积分与路径无关课件

1、积分与路径无关PPT课件Gyxo 1LQdyPdx则则称称曲曲线线积积分分 LQdyPdx在在G内内与与路路径径无无关关, ,一、曲线积分与路径无关的定义一、曲线积分与路径无关的定义 2LQdyPdx1L2LBA如果在区域如果在区域G内有内有 否否则则与与路路径径有有关关. .第四节第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件平面曲线积分与积分路径无关的条件积分与路径无关PPT课件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件定理定理2. 设D 是单连通域单连通域 ,),(),(yxQyxP在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有.0dd

2、LyQxP(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在 D 内每一点都有.xQyPLyQxPdd与路径无关与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 积分与路径无关PPT课件说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明 (1) (2)设21, LL 21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxP2ddLyQxP 21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)BAyQxPddAByQx

3、Pdd积分与路径无关PPT课件证明 (2) (3)在D内取定点),(00yxA因曲线积分),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),(yxQ因此有yQxPuddd和任一点B( x, y ),与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数 积分与路径无关PPT课件证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得yQxPuddd则),(),(yxQyuyxPxuP, Q 在 D 内具有连续

4、的偏导数,xyuyxu22所以从而在D内每一点都有xQyPxyuxQyxuyP22,积分与路径无关PPT课件证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD (如图) ,上因此在DxQyP利用格林公式格林公式 , 得yxxQxQyQxPLDdd)(ddDDL0所围区域为证毕证毕积分与路径无关PPT课件 Lydyxxyxdxyxy22233sin21cos2I1例例.,),(的一段弧到上由点为在抛物线120022 yxLBoxAy,cos xyxyP232解22321yxxyQsin,cos xyxyyP262 262xyxyxQcos 积分与路径无关积分与路径无关,xQyP 120200

5、,),( ABO改变积分路径为折线积分与路径无关PPT课件BoxAyOBydyxxyxdxyxy222313212sincosI20:0: xyxxOB0BAydyxxyxdxyxy222323212sincosI10224321dyyy 42 21III42 10:2: yyyxBA 积分与路径无关PPT课件解解:.1523 xQxyP 2BoxAy 101042)1(dyydxx ABOAQdyPdx故故原原式式PQ ABOAQdyPdxQdyPdx积分与路径无关PPT课件yx说明说明:根据定理2 , 若在某单连通域单连通域区域内,xQyP则2) 可用积分法求d u = P dx + Q

6、dy在域 D 内的原函数:Dyx),(00及动点,),(DyxyyxQxyxPyxuyxyxd),(d),(),(),(),(00 xxxyxP0d),(0或yyyyxQyxu0d),(),(00y0 x则原函数为yyyyxQ0d),(xxxyxP0d),(取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;积分与路径无关PPT课件例2. 验证验证yyxxyxdd22是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使yyxxyxuddd22),()0 , 0(22dd),(yxyyxxyxyxu。)0 , 0(

7、。),(yx)0 ,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd022221yx积分与路径无关PPT课件积分与路径无关积分与路径无关xQyP ，解解,2)(2xyxyyyP ),()(xyxyxxQ ,),(2xyyxP ),(),(xyyxQ 积分与路径无关PPT课件由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 积分与路径无关PPT课件例例4 计算计算,dd22Lyxxyyx其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxQ设 L

8、所围区域为D,)0 , 0(时当D由格林公式知0dd22Lyxxyyx,22yxyP22yxxQyPyxoL积分与路径无关PPT课件dsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当D在D 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1D, 对区域1D应用格Lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddlLyxxyyx22dd0dd01yxDlLyxxyyxyxxyyx2222ddddL1Dloyx记记 L 和和 l 所围的区域为所围的区域为林公式 , 得积分与路径无关PPT课件例例5. 验证验证22ddyxxyyx在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令2222,

9、yxxQyxyP则)0()(22222xxQyxxyyP由定理定理 2 可知存在原函数),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuxx1d0)0(arctanxxyoxyyyxyx022d)0 ,(x)0 , 1(),(yx积分与路径无关PPT课件oxy)0 ,(x)0 , 1(),(yx),()0 , 1 (22dd),(yxyxxyyxyxuyyy021dyxyyarctan1arctanarctanyxarctan2xyxxy122d或), 1 (y)0(arctanxxy积分与路径无关PPT课件四、小结四、小结与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP