ch18函数的连续性与连续函数的运算

1、福州大学数计学院福州大学数计学院10010sin ( )lim.( )( )xxxxxxx其其中中推广：推广：将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 0 xx0 xx0 xxx x x 0011 ( )lim. ( )( )xxxexxxx其其中中推广：推广：v v 复习复习福州大学数计学院福州大学数计学院201010( )lim( ).( )xxxxexxx其其中中推广推广v 将 换成 , 及 , , 该法则仍然成立。 0 xx0 xx0 xxx x x 福州大学数计学院福州大学数计学院3v v v .0, )0, 0(lim0阶无穷小阶无穷小的的是是时时就说当就说当如果如果kxxkcc

2、xkx v 福州大学数计学院福州大学数计学院4定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) ).limlim,lim, 则则存在存在且且设设注注: :对于对于代数和代数和中各中各无穷小不能分别替换无穷小不能分别替换. .v v 1cosx2;2x1xa ln ;xa(1)1x; x11nx1xn3300tansinlimlimsin 2(2 )xxxxxxxx 福州大学数计学院福州大学数计学院5用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式:, 1lim lim0, ( ),o即即( ).o 于于是是有有例如例如,),(sinxoxx 221cos1().2xxo

3、 x,( ). o =+设设是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无穷穷小小 则则 的的充充要要条条件件是是().是是的的主主要要部部分分 主主部部称称22()(), 0oxo xkk福州大学数计学院福州大学数计学院6例例5 5.3sin1cos5tanlim0 xxxx 求求解解55t ta an n x xx xo o( (x x) ), ,),(33sinxoxx ).(21cos122xoxx )(3)(21)(5lim220 xoxxoxxoxx 原式原式xxoxxoxxxox)(3)(21)(5lim20 .35 可用函数的近似表达来解决可用函数的近似表达来解决福州大学数计学院福州

4、大学数计学院7第八节第八节 函数的连续性与函数的连续性与 连续函数的运算连续函数的运算一、函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点二、函数的间断点三、四则运算的连续性三、四则运算的连续性四、反函数与复合函数的连续性四、反函数与复合函数的连续性五、初等函数的连续性五、初等函数的连续性 新课新课 第一章第一章 福州大学数计学院福州大学数计学院8福州大学数计学院福州大学数计学院9xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 福州大学数计学院福州大学数计学院10定义定义1 1 设设 函数函数在在 内内有定义有定义，如，如果当自变量的增量果当自变量的增量 趋向于

5、零时，对应的函趋向于零时，对应的函数的增量数的增量 也趋向于零，即也趋向于零，即 或或 ，那末就称函数，那末就称函数在点在点 连续连续， 称为称为 的连续点。的连续点。)(xf),(0 xux y 0lim0 yx0)()(lim000 xfxxfx)(xf)(xf2.2.连续的定义连续的定义),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是0 x0 x0,xxx 设设福州大学数计学院福州大学数计学院11:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当定义定义2 设函数设函数 在在 内有定义内有定义,如果如果函数函数 当当 时的极限存

6、在时的极限存在,且等于它在且等于它在点点 处的函数值处的函数值 ,即即 那末就称函数那末就称函数 在点在点 连续连续. )(xf),(0 xu)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x定义定义3设函数设函数 在在 内有定义内有定义 )(xf),(0 xu称函数称函数 在点在点 连续连续. )(xf0 x福州大学数计学院福州大学数计学院12例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证)(lim0 xfx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0f

7、xfx xxx1sinlim0 , 0 .)(,)( 00处连续处连续在在也也它的绝对值它的绝对值处连续时处连续时在在当函数当函数xxfxxf由定义由定义 2或或3 可推得：可推得：反之呢？反之呢？2( )fx福州大学数计学院福州大学数计学院13解解)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且00lim( )() ,xxf xf x )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|xf、)(2xf在在0 x都连续都连续.但但反之不成立反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00

8、 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续思考题思考题夹逼准则夹逼准则00()xx福州大学数计学院福州大学数计学院143.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理00函函数数f(x)f(x)在在 x x 处处连连续续函函数数f(x)f(x)在在 x x处处既既左左连连续续又又右右连连续续 . .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 00lim( )()xxf xf x即000

9、lim( )lim( )()xxxxf xf xf x福州大学数计学院福州大学数计学院15:)(0条条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx .)(,0处处不不连连续续在在点点函函数数要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xxf0(, )x (1) f(x)在在 内有定义；内有定义；福州大学数计学院福州大学数计学院16例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 )

10、,0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf福州大学数计学院福州大学数计学院174.连续函数与连续区间连续函数与连续区间 如如果果函函数数f f( (x x) )在在区区间间( (a a, ,b b) )内内有有定定义义，且且对对( (a a, ,b b) )内内每每一一点点f f( (x x) )连连续续, ,则则称称函函数数f f( (x x) )在在( (a a, ,b b) )内内连连续续, ,( (a a, ,b b) )叫叫做做f f( (x x) )的的连连开开续续区区间间

11、. .如如果果函函数数在在开开区区间间( (a a, ,b b) )内内连连续续, , 并并且且在在左左端端点点x xa a处处右右连连续续, ,在在右右端端点点x xb b处处左左连连续续, , 则则称称函函数数f f( (x x) )在在区区间间 a a, ,b b续续. .闭闭 上上连连在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,称函数在该区间称函数在该区间上连续，或者叫做在该区间上的上连续，或者叫做在该区间上的连续函数连续函数.连续函数的图形是一条连续函数的图形是一条连续而不间断连续而不间断的曲线的曲线.福州大学数计学院福州大学数计学院18.0, 0, 0, 0 , 2,si

12、n)(,2处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxbxxfba解解xbxxfxxsinlim)(lim00 , b )(lim)(lim200 xaxfxx , a , 2)0( f),0()00()00(fff 要使要使,2时时故当且仅当故当且仅当 ba.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 2 ba例例3福州大学数计学院福州大学数计学院19(但但在点在点x0的去心领域内有定义的去心领域内有定义 )福州大学数计学院福州大学数计学院202243( )xf xxxx 函数函数的间断点的间断点思考思考(但但在点在点 x= 0 的去心领域内有定义的去心领域内有定义 )-1福州

13、大学数计学院福州大学数计学院21.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例5 5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解00()f00()f),00()00( ff.0为为函函数数的的跳跳跃跃间间断断点点 x1.第一类间断第一类间断点点oxy10,1,福州大学数计学院福州大学数计学院22.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无

14、定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfaxfxxfxx 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解1 02(),f, 2)01( f11( ),f2)(lim1 xfx),1(f x = 1为函数的可去间断点福州大学数计学院福州大学数计学院23如例如例6中中,12( ),f若若令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxf跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点. .特点特点.0处处的的左左、右右极极

15、限限都都存存在在函函数数在在点点 xoxy112注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.福州大学数计学院福州大学数计学院242.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy00()f00()f.断断点点这这种种情情况况称称为为无无穷穷间间0, x = 0为函数的第二类

16、间断点.福州大学数计学院福州大学数计学院25例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x001x x且且当当x x时时, ,函函数数值值在在-1-1和和+1+1之之间间无无限限次次变变动动, ,故故limsinlimsin不不存存在在. .x x.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间福州大学数计学院福州大学数计学院26o1x2x3xyx xfy 判断下列间断点类型判断下列间断点类型:福州大学数计学院福州大学数计学院27有几个间断点？有几个间断点？练练 习习( (书习

17、题书习题p70 3(2) )跳跃跳跃可去可去无穷无穷1011, ( ), , xxf xxxx2211( )limnnnxf xxx福州大学数计学院福州大学数计学院28三、四则运算的连续性三、四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx.),()()(0处也连续处也连续在点在点为常数为常数xxgxf 三角函数在其定义域内皆连续三

18、角函数在其定义域内皆连续.福州大学数计学院福州大学数计学院29取最值函数取最值函数)(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg由右图由右图可知可知,max)(2xxxf 220011xxxxxx xyo2xy xy 122 例例 补充补充福州大学数计学院福州大学数计学院30例例.)(),(min)( ),(),(max)( ,)(),(00处也连续处也连续在点在点那么函数那么函数处连续处连续在点在点设函数设函数xxgxfxxgxfxxxgxf )()()()(21)(),(maxxgxfxgxfxgxf )()()()(21)(),(mi

19、nxgxfxgxfxgxf 福州大学数计学院福州大学数计学院31复合函数复合函数(composite function),自变量自变量x,中间变量中间变量u,因变量因变量y,uy 设设,12xu 21xy 例：例： fdr 注意注意: :1. 复合条件：复合条件：2.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy 例如例如;22xu )2arcsin(2xy 补充补充福州大学数计学院福州大学数计学院322.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.cot2xy 可可复复合合成成. .,yu 例例如

20、如由由,cotvu 2xv 3.函数复合应注意其定义域函数复合应注意其定义域.f xxxxfx( )arcsin, ( )2, ( ) 则的例定义域是：.1,322x22x福州大学数计学院福州大学数计学院33四、反函数与复合函数的连续性四、反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数续反函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy. 1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xy.,cot,

21、arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.福州大学数计学院福州大学数计学院34例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理3 3uuf u(x)00lim ( )()xxu xu x 00lim ( ) ()xxf u xf u x 00lim( )()uu

22、f uf u 0,u 0lim ( )xxfu x 意义意义极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;福州大学数计学院福州大学数计学院35000 0 01x xx xx xa ax xa alliimm x xx xx xx xx xlliimmlln nx xlln nlliimmx xlln na a ( (a a) )lliimm a aa aa a( (a a, ,a a) )连续函数时连续函数时例如：例如：福州大学数计学院福州大学数计学院36五、初等函数的连续性五、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)

23、1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数基本初等函数在定义域内是连续的在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )福州大学数计学院福州大学数计学院37定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是内都是 连续的连续的. . 定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初

24、等函数初等函数仅在其定义区间内连续仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;注意注意例如例如, 1cos xy,4,2,0: xd这些这些孤立点孤立点的邻域内没有定义的邻域内没有定义.,)1(32 xxy, 1, 0: xxd及及在点在点x= 0的邻域内没有定义的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间福州大学数计学院福州大学数计学院382. 初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)()()(lim000定定义义区区间间 xxfxfxx211cos()limarctanxxxx 101cosarctan .4 例：例：3. 分段函数的

25、连续性：各段内部的连续性及各分段函数的连续性：各段内部的连续性及各分段点处的连续性分段点处的连续性.练习练习1sin,0,( )ln(1),10,axxf xxxbx 求使函数求使函数连续的连续的 a, b 值值. (即即 作业本作业本p p1717 二二2)2)福州大学数计学院福州大学数计学院39六、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)福州大

26、学数计学院福州大学数计学院40可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 x福州大学数计学院福州大学数计学院41连续函数的和差积商的连续性连续函数的和差积商的连续性.复合函数的连续性复合函数的连续性.初等函数的连续性初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法求极限的又一种方法.两个定理两个定理; 两点意义两点意义.反函数的连续性反函数的连续性.福州大学数计学院福州大学数计学院42练练 习习 题题 一一福州大学数计学院福州大学数计学院43福州大学数计学院福州大学数计学院44一、一、1 1、一类、一类, ,二类；二类； 2 2、一类、一类, ,一类一类, ,二类二类. .二、二、,), 1()1,()(内连续内连续与与在在 xf1 x为跳跃间为跳跃间 断点断点. .三、三、1 1、1 x为第一类间断点；为第一类间断点； 2 2