2022年一轮复习配套讲义：第6篇第4讲基本不等式

1、第 4 讲基本不等式最新考纲 1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题 . 知 识 梳 理1基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0. (2)等号成立的条件：当且仅当ab 时取等号(3)其中ab2称为正数 a，b 的算术平均数，ab称为正数 a，b 的几何平均数2几个重要的不等式(1)重要不等式： a2b22ab(a，br)当且仅当 ab 时取等号(2)abab22(a，br)，当且仅当 ab 时取等号(3)a2b22ab22(a，br)，当且仅当 ab 时取等号(4)baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号3利用基本不等式求最值已知

2、 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p(简记：积定和最小 )(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是s24(简记：和定积最大 )辨 析 感 悟1对基本不等式的认识(1)当 a0，b0 时，ab2ab.() (2)两个不等式 a2b22ab 与ab2ab成立的条件是相同的 () 2对几个重要不等式的认识精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

3、- - - - - - - 第 1 页，共 18 页 - - - - - - - - -(3)(ab)24ab(a，br)() (4)2abab21a1babab2a2b22.() (5)a2b2c2abbcca(a，b，cr)() 3利用基本不等式确定最值(6)函数 ysin x4sin x，x 0，2的最小值为 4.() (7)(2014 福州模拟改编 )若 x 3，则 x4x3的最小值为 1.() (8)(2013 四川卷改编 )已知函数 f(x)4xax(x0，a0)在 x3 时取得最小值，则a36.() 感悟 提升 两个防范一是在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就

4、是“一正各项均为正；二定 积或和为定值；三相等 等号能否取得 ”，若忽略了某个条件，就会出现错误对于公式 ab2 ab，abab22，要弄清它们的作用、使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和 ab的转化关系如 (2)、(4)、(6)二是在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致 . 学生用书第 103 页考点一利用基本不等式证明简单不等式【例 1】 已知 x0，y0，z0. 求证：yxzxxyzyxzyz8. 证明x0，y0，z0，yxzx2 yzx0，xyzy2 xzy0，xzyz2 xyz0，yxzxxyzyxzyz8 y

5、zxzxyxyz8. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 18 页 - - - - - - - - -当且仅当 xyz 时等号成立规律方法利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题【训练 1】 已知 a0，b0，c0，且 abc1. 求证：1a1b1c9. 证明a

6、0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baabcaaccbbc32229，当且仅当 abc13时，取等号考点二利用基本不等式求最值【例 2】 (1)(2013 山东卷 )设正实数 x，y，z满足 x23xy4y2z0，则当xyz取得最大值时，2x1y2z的最大值为()a0 b1 c.94d3 (2)(2014 广州一模 )已知2x2y1，(x0，y0)，则 xy 的最小值为a1 b2 c4 d8 审题路线(1)x23xy4y2z0? 变形得 zx23xy4y2? 代入zxy? 变形后利用基本不等式 ? 取等号的条件把2x1y2z转化关于1

7、y的一元二次函数 ? 利用配方法求最大值解析(1)由 x23xy4y2z0，得 zx23xy4y2，xyzxyx23xy4y21xy4yx3. 又 x，y，z 为正实数，xy4yx4，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 18 页 - - - - - - - - -当且仅当 x2y 时取等号，此时 z2y2. 2x1y2z22y1y22y21y22y1y121，当1y1，即 y1 时

8、，上式有最大值1. (2)x0，y0，xy(xy) 2x2y42xyyx44xyyx8. 当且仅当xyyx，即 xy4 时取等号答案(1)b(2)d 规律方法条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值【训练 2】 (1)若正数 x，y 满足 x3y5xy，则 3x4y 的最小值是a.245b.285c5 d6 (2)(2014 浙江十校联考 )若正数 x，y 满足 4x29y23xy30，则 xy 的最大值是a.43b.53c2 d.5

9、4解析(1)由 x3y5xy 可得15y35x1，3x4y(3x4y)15y35x95453x5y12y5x1351255(当且仅当3x5y12y5x，即 x1，y12时，等号成立)，3x4y 的最小值是 5. (2)由 x0， y0， 得 4x29y23xy2(2x)(3y)3xy(当且仅当 2x3y 时等号成立 )， 12xy3xy30，即 xy2，xy 的最大值为 2. 答案(1)c(2)c 考点三基本不等式的实际应用【例 3】 (2014 济宁期末 )小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3 万元，每生产 x 万件，需另投入流动成

10、本为w(x)万元，在年产量不足精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 18 页 - - - - - - - - -8 万件时， w(x)13x2x(万元)在年产量不小于 8 万件时， w(x)6x100 x38(万元)每件产品售价为5 元通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完(1)写出年利润l(x)(万元 )关于年产量x(万件)的函数解析式； (注：年利润年销售收入固定成本流动成本

11、) (2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？解(1)因为每件商品售价为5 元，则 x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0 x8 时，l(x)5x13x2x313x24x3；当 x8 时，l(x)5x 6x100 x38 335 x100 x.所以 l(x)13x24x3，0 x8，35x100 x，x8.(2)当 0 x8 时，l(x)13(x6)29. 此时，当 x6 时，l(x)取得最大值 l(6)9 万元，当 x8 时，l(x)35 x100 x352x100 x352015，此时，当且仅当 x100 x时，即 x10 时，l(x)取得最大

12、值 15 万元915，所以当年产量为10 万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大最大利润为15 万元规律方法 (1)利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解(2)在求所列函数的最值时，若用基本不等式时，等号取不到，可利用函数单调性求解【训练 3】 为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2013 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用t(t0)万元满足 x4k2t1(k 为常数 )如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1 万件已知 2013 年生产

13、该产品的固定投入为6 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分 )(1)将该厂家 2013 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用t 万元的函数；(2)该厂家 2013 年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？解(1)由题意有 14k1，得 k3，故 x432t1. y1.5612xxx(612x)t精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

14、- - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 18 页 - - - - - - - - -36xt36 432t1t27182t1t(t0)(2)由(1)知：y27182t1t27.59t12t12. 由基本不等式9t12 t122 9t12 t126，当且仅当9t12t12，即 t2.5 时等号成立，故 y27182t1t27.59t12t1227.5621.5. 当且仅当9t12t12时，等号成立，即t2.5 时，y 有最大值 21.5.所以 2013 年的年促销费用投入2.5 万元时，该厂家利润最大，最大利润为21.5 万元1基本不等式具有将 “和式”转化为 “积式”和

15、将“积式”转化为 “和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点2连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致教你审题 7如何挖掘基本不等式中的 “相等”【典例】 (2013 天津卷 )设 ab2，b0，则12|a|a|b取得最小值为 _审题一审条件： ab2，b0，转化为条件求最值问题；二审问题：12|a|a|b转化为 “ 1” 的代换；三审过程：利用基本不等式时取等号的条件解析因为 ab2，所以12|a|a|bab4|a|a|ba4|a|b4|a|a|ba4|a|2b4|a|a

16、|ba4|a|114134，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 18 页 - - - - - - - - -当且仅当b4|a|a|b，a0，即 a2，b4 时取等号，故12|a|a|b的最小值为34. 答案34反思感悟 在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是变量替换或常值“ 1” 的替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将欲求最值的代数式乘上常数，再对代数

17、式进行变形整理，从而可利用基本不等式求最值【自主体验】(2013 台州一模 )设 x，y 均为正实数，且32x32y1，则 xy 的最小值为a4 b43 c9 d16 解析由32x32y1可化为 xy8xy，x，y 均为正实数， xy8xy82 xy(当且仅当 xy 时等号成立 )，即 xy2 xy80，解得xy4，即 xy16，故 xy的最小值为 16. 答案d 对应学生用书 p303 基础巩固题组(建议用时： 40 分钟) 一、选择题1(2014 泰安一模 )若 a，br，且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()aab2 abb.1a1b2abc.baab2 da2b22ab解析因为 a

18、b0，即ba0，ab0，所以baab2baab2. 答案c 2(2014 杭州一模 )设 a0，b0.若 ab1，则1a1b的最小值是 ()a2 b.14c4 d8 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 18 页 - - - - - - - - -解析由题意1a1babaabb2baab22baab4，当且仅当baab，即 ab12时，取等号，所以最小值为 4. 答案c 3(2013

19、 金华十校模拟 )已知 a0，b0，a，b 的等比中项是 1，且 mb1a，na1b，则 mn 的最小值是()a3 b4 c5 d6 解析由题意知： ab1，mb1a2b，na1b2a，mn2(ab)4 ab4. 答案b 4(2012 陕西卷 )小王从甲地到乙地的时速分别为a 和 b(ab)，其全程的平均时速为v，则()aavabbvabc. abvab2dvab2解析设甲、乙两地之间的距离为s. ab，v2ssasb2sabab s2ababa2a2ab0，va. 答案a 5(2014 兰州模拟 )已知函数 yx49x1(x1)，当 xa 时，y 取得最小值 b，则 ab()a3 b2 c3

20、 d8 解析yx49x1x19x15，由 x1，得 x10，9x10，所以由基本不等式得yx19x152x1 9x151，当且仅当 x19x1，即(x1)29，所以 x13，即 x2时取等号，所以 a2，b1，ab3. 答案c 二、填空题6(2014 广州模拟 )若正实数 a，b 满足 ab2，则(12a) (1b)的最小值为 _解析(12a)(1b)52ab52 2ab9.当且仅当 2ab，即 a1，b2 时取等号精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f

21、- - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 18 页 - - - - - - - - -答案9 7已知 x，yr，且满足x3y41，则 xy的最大值为 _解析x0，y0 且 1x3y42xy12，xy3.当且仅当x3y4，即当 x32，y2 时取等号答案3 8函数 ya1x(a0，a1)的图象恒过定点a，若点 a 在直线 mxny10(mn0)上，则1m1n的最小值为_解析ya1x恒过点 a(1,1)，又 a 在直线上，mn1.而1m1nmnmmnn2nmmn224，当且仅当 mn12时，取“”，1m1n的最小值为 4. 答案4 三、解答题9已知 a0，b0，ab1

22、，求证：1a1b1ab8. 证明1a1b1ab1a1babab21a1b，ab1，a0，b0，1a1babaabb2abba224，1a1b1ab8 当且仅当 ab12时等号成立 . 10已知 x0，y0，且 2x5y20. (1)求 ulg xlg y 的最大值；(2)求1x1y的最小值解(1)x0，y0，由基本不等式，得2x5y2 10 xy. 2x5y20，2 10 xy20，xy10，当且仅当 2x5y 时，等号成立因此有2x5y20，2x5y，解得x5，y2，此时 xy 有最大值 10. ulg xlg ylg(xy)lg 101. 精品学习资料 可选择p d f - - - - -

23、 - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 18 页 - - - - - - - - -当 x5，y2 时，ulg xlg y 有最大值 1. (2)x0，y0，1x1y1x1y2x5y2012075yx2xy12072 5yx2xy72 1020，当且仅当5yx2xy时，等号成立由2x5y20，5yx2xy，解得x10 10203，y204 103.1x1y的最小值为72 1020. 能力提升题组(建议用时： 25 分钟) 一、选择题1

24、已知 x0，y0，且2x1y1，若 x2ym22m恒成立，则实数m的取值范围是 ()a(， 24， ) b(， 42， ) c(2,4) d(4,2) 解析x0，y0 且2x1y1，x2y(x2y)2x1y44yxxy42 4yxxy8，当且仅当4yxxy，即 x4，y2 时取等号，(x2y)min8，要使 x2ym22m 恒成立，只需(x2y)minm22m恒成立，即 8m22m，解得 4m1 ，xy0，若目标函数 zxy 取得最大值 4，则实数 a 的值为()a4 b3 c2 d.32解析作出可行域，由题意可知可行域为abc 内部及边界， yxz，则 z 的几何意义为直线在y 轴上的截距，

25、将目标函数平移可知当直线经过点a 时，目标函数取得最大值4，此时 a 点坐标为 (a，a)，代入得4aa2a，所以 a2. 答案c 9(2014 湖州模拟 )设 x，y 满足约束条件3xy60，xy20，x0，y0.若目标函数 zaxby(a0，b0)的最大值为 12，则2a3b的最小值为 ()a.256b.83c.113d4 解析不等式表示的平面区域如图所示阴影部分当直线axbyz(a0，b0)过直线 xy20 与直线 3xy60 的交点 (4,6)时，目标函数 zaxby(a0，b0)取得最大值 12，即 4a6b12，即2a3b6. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - -

26、 - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 18 页 - - - - - - - - -所以2a3b2a3b2a3b6136baab1362256(当且仅当 ab65时等号成立 )答案a 10(2014 金丽衢十二校联考 )已知任意非零实数x，y 满足 3x24xy (x2y2)恒成立，则实数 的最小值为()a4 b5 c.115d.72解析依题意，得 3x24xy3x2x2(2y)24(x2y2)， 因此有3x24xyx2y24， 当且

27、仅当 x2y时取等号，即3x24xyx2y2的最大值是 4，结合题意得 3x24xyx2y2，故 4，即 的最小值是 4. 答案a 二、填空题11(2013 烟台模拟 )已知关于 x 的不等式 ax22xc0 的解集为13，12，则不等式 cx22xa0 的解集为_解析由 ax22xc0 的解集为 13，12知 a0，即 2x22x12k 的解集为 x|x2，求 k 的值；(2)若对任意 x0，f(x)t 恒成立，求实数 t 的范围解(1)f(x)k? kx22x6k0，由已知其解集为 x|x2，得 x13，x22 是方程 kx22x6k0 的两根，所以232k，即 k25. 精品学习资料 可

28、选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 18 页 - - - - - - - - -(2)x0，f(x)2xx262x6x66，由已知 f(x)t 对任意 x0 恒成立，故实数t 的取值范围是66， . 17(2013 广州诊断 )某单位决定投资3 200 元建一仓库 (长方体状 )，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40 元，两侧墙砌砖，每米长造价45 元，顶部每平方米造价

29、20 元，求：仓库面积 s的最大允许值是多少？为使s达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解设铁栅长为 x 米，一侧砖墙长为y 米，则顶部面积 sxy，依题设，得 40 x245y20 xy3 200，由基本不等式， 得 3 2002 40 x 90y20 xy120 xy20 xy120 s20s，则 s6 s1600，即(s10)( s16)0，故 0s10，从而 0s100，所以 s 的最大允许值是100 平方米，取得此最大值的条件是 40 x90y 且 xy100，解得 x15，即铁栅的长应设计为15米18(2014 泉州调研 )已知函数 f(x)x33ax23x1. (1)当 a2时，讨论 f(x)的单调性；(2)若 x2， )时， f(x)0