高一数学必修1知识点总结集合与函数

1、高中数学必修1 学问点总结（1）集合的概念第一章集合与函数概念【1.1.1 】集合的含义与表示集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（ 2）常用数集及其记法n 表示自然数集，n或 n表示正整数集，z 表示整数集，q 表示有理数集，r 表示实数集 .（ 3）集合与元素间的关系对象 a 与集合 m 的关系是 am ，或者 am ，两者必居其一 .（ 4）集合的表示法自然语言法：用文字表达的形式来描述集合.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.描述法： x| x 具有的性质 ，其中 x为集合的代表元素.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（ 5）集合的分类含有有限个元素的集合叫做

2、有限集. 含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含有任何元素的集合叫做空集.【1.1.2 】集合间的基本关系（ 6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图ab（或a 中的任一元素都属子集于 bba1aa(2) a3 如 a4 如 aabbab 且 bc ，就 acb 且 ba ，就 ab或真子集abab ，且 b 中至少（1）a （ a 为非空子集）ba（或 ba）有一元素不属于a2如 ab 且 bc ，就 ac集合相等aba 中的任一元素都属于 b，b 中的任一元素都属于 a1ab2baab（ 7）已知集合a 有 nn1 个元素，就它有2n 个子集，它有2n1 个真子集，它有2 n1个非

3、空子集，它有2n2 非空真子集 .（ 8）交集、并集、补集【1.1.3 】集合的基本运算名称记号意义性质示意图（1） aaa（2）a（3）abaabb x | xa, 且ab交集abxb x | xa, 或ab并集xb（1） aaa（2）aa（3）aabbababacuacua x | xu , 且xaacuau补集cu a cu abcuabcuacubcub【补充学问】含肯定值的不等式与一元二次不等式的解法（ 1）含肯定值的不等式的解法不等式解集| x |aa0 x |axa| x |aa0x | xa 或 xa| axb |c,| axb |cc0把 axb 看 成 一 个 整 体 ，

4、化 成 | x |a ，| x |a a0 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式b 24ac000二次函数yax2bxca0o的图象一元二次方程2x1,2bb4ac22abaxbxc的根0a0（其中 x1x2 x1x22a无实根ax2ax2bxc的解集bxc0a0r0a0 x | xx1 或 xx2 x | xb 2a的解集 x | x1xx2（ 1）函数的概念1.2 函数及其表示【1.2.1 】函数的概念设 a 、 b 是两个非空的数集，假如依据某种对应法就f ，对于集合a 中任何一个数x ，在集合b 中都有唯独确定的数 f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合a ， b 以及

5、a 到 b 的对应法就f ）叫做集合a 到 b 的一个函数，记 作 f: ab 函数的三要素 : 定义域、值域和对应法就只有定义域相同，且对应法就也相同的两个函数才是同一函数（ 2）区间的概念及表示法设 a, b 是两个实数， 且 ab ，满意 axb 的实数 x 的集合叫做闭区间，记做 a , b ；满意 axb 的实数 x的集合叫做开区间， 记做 a,b ；满意 axb ，或 axb的实数 x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做 a, b ，a,b ；满意xa, xa , xb, xb 的实数 x 的集合分别记做a , a,b ,b 留意： 对于集合 x | axb 与区间 a , b ，前

6、者 a 可以大于或等于b ，而后者必需ab （ 3）求函数的定义域时，一般遵循以下原就： f x 是整式时，定义域是全体实数 f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数 f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1 ytan x 中， xkkz 2零（负）指数幂的底数不能为零如 f x 是由有限个基本初等函数的四就运算而合成的函数时，就其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集对于求复合函数定义域问题，一般步骤是： 如已知f x 的定义域为 a, b ，其复合函数f g x的定义域应由不等

7、式 ag xb 解出对于含字母参数的函数，求其定义域，依据问题详细情形需对字母参数进行分类争论由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，仍要符合问题的实际意义（ 4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的事实上，假如在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最 值的常用方法：观看法：对于比较简洁的函数，我们可以通过观看直接得到值域或最值配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后依据变量的取值范畴确定函数的值域或最值判别式法：如函数yf x 可以化成一

8、个系数含有y 的关于 x 的二次方程a y x2b y xc y0 ，就在a y0 时，由于x , y 为实数，故必需有b2 y4a yc y0，从而确定函数的值域或最值不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值函数的单调性法（ 5）函数的表示方法【1.2.2 】函数的表示法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间

9、的对应关系列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系（ 6）映射的概念设 a 、 b 是两个集合，假如依据某种对应法就f ，对于集合a 中任何一个元素，在集合b 中都有唯独的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合a ， b 以及 a 到 b 的对应法就f ）叫做集合a 到 b 的映射，记作f : ab 给定一个集合a 到集合 b 的映射，且 aa, bb 假如元素 a和元素 b 对应，那么我们把元素b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象（ 1）函数的单调性定义及判定方法函数的性 质 1.3 函数的基本性质【1.3.1 】单调性与

10、最大（小）值定义图象判定方法假如对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值 x1 、x2 , 当 x1<x2 时，都yy=fxfx2 （ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性函数的有 fx<fx ， 那 么 就 说单调性 1 2fx在这个区间上是 增函数ofx1 x1x 2 x（ 3）利用函数图象 （在某个区间图象上升为增）（ 4）利用复合函数假如对于属于定义域i内某个区间上的任意两个自变量的值 x 1、x2 ，当 x1<x2时，都yfx 1y=fx（ 1）利用定义（ 2）利用已知函数的单调性（ 3）利用函数图象 （在有 fx>fx ， 那 么 就 说fx2

11、1 2fx在这个区间上是 减函数ox1x 2x某个区间图象下降为减）（ 4）利用复合函数在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数对于复合函数yf g x ，令ug x ，如yf u 为增，ug x 为增，就yf g x为增；如yf u 为减，ug x 为减，就yf g x为增；如yf u 为增，ug x 为减，就yf g x 为减；如yf u 为减，ug x 为增，就yf g x 为减y（ 2）打“”函数f xx a a x0 的图像与性质f x分别在 ,a 、a, 上为增函数， 分别在 a ,0、0,a 上为减

12、函数（ 3）最大（小）值定义一般地，设函数y f x 的定义域为i ，假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的xi ，都有oxf xm ；（2）存在 x0i ，使得f x0 m 那么，我们称m 是函数f x的最大值， 记作 fmax xm 一般地，设函数yf x 的定义域为i ，假如存在实数m 满意：（ 1）对于任意的xi ，都有f xm ；（2）存在 x0i ，使得f x0 m 那么，我们称m 是函数f x的最小值，记作fmax xm （ 4）函数的奇偶性定义及判定方法函数的性 质【1.3.2 】奇偶性定义图象判定方法f x=判肯定义域是否关于函数的奇偶性fx,那么函数fx数叫做 奇函原点对

13、称）（ 2）利用图象（图象关于原点对称）假如对于函数fx定义域内任意一个x，都有（ 1）利用定义（要先假如对于函数fx定义域内任意一个 x，都有 fx=fx ,那么函数 fx叫做 偶函数（ 1）利用定义（要先判肯定义域是否关于原点对称）（ 2）利用图象（图象关于 y 轴对称）如函数f x 为奇函数，且在x0 处有定义，就f 00 奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数补充学问函数的图象（ 1）

14、作图利用描点法作图：确定函数的定义域；化解函数解析式；争论函数的性质（奇偶性、单调性）；画出函数的图象利用基本函数图象的变换作图：要精确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象平移变换yf xh 0,左移h个单位h 0,右移 | h|个单位yf xhyf xk 0,上移 k个单位k 0,下移 | k|个单位yf xk伸缩变换yf x01,伸1,缩yf xyf x0 a 1, 缩a 1, 伸yaf x对称变换yf xx轴1yf xyf xy轴yf x原点yf xyf xyf x直线 yxyf xyf x去掉 y轴左边图象保留y轴右边图象，并

15、作其关于y轴对称图象yf | x |yf x（ 2）识图保留 x轴上方图象将x轴下方图象翻折上去y| f x |对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范畴、变化趋势、对称性等方面争论函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，留意图象与函数解析式中参数的关系（ 3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为争论数量关系问题供应了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具要重视数形结合解题的思想方法1. 以下四组对象，能构成集合的是（）a 某班全部高个子的同学b闻名的艺术家c 一切很大的书d倒数等于它自身的实数2. 集合 a ，b， c 的真子集共有个23. 如集合 m=y|y=x-2

16、x+1,xr,n=x|x 0 ，就 m与 n的关系是.4. 设集合 a= x 1x2 ， b= x xa，如 ab，就 a 的取值范畴是5.50 名同学做的物理、化学两种试验，已知物理试验做得正确得有40 人，化学试验做得正确得有31 人，两种试验都做错得有4 人，就这两种试验都做对的有人；6.用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合m=.227. 已知集合a=x| x+2x-8=0, b=x| x-5x+6=0, c=x|22x -mx+m-19=0,如 b c ， ac= ，求 m的值二、函数的有关概念1. 求以下函数的定义域：x 22 x15x1 2yy1x33x12. 设

17、函数 f x 的定义域为 0，1 ，就函数f x 2 的定义域为 _ _3. 如函数f x1 的定义域为 2， 3 ，就函数f 2 x1 的定义域是4. 函数f xx2 x12x 1x2，如 f x3，就 x =2x x25. 求以下函数的值域：2 yx2 x3 xr yx22x3x1,2(3) yx12 x4yx4x526. 已知函数f x1x24x ，求函数fx，f 2x1的解析式7. 已知函数f x满意 2fxf x3x4，就f x =；8. 设fx是 r 上的奇函数，且当x0, 时,f xx13 x , 就当 x,0 时f x =f x在 r上的解析式为9. 求以下函数的单调区间：yx

18、22x3 yx22x3yx26 x110. 判定函数y11.x 31x 21的单调性并证明你的结论1设函数f x1x 2判定它的奇偶性并且求证：f xf x 一、指数函数（一）指数与指数幂的运算其次章基本初等函数1根式的概念： 一般地， 假如 xn*a ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根， 其中 n >1，且 n n 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作 n 00；当 n 是奇数时，n a na ，当 n 是偶数时，n an| a |aa0aa02分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：ma nn a m a0, m,nmn * , n1，amn11aanma n0, m,

19、nn * , n10 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1） a r· a ra r sa0, r , sr ；rs（2） a r（3） abarsaar a sa0, r , s0, r , sr ；r （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数是自变量，函数的定义域为rya x a0,且a1 叫做指数函数，其中x留意：指数函数的底数的取值范畴，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a>10<a<166554433221 11 1-4-2246-4-224600-1-1定义域 r定义域 r值域 y 0值域

20、 y 0在 r 上单调递增在 r 上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（ 0， 1）函数图象都过定点（ 0， 1）留意：利用函数的单调性，结合图象仍可以看出：（1）在 a ， b 上，f x a x a0且a1 值域是 f a, f b 或 fb , f a ；（2）如 x0 ，就f x1； f x取遍全部正数当且仅当xr ；（3）对于指数函数f x a x a0且a1 ，总有f 1a ；二、对数函数（一）对数1对数的概念： 一般地， 假如 a xn a0, a1 ，那么数 x 叫做以 a 为底 n 的对数，记作：xlog an （ a 底数， n 真数，log an 对数式）说

21、明： 1留意底数的限制a0 ，且 a1 ； 2a xnlognx ；a 3留意对数的书写格式两个重要对数： 1常用对数：以10 为底的对数lg nlog a n； 2自然对数：以无理数e2.71828为底的对数的对数ln n 指数式与对数式的互化幂值真数 nlog a n b底数a b指数对数（二）对数的运算性质假如 a0 ，且 a1 ， m0 ， n0 ，那么： 1log a m· n log a m log a n ；m 2log anlog a m log a n ；n 3log a mn log a mnr 留意：换底公式log a blog c b（ alog c a0 ，

22、且 a1 ； c0 ，且 c1 ； b0 ）利用换底公式推导下面的结论n（1） log m bnlogb ；（ 2） logb1am（二）对数函数aalog b a1、对数函数的概念：函数ylog axa0 ，且 a1 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+）留意： 1对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，留意辨别；如：y2 log 2 x ， ylog 5 x5都不是对数函数，而只能称其为对数型函数 2对数函数对底数的限制：2、对数函数的性质：a0 ，且 a1 a>10<a<1332.52.521.51 121.51 10.5-10-0 .5-1-1

23、.5-2-2 .51234567810.5-10-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781定义域 x 0定义域 x0值域为 r值域为 r在 r 上递增在 r 上递减函数图象都过定点（ 1， 0）函 数 图 象 都 过 定 点（ 1， 0）（三）幂函数1、幂函数定义：一般地，形如2、幂函数性质归纳yxar 的函数称为幂函数，其中为常数（1）全部的幂函数在（0， +）都有定义并且图象都过点（1， 1）；（2） 0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 0, 上是增函数特殊地，当1时，幂函数的图象下凸；当（3） 0 时，幂函数的图象在区间00,1时，幂函数的图象上凸； 上是减函数在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地靠近y