一类是图象与x 轴的交点， 另一类是渐近线与x 轴的交点， 但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处；（

26、 5）单调性：正切函数在开区间k,kkz内都是增函数；但要注22意在整个定义域上不具有单调性；如下图：三角函数图象几何性质三角函数图象几何性质yy=y ataantanx+x y= asainsinx+xx3yoxx4x=tx1x=x2yox3x4xx=x1x=x2邻中心轴相距4邻中心 |x3-x4|=t/2邻轴 |x1-x2|=t/2邻中心 |x3-x4|= t/2邻渐近线 |x1 -x2 |=t无对称轴无穷对称中心 :由y=0确定无穷对称轴 :由y=a或- a确定无穷对称中心 :由y= 0或 y无意义确定任意一条 y轴的垂线与正切函数图象都相交 ,且相邻两交点的距离为一个周期！18. 三角

27、形中的有关公式：(1) 内角和定理 ：三角形三角和为，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能遗忘！ 任意两角和 与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.(2) 正弦定理 ：abc2r r 为三角形外接圆的半径. 留意 ：正弦sin asin bsinc定理的一些变式：ciabcsin asin bsin c ； iisin aa ,sin b 2 rb ,sin c 2r；iiia2r2rsin a, b2rsin b, b2rsin c ；已知三角形两边一对角，求解三角形时，如

28、运用正弦定理，就务必留意可能有两解.222(3) 余弦定理 ： a2三角形的外形 .b2c22bc cosa,cos abca 2bc等，常选用余弦定理鉴定(4) 面积公式 ：s1 ah1 absin c1 r abc（其中 r 为三角形内切圆半径）.a222如abc 中，如三角形）；sin2acos2 bcos2a sin2 bsin2c ，判定abc 的外形（答：直角特殊提示：（ 1 ）求解三角形中的问题时，肯定要留意abc这个特殊性：abc , sin ab sincabc,sincos22；（ 2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化；如（ 1）a

29、bc 中， a 、b 的对边分别是 a、 b ，且 a=60 , a6, b4 ，那么满意条件的abca 、 有一个解b 、有两个解c、无解d、不能确定（答：c）；（ 2）在abc 中， a b 是 sin asin b成立的 条件（答：充要）；（ 3）在abc 中， 1tan a 1tan b 2 ，就 log sin2 c （ 答 ：12）； 4 在abc 中 ， a , b , c分 别 是 角a 、 b 、 c所 对 的 边 ， 如 abc sin asin bsinc 3a sin b ，就c （答： 60 ）；（5）在abc 中，a2b2c2如其面积s，就c = （答： 30 ）；

30、（ 6）在abc 中， a 4360 , b1 ，这个三角形的面积为3 ，就abc 外接圆的直径是 （答： 2393）；（ 7）在 abc中， a、b、c 是角 a、b 、c 的对边， a3,cos a1 , 就cos2bc =， b2c2 的最大值为（答：1 ; 93232）；（ 8 ） 在 abc中ab=1 ， bc=2 ，就角c的取值范畴是（答：0c）；（ 9 ） 设o是锐角三角形abc的外心，如6c75，且aob ,boc ,coa 的面积满意关系式s aobs boc3s coa ，求a （答： 45 ）19. 反三角函数 ：（ 1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： arcsi

31、n a 表示一个角，这个角的正弦值为a ,且这个角在,内 1 22a1 ；2 反正弦 arcsin x 、反余弦arccosx 、反正切 arctan x 的取值范畴分别是, 0, 22, , .22在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、l1 到 l 2 的角、l1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时，你是否留意到了它们的范畴？0,0,2,0,， 0,2， 0,0,0, 220、求角的方法 ：先确定角的范畴，再求出关于此角的某一个三角函数（要留意挑选，其标准有二：一是此三角函数在角的范畴内具有单调性；二是依据条件易求出此三角函数值）；如（ 1）如

32、,0, ，且 tan、 tan是方程x25 x60 的两根，就求的值 （答： 34）；（ 2）abc 中， 3sin a4cos b6,4sin b3cos a1 ，就c （ 答 ：）；（ 3 ） 如 02且3sinsinsin0 ，coscoscos例题选讲：0 ，求的值（答：2） .3例题 1已知角的终边上一点的坐标为（ sin 23, cos 23），就角的最小值为 （）；52511a、b、c、d、6336正解： dtancos 233 ,5或3611，而 sin 2 630 cos 203所以，角的终边在第四象限，所以选d，116误会：tantan 2,32, 选 b3例题 2a ，b

33、，c 是abc 的三个内角，且tana, tan b 是方程3x 25 x10 的两个实数根，就abc 是（）a、钝角三角形b、锐角三角形c、等腰三角形d、等边三角形正解： a 由韦达定理得：tan a3tan b5tanabtan a5tan b35tan a tan b131tan a tan b223在abc 中，tan ctanabtan ab502c 是钝角，abc 是钝角三角形；例题 3已知方程 x24 ax3a10 （ a 为大于 1 的常数）的两根为tan， tan，且、,，就22tan的值是 .2错误分析：忽视了隐含限制tan, tan是方程 x24ax3a10 的两个负根，

34、从而导致错误 .正确解法：a1t a nt a n4 a0 ， tantan3a1otan, tan是方程 x24ax3a10 的两个负根又,22,0即,0222由 tan=tantan=4a= 4 可得tan2.1tantan13a132答案 : -2 .例题 4函数 f xa sin xb 的最大值为3，最小值为2，就 a ， b ；12ab3a解： 如 a0就ab2b52如 a0就1ab3a2ab2b52说明： 此题简单误认为a0 ，而漏掉一种情形；这里提示我们考虑问题要周全；例题 5函数 fx=sin x cos x的值域为 ；1sin xcos x错解：2121,2222错因：令 t

35、sin xcos x后忽视 t1,从而g t t112正解：21 ,11,212222例题 6如 2sin 2sin 23sin,就sin 2sin 2的取值范畴是错解： 4,2错因：由sin2sin2sin 23sin1,1 其中1sin1 ，得错误结果；由0sin 23sin2sin 21得 sin1 或 0sin1结合（ 1）式得正确结果；正解：0 ,25 24例题 7已知，求 ycos6 sin的最小值及最大值；解：22y2sin 26sin12sin3 211令 tsin就 |t|1y2 t223 21122而对称轴为t32当 t1 时， ymax7 ；当 t1 时， ymin5说明

36、： 此题易认为sin3时，ym i n211，最大值不存在，这是忽视了条件2|sin|1， 32不在正弦函数的值域之内；例题 8求函数f x2 tan x1 tan2 x的最小正周期；解： 函数f x2 tan x21tanx的定义域要满意两个条件；t a nx 要有意义且tan2 x10xk，且 xk224kz 当原函数式变为f xtan 2 x 时，此时定义域为xk24kz 明显作了这样的变换之后，定义域扩大了，两式并不等价 所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？第一作出ytan 2 x 的图象：y0x而原函数的图象与ytan 2 x 的图象大致相同只是在上图中去掉xk kz 所对应的点2

37、从去掉的几个零值点看，原函数的周期应为说明： 此题极易由ytan 2x 的周期是而得出原函数的周期也是，这是错误的，缘由22正如上所述； 那么是不是说非等价变换周期就不同呢？也不肯定，如 1993 年高考题：函数 y1tan21tan22 x 的最小正周期是（）；a.b.c.d.2 x422；此题就可以由ycos4 x 的周期为而得原函数的周期也是；但这个解法22并不严密，最好是先求定义域，再画出图象，通过空点来观看，从而求得周期；例题 9求函数f xsin 2 x2 2 cos4x3 的值域答案：原函数可化为f xsin 2 x2cos xsin x3,设 cos xsin xt,t2,2

38、就 sin 2 x1t 2就 f xt 22t4t1 25当t1时, f x max5 ，当 t2时,f x min222错解： ,5 错因：不考虑换元后新元t 的范畴；例题 10已知函数f xsinx0,0 是 r 上的偶函数， 其图像关于点3m ,0 对称，且在区间0，4上是单调函数，求和的值；2正解： 由f x 是偶函数，得f xf x故 sinxsinx ,cossinxcossinx对任意 x 都成立，且0,cos0依题设 0，233由 f x 的图像关于点m 对称，得f xf x44取 x0得f 34f 3, 4f 304f 3 4sin 3x4cos32x ,4cos 3x 04又0 ，得 3x4k, k20,1,2.2 2k31, k0,1,2.当 k0 时，2 , f3 xsin 2 x3 在 0,2 上是减函数；2当 k1 时，2, fxsin 2 x 在 0,2 上是减函数；2当 k 2 时，10 ,3f xsinx 在 0,2 上不是单调函数；2所以，综合得2或2 ；3误会： 常见错误是未对k 进行争论，最终只得一解；对题目条件在区间基础练习题 0, 上是单调函数，不进行