IIR 数字滤波器的设计

1、吉林建筑工大学电气与电子信息工程学院数字信号处理设计课程设计报告设计题目： IIR 数字滤波器的设计 专业班级： 信科 111 学生姓名： 宋家欢 学 号： 10310104 指导教师： 迟耀丹 王超 设计时间： 2014.01.062014.01.10 教师评语：成绩 评阅教师 日期 IIR数字滤波器的设计报告一、课程设计的目的课程设计是理论学习的延伸，是掌握所学知识的一种重要手段，根据课堂讲授内容，学生可以做相应的自主练习，消化课堂所讲解的内容；对于贯彻理论联系实际、提高学习质量有特殊作用。本次课程设计通过MATLAB仿真设计内容，让我们对理论知识的理解更加深刻，有利于逻辑思维的锻炼，并对

2、课堂所学理论知识作个总结和补充。二、设计任务及要求通过课程设计各环节的实践，应使学生达到如下要求：1. 掌握双线性变换法及脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器具体方法及计算机编程2. 观察双线性变换法、脉冲响应不变法的滤波器的频域特性，了解各种方法的特点3. 用MATLAB画出两种方法设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查结果是否满足要求。三、设计内容1.设计题目：IIR数字滤波器的设计2.设计内容：已知通带截止频率,通带最大衰减,阻带截止频率，阻带最小衰减，按照以上技术要求，用脉冲响应不变法和双线性变换法设计巴特沃斯数字低通滤波器，并观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线。四、设计原

3、理4.1数字低通滤波器的设计原理 数字滤波器可以分为两大类：一类是经典滤波器，即一般的滤波器特点是输入信号中有用的频率成分和希望滤去的频率成分各占不同的频率带，通过一个合适的选频滤波器达到绿宝锝目的，这种滤波器主要有维纳滤波器尔曼滤波器，自适应滤波器等。本设计只介绍经典滤波器。与模拟滤波器相同，数字滤波器从功能上看可分为低通、高通、带通和带阻几类。因为它们的单位脉冲响应是非因果且无限长的，所以实际上理想滤波器是不可能实现的。另外，与模拟滤波器不同的是数字滤波器的传输函数都是以2为周期的，滤波器的低通频带处于2的整数倍处，而高频频带处于的奇数倍附近，这一点在理解滤波器性能时需要特别注意。理想滤波

4、器就是一个让输入信号中的某些有用频谱分量无任何变化的通过，同时又能完全抑制另外那些不需要的成分的具有某种选择性的器件、网络或以计算机硬件支持的计算机程序。根据对不同信号的处理可将滤波器分为模拟滤波器和数字滤波器两种。模拟滤波器和数字滤波器的概念相同，只是信号的形式和实现滤波方法不同。数字滤波器是指输入输出都是数字信号的滤波器。滤波器的滤波原理局势根据信号与噪声占据不同的频带，将噪声的频率放在滤波器的阻带中，而由于阻带的响应为零，这样就滤去了噪声。一个理想滤波器将。是一个无法实现的非因果系统，我们只能用一个稳定的因果系统函数去逼近工程需要的确定的性能要求。数字滤波器根据其冲激响应函数的时域特性，

5、可分为两种，即无限长冲激响应(IIR)滤波器和有限长冲激响应(FIR)滤波器。IIR滤波器的特征是，具有无限持续时间冲激响应。这种滤波器一般需要用递归模型来实现，因而有时也称之为递归滤波器。FIR滤波器的冲激响应只能延续一定时间，在工程实际中可以采用递归的方式实现，也可以采用非递归的方式实现。数字滤波器的设计方法有多种，如双线性变换法、窗函数设计法、插值逼近法和Chebyshev逼近法等等。随着MATLAB软件尤其是MATLAB的信号处理工作箱的不断完善，不仅数字滤波器的计算机辅助设计有了可能，而且还可以使设计达到最优化。1.数字滤波器设计的基本步骤如下：(1)确定指标在设计一个滤波器之前，必

6、须首先根据工程实际的需要确定滤波器的技术指标。在很多实际应用中，数字滤波器常常被用来实现选频操作。因此，指标的形式一般在频域中给出幅度和相位响应。幅度指标主要以两种方式给出。第一种是绝对指标。它提供对幅度响应函数的要求，一般应用于FIR滤波器的设计。第二种指标是相对指标。它以分贝值的形式给出要求。在工程实际中，这种指标最受欢迎。对于相位响应指标形式，通常希望系统在通频带中具有线性相位。运用线性相位响应指标进行滤波器设计具有如下优点：只包含实数算法，不涉及复数运算；不存在延迟失真，只有固定数量的延迟；长度为N的滤波器(阶数为N-1)，计算量为N/2数量级。因此，本文中滤波器的设计就以线性相位FI

7、R滤波器的设计为例。(2)逼近确定了技术指标后，就可以建立一个目标的数字滤波器模型。通常采用理想的数字滤波器模型。之后，利用数字滤波器的设计方法，设计出一个实际滤波器模型来逼近给定的目标。(3)性能分析和计算机仿真上两步的结果是得到以差分或系统函数或冲激响应描述的滤波器。根据这个描述就可以分析其频率特性和相位特性，以验证设计结果是否满足指标要求；或者利用计算机仿真实现设计的滤波器，再分析滤波结果来判断。2.滤波器的性能指标我们在进行滤波器设计时，需要确定其性能指标。一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的允许误差来表征。以低通滤波器特性为例，频率响应有通带、过渡带及阻带三个范围。

8、在通带内： 在阻带中： 图4-1、低通滤波器频率响应幅度特性的容限图其中为通带截止频率, 为阻带截止频率，Ap为通带误差, 为阻带误差。 与模拟滤波器类似，数字滤波器按频率特性划分为低通、高通、带通、带阻、全通等类型，由于数字滤波器的频率响应是周期性的，周期为。各种理想数字滤波器的幅度频率响应如图所示：图4-2 各种理想数字滤波器的幅度频率响应3.无限脉冲响应（IIR）滤波器利用模拟滤波器成熟的理论及其设计方法来设计IIR数字低通滤波器是常用的方法。设计过程是：按照数字滤波器技术指标要求设计一个过度模拟低通滤波器，在按照一定的转换关系将转换成数字低通滤波器的系统函数。由此可见，设计的

9、关键问题就是找到这种转换关系，将s平面上的转换成z平面上的。为了保证转换后的稳定且满足技术指标要求，对转换关系提出两点要求：（1） 因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。（2） 数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响特性，s平面的虚轴映射为z平面的单位圆，响应的频率之间呈线性关系。一个无限脉冲响应系统的传递函数具有可选择极点和可选择零点（而有线脉冲响应系统只具有可选择零点以及位于原点的固定极点）。模拟系统同样具有极点和零点，甚至经常只有极点（多项式滤波器或全几点滤波器）。由此得出结论是，通过把PN图从s域映像变换到z域中，可以用一个无限脉冲（IIR）系统对模拟滤波器进行数字仿

10、真。l 采用脉冲不变z变换的设计l 采用双线性z变换的设计因此，将PN图从s域变换到z域中可以为无限脉冲响应滤波器综合得出两种方案通过首先计算出一个基准低通滤波器并接着执行一个频率变换。在第一种情况下生产一个模拟低通滤波器，由此例如生成一个模拟带通滤波器再由此生成数字带通滤波器。而在第二种情况向是生成一个模拟低通滤波器，由此生成数字低通滤波器，最后生成数字带通滤波器。因此，就可以总共为无限脉冲响应滤波器综合得出四种方案。图4-3 无限脉冲响应滤波器的开发方法另一种原则上不同的方法是直接在z 域张以一个优化问题的解决方案为基础，以便这样在已知系统阶次的情况下尽可能能好地逼近一个所期望的频率响应特

11、性。为此需要使用不同的算法。因此，总共得出5种不同途径可以实现从对滤波器频率响应特性的某种确定要求到数字系统的传递函数H（z）。图4-3所示对这5种方法的综述。下列信心必须流入开发过程中:l 冲凹模图（SMS）：滤波器的要求。这一点与应用有关，而且在整个流程中要求最为严格；l 基准低通滤波器：逼近方式（巴特沃斯等）和滤波器阶次。后者可以采用程序去顶或者通过实验计算出来；l 频率变换:具有特征频率的滤波器类型（高通滤波器，带通滤波器等）；l s域到z域变换：采样频率和变换类型（脉冲不变或双线性）；l z域逼近：数字滤波器的采样频率和阶次。冲凹模图的频率轴常常被定标到采样频率上。几次可以确定采样频

12、率，而且不再需要输入采样频率。4.2变换方法的原理目前，IIR数字滤波器设计最通用的方法是借助于模拟滤波器的设计方法。模拟滤波器设计已经有了一套相当成熟的方法，它不但有完整的设计公式，而且还有较为完整的图表供查询，因此，充分利用这些已有的资源将会给数字滤波器的设计带来很大方便，IIR数字滤波器的设计步骤是：(1)按一定规则将给出的数字滤波器的技术指标转换为模拟滤波器的技术指标；(2)根据转换后的技术指标设计模拟低通滤波器H(s)；(3)在按一定规则将H(s)转换为H(z)。若所设计的数字滤波器是低通的，那么上述设计工作可以结束，若所设计的是高通、带通或者带阻滤波器，那么还有步骤：(4)将高通、

13、带通或者带阻数字滤波器的技术指标先转化为低通滤波器的技术指标，然后按上述步骤(2)设计出模拟低通滤波器H(s)，再由冲击响应不变法或双线性变换将H(s)转换为所需的H(z)。s - z 映射的方法有：冲激响应不变法、阶跃响应不变法、双线性变换法等。.双线性变换法是指首先把s 平面压缩变换到某一中介平面s1 的一条横带(宽度为2T,即从-T到T) ,然后再利用的关系把s1平面上的这条横带变换到整个z 平面。这样s 平面与z 平面是一一对应关系, 消除了多值变换性, 也就消除了频谱混叠现象。s 平面到z 平面的变换可采用 (4-1) (4-2)令 ，有： (4-3)从s1 平面到z 平面的变换,即

14、 (4-4)代入上式，得到： (4-5)一般来说，为使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应关系，可引入待定常数c， (4-1)则 (4-6)这种s 平面与z 平面间的单值映射关系就是双线性变换。有了双线性变换，模拟滤波器的数字化只须用进行置换。五、设计步骤模拟滤波器原型的设计IIR滤波器设计技术从已知的低通模拟滤波器出发，我们把这些模拟滤波器叫做滤波器原型。实际中有三种广泛应用的滤波器原型，既巴特沃斯低通滤波器、切比雪夫低通滤波器、椭圆低通滤波器。在本设计中，简要介绍巴特沃斯低通滤波器原型的特征。尽管MATLAB信号处理工具箱提供了设计这些滤波器的函数，但是还是有必要知道这些滤波器

15、的数字描述和主要特征，以便在MALAB函数中选择合适的函数参数，已得到正确的设计结果。5.1 巴特沃斯低通滤波器这种滤波器的特征是其通带和阻带都有平坦的幅度响应。N阶低通滤波器的平方幅度响应的表达式为：其中N为滤波器的阶数，c是边缘频率(单位为rad/s)。取N=1,2,10，可得到平方幅频响应，如图5-1所示。图5-1巴特沃斯低通滤波器的平方幅频特性通带： 使信号通过的频带阻带：抑制噪声通过的频带过渡带：通带到阻带间过渡的频率范围c ：截止频率。 过渡带为零理想滤波器 阻带|H(j )|=0 通带内幅度|H(j)|=cons. H(j)的相位是线性的图5-1中，N增加，通带和阻带的近似性越好

16、，过渡带越陡。通带内，分母/c<1, ( /c)2N<1，A(2)1。过渡带和阻带，/c>1， ( /c)2N>1, 增加， A(2)快速减小。=c, ,幅度衰减，相当于3db衰减点。振幅平方函数的极点 (5-2)可见，巴特沃斯滤波器的振幅平方函数有2N个极点，它们均匀对称地分布在|S|=c的圆周上。考虑到系统的稳定性，知DF的系统函数是由S平面左半部分的极点(SP3，SP4，SP5)组成的，它们分别为：(5-3)系统函数为： (5-4)令 ，得归一化的三阶BF： (5-5)如果要还原的话，则有(5-6)1. 采用双线性变换法设计步骤根据以上IIR数字滤波器设计方法，采

17、用双线性变换法基于MATLAB设计一个巴特沃斯数字低通滤波器，其中要求通带截止频率为=400;通带最大衰减=1dB;阻带最小衰减=25dB;阻带截止频率=600;滤波器采样频率Fs=1000Hz.(1)根据任务,确定性能指标:在设计低通滤波器之前,首先根据工程实际的需要确定滤波器的设计指标:通带截止频率阻带截止频率通带最大衰减阻带最小衰减=fp/Fs*2*Pi=126=1dB=fs/Fs*2*Pi=189=25dB;(2)根据公式=2/T*tan(w/2) 进行预修正，将数字滤波器指标转换成模拟滤波器设计指标，对双线性变换法一般T=1ms=(2/T)*tan(/2)= 6.8=(2/T)*ta

18、n(/2)= =1dB=25dB;(3)将模拟高通滤波器指标转换为模拟低通滤波器指标。norm=/T=*Fs=norm=/T=*Fs=模拟低通滤波器指标：norm=norm=1dB=25dB(4)设计模拟低通原型滤波器。用模拟低通滤波器设计方法得到模拟低通滤波器的传输函数Ha(s)并调用lp2bp函数将模拟低通滤波器转化为模拟带通滤波器。(5)利用双线性变换法将模拟低通滤波器Ha(s)转换成数字低通滤波器H(z).程序流程框图开始读入数字滤波器技术指标将指标转换成归一化模拟低通滤波器的指标设计归一化的模拟低通滤波器阶数N和3db截止频率模拟域频率变换，将G(P)变换成模拟低通滤波器H(s)用双

19、线性变换法将H(s)转换成数字低通滤波器H(z)输入信号后显示相关结果结束 图5-2程序流程框图2. 脉冲响应不变法设计步骤（1）频率归一化问题：式（5-7）即为所求滤波器的系统函数，可看出与有关，即使滤波器的幅度衰减特性相同，只要不同，就不一样。为使设计统一，可将所以的频率归一化。这里采用对3dB截止频率归一化。脉冲响应不变法是实现模拟滤波器数字化的一种直观而常用的方法。它特别适合于对滤波器的时域特性有一定要求的场合。脉冲响应不变法的核心原理是通过对连续函数ha(t)等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令h(n)= ha(nT) ，T为采样间隔。它是一种时域上的转换方法。一个模拟滤波器的传递

20、函数可以用有理分式表达式表示为： （5-7）通过反拉普拉斯变换我们就可以得到它的冲激相应： （5-8）脉冲响应不变法就是要保证脉冲响应不变，即： （5-9）对上式的冲激相应序列作变换，就可以得到数字滤波器的传递函数： （5-10）一般来说，的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。假定的没有多重极点，则式（5-7）就可分解为： （5-11）式中，均为复数，是的极点。其拉氏变换为一般来说，的分母多项式阶次总是大于分子多项式的阶次。数字滤波器的传递函数H(z)经过合并简化，成为一般形式的有理分式传递函数 (5-12)在讨论采样序列z变换与模拟信号拉氏变换之间关系的有关章节中，我们已经知道 (5-1

21、3)按照z=的关系，每一个s平面上宽度为/T的水平条带将重迭映射到z平面上。因此脉冲响应不变法将s平面映射到z平面，不是一个简单的一一对应的关系。对于高采样频率(T小)的情况，数字滤波器在频域可能有极高的增益。为此我们采用 (5-14) （5-15)在脉冲响应不变法设计中，模拟频率与数字频率之间的转换关系是线性的()。同时，它可以保持脉冲响应不变，。因此，这一方法往往用于低通时域数字滤波器设计及相应的模拟系统数字仿真设计。利用模拟滤波器来设计IIR低通数字滤波器是常用的方法，称之为模拟一数字转换法。利用在MATLAB设计IIR数字滤波器可分以下几步来实现 a.按一定规则将数字滤波器的技术指标转

22、换为模拟低通滤波器的技术指标；b.根据转换后的技术指标使用滤波器阶数函数，确定滤波器的最小阶数N和截止频率；c.利用最小阶数N产生模拟低通滤波原型；d.利用截止频率把模拟低通滤波器原型转换成模拟带通原型；e.利用冲激响应不变法或双线性不变法把模拟滤波器转换成数字滤波器。(2)频率混叠现象数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。 即 |w|< (5-16)但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想）， 变换后就会产生

23、周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果图5-3 脉冲响应不变法的频率混叠现象总结以上，脉冲响应不变法的优点是频率坐标变换是线性的，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频率特性。另一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位脉冲响应，时域特性逼近好。其缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离模拟滤波器的频响。脉冲响应

24、不变法适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。六、 数字低通滤波器MATLAB编程及幅频特性曲线6.1 MATLAB语言编程1.双线性变化法设计程序如下Clearwp=400*pi; %通带截止频率ws=600*pi; %阻带截止频率Ap=1; %通带最大衰减As=25; %阻带最小衰减T=0.001;fs=1/T;Wp=2*tan(wp/2)/T;Ws=2*tan(ws/2)/T;N,Wn=buttord(Wp,Ws,Ap,As,s);%巴特沃斯滤波器b,a=butter(N,Wn,s);numd,dend=bilinear(b,a,fs); %双线性变换法W=linspa

25、ce(0,pi,500);H=freqz(numd,dend,W);plot(W,20*log10(abs(H);Axis(0 1 -50 0);grid;xlabel(频率Hz)ylabel(幅度dB);2.脉冲响应不变法设计程序如下ClearFs=1000; %采样频率为周期倒数Wp=400*pi; Ws=600*pi; %设置归一化通带和阻带截止频率Ap=1;As=25; %设置通带最大和最小衰减N,Wc=buttord(Wp,Ws,Ap,As,'s'); %调用butter函数确定巴特沃斯滤波器阶数B,A=butter(N,Wc,'s'); %调用but

26、ter函数设计巴特沃斯滤波器W=(0:pi:1000); %指定一段频率值D,C=impinvar(B,A,Fs); %调用脉冲响应不变法W=(0:0.001:pi)Hz=freqz(D,C,W); %返回频率响应 plot(W,abs(Hz)/abs(Hz(1); %绘出巴特沃斯数字低通滤波器的幅频特性曲线grid;xlabel('频率');ylabel('幅值dB');6.2 幅频特性曲线图6-1 双线性变化法幅频特性曲线图6-2 脉冲响应不变法幅频特性曲线七、 优缺点用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器的缺点是会产生频谱混叠现象，使数字滤波器的频响偏离

27、模拟滤波器的频响特性。产生的原因是模拟低通滤波器不是带限于折叠频率/T，在离散化（采样）后产生了频谱混叠，再通过映射关系，使数字滤波器在=附近形成频谱混叠。为了克服这个缺点，可以采用非线性频率压缩方法，将整个模拟频率轴压缩到/T之间，再用转换到Z平面上。用脉冲响应不变法设计IIR数字定滤波器的优点是频率变换关系是线性的，既=T，如果不出现频谱混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好地重现原模拟滤波器的频响特性。另外一个优点是数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应波形，时域特性逼近好。但是，有限阶的模拟滤波器不可能是理想带限的，所以，脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频谱混叠失真，其适用于低通、带通滤波器的设计，不适用于高通、带阻滤波器的设计。用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器的缺点是之间的非线性关系，是数字滤波器频响曲线不能保真的模仿模拟滤波器的频响曲线形状。这种非线性影响的