复变函数第8讲2

1、2一、重点与难点重点：重点：难点：难点：函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数3复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级幂级数数收敛半径收敛半径r r复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质解解析析在在0)(zzf为复常数为复常数 收敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数复数列列收敛半径的计算收敛半径的计算泰勒级数泰勒级数洛朗级数洛朗级数)(zfann为函数为函数41.复数列 , 0 数数相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正如如果果任任意意给给定定 , ),(时成立时成立在在使使nnnn

2、 记作记作 , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba设设an(n=1,2,.)为一复数列为一复数列, ,则则a称为复数列称为复数列an当当n时的时的极限极限,此时也称复数列此时也称复数列 n收敛收敛于于 .nnlim5 nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和2.复数项级数1) 定义定义an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列为一复数列,62) 复级数的收敛与发散0lim1 nnnn 收敛收敛都收敛都收敛与与收敛收敛 111nnnnnnba 充要条件充要条件必要条件必要条

3、件 ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn 如果部分和数列如果部分和数列sn收敛收敛,.,.lim,11发散称为则级数不收敛如果数列为级数的和称并且极限收敛称为则级数nnnnnnnsss7非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.3)复级数的绝对收敛与条件收敛复级数的绝对收敛与条件收敛如果如果 收敛收敛, 那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛. 1nn 1nn .111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛8例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.11)1;2)cosinnneninn9解 1) 因1111cossin111cos,1

4、sin.lim1,lim011lim1.innnnnnnninnneinnnnabnnnnaben数列收敛,且有102) 由于 n=n cos in=n ch n,因此, 当n时, n. 所以n发散. 11例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?10111)1;(8 )2);!( 1)13)2nnnnnninninin12解 1) 因 发散收敛故原级数发散.111nnnan2111nnnbn132) 因 , 由正项级数的比值审敛法知 收敛,故原级数收敛, 且为绝对收敛.(8 )8!nninn18!nnn143) 因 收敛; 也收敛,故原级数收敛. 但因为 条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.1(

5、 1)nnn112nn1( 1)nnn15)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的称为这级数的部分和部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n3.复变函数项级数 , ), 2 , 1()( 为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在区域 d内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf164. 幂级数 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为的级数称为幂级数幂级数.,0时时当当

6、a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(17-阿贝尔阿贝尔abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必发散级数必发散.满足满足2)收敛定理18(3) 既存在使级数发散的正实数既存在使级数发散的正实数, 也存在使级数收也存在使级数收敛的正实数敛的正实数.此时, 级数在复平面内除原点外处处发散.3)3)收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂级数, 其收敛半径的情况有三种其收敛半径的

7、情况有三种:(1)对所有的正实数都收敛对所有的正实数都收敛.即级数在复平面内处即级数在复平面内处处收敛处收敛.(2) 对所有的正实数除对所有的正实数除0 z外都发散外都发散.19在收敛圆周上是收敛还是发散在收敛圆周上是收敛还是发散, 不能作出不能作出一般的结论一般的结论, 要对具体级数进行具体分析要对具体级数进行具体分析.注意注意xyo. .r收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径20例1 求幂级数nnnzzzz201)1(,1112zzzzzzsnnn的收敛范围与和函数.解 级数实际上是等比级数, 部分和为21nnnnnnnnnnnzzzzzznzzzzzszzzzzzzzs212111, 1|.,1

8、|,11,1|,11lim, 0lim,1|) 1( ,111并有在此范围内绝对收敛收敛范围为级数发散不趋于零时由于时当和函数为收敛时级数即从而有由于时当22方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4)收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径 ., 0; 0,;0,1 r即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 r23例2 求下列幂级数的收敛半径24252627.,)(,)()1(2010rrzbzgrrzazfnnnnnn 设设,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababarz ),min(21rrr 5)幂级数的运算与性质28如果当如果当rz 时时,)(0 nnnzazf又设在又设在rz 内内)(zg解析且满足解析且满足,)(rzg 那末当那末当rz 时时, 0.)()(nnnzgazgf(2)幂级数的代换(复合)运算复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc（定理四）（定理四）设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,r那末那末是收敛圆是收敛圆raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf, )(zf