高三函数与导数专题含答案经典

1、 函数与导数（理科数学） 1、对于R上的可导函数()fx，若满足/(1)()0xfx?，则必有（C） A(0)(2)2(1)fff? B(0)(2)2(1)fff? C(0)(2)2(1)fff? D(0)(2)2(1)fff? 2、()fx是定义在(0,)?上的非负可导函数，且满足/()()0xfxfx?对任意正数,ab.若ab?则必有( C ) A.()()afafb? B.()()bfbfa? C.()()afbbfa? D.()()bfaafb? 3、()fx是定义在(0,)?上的非负可导函数，且满足/()()0xfxfx?对任意正数,ab.若ab?则必有( C ) A、()()afa

2、fb? B、()()bfbfa? C、()()afbbfa? D、()()bfaafb? 4、记?qpqqppqp当当.,min若函数?xxxf241log,log3min)(， 则函数)(xf的解析式_.2)(?xf的解集为_. 答案：（1）?xxxf241log,log3min)(=?xxxxxx241224141loglog3,logloglog3,log3 3分 解xx241loglog3?得4?x又函数xy411log3?在),0(?内递减，xy22log?在),0(?内递增，所以当40?x时，xx241loglog3?；当4?x时，xx241loglog3? 所以?4,log340

3、,log)(412xxxxxf （2）2)(?xf等价于：?2log,402xx或?2log3,441xx 解得：440?xx或，即2)(?xf的解集为),4()4,0(? 5 、设函数323()(1)1,32afxxxaxa?其中为实数。 （1）已知函数()fx在1x?处取得极值，求a的值； （2）已知不等式'2()1fxxxa?对任意(0,)a?都成立，求实数x的取值范围。 解: (1) '2()3(1)fxaxxa?，由于函数()fx在1x?时取得极值，所以 '(1)0f? 即 310,1aaa? (2) 方法一由题设知：223(1)1axxaxxa?对任意(0,

4、)a?都成立， 即22(2)20axxx?对任意(0,)a?都成立，设 22()(2)2()gaaxxxaR?, 则对任意xR?，()ga为单调递增函数()aR?，所以对任意(0,)a?，()0ga?恒成立的充分必要条件是(0)0g?， 即 220xx?，20x?， 于是x的取值范围是?|20xx? 方法二 由题设知：223(1)1axxaxxa?对任意(0,)a?都成立， 即22(2)20axxx?对任意(0,)a?都成立， 于是2222xxax?对任意(0,)a?都成立， 即22202xxx?20x?于是x的取值范围是?|20xx? 6、已知函数43219()42fxxxxcx?有三个极值

5、点。 （1）证明：275c?； （2）若存在实数c，使函数)(xf在区间?,2aa?上单调递减，求a的取值范围。 解：（1 ）因为函数43219()42fxxxxcx?有三个极值点, 所以32()390fxxxxc?有三个互异的实根. 设32()39,gxxxxc?则2()3693(3)(1),gxxxxx?当3x?时，()0,gx? ()gx在(,3)?上为增函数;当31x?时，()0,gx? ()gx在(3,1)?上为减函数; 当1x?时，()0,gx? ()gx在(1,)?上为增函数;所以函数()gx在3x?时取极大值,在1x?时取极小值. 当(3)0g?或(1)0g?时,()0gx?最

6、多只有两个不同实根.因为()0gx?有三个不同实根, 所以(3)0g?且(1)0g?. 即2727270c?,且1390c?,解得27,c?且5,c?故275c?. （2）由（I）的证明可知，当275c?时, ()fx有三个极值点. 不妨设为123xxx，（123xxx?），则123()()()().fxxxxxxx? 所以()fx的单调递减区间是1(x?，,23,xx若)(xf在区间?,2aa?上单调递减， 则?,2aa?1(x?，, 或?,2aa?23,xx, 若?,2aa?1(x?，,则12ax?.由（I）知，13x?,于是5.a? 若?,2aa?23,xx,则2ax?且32ax?.由（

7、I）知，231.x?又32()39,fxxxxc?当27c?时，2()(3)(3)fxxx?; 当5c?时，2()(5)(1)fxxx?.因此, 当275c?时，313.x?所以3,a? 且23.a?即31.a?故5,a?或31.a?反之, 当5,a?或31a?时，总可找到(27,5),c?使函数)(xf在区间?,2aa?上单调递减. 综上所述, a的取值范围是(5)(3,1)?U，. 7、设函数2132()xfxxeaxbx?，已知2x?和1x?为()fx的极值点 （1）求a和b的值； （2）讨论()fx的单调性； （3）设322()3gxxx?，试比较()fx与()gx的大小 解：（1）因

8、为122()e(2)32xfxxxaxbx?1e(2)(32)xxxxaxb?， 又2x?和1x?为()fx的极值点，所以(2)(1)0ff?， 因此6203320abab?，解方程组得13a?，1b? （2）因为13a?，1b?，所以1()(2)(e1)xfxxx?，令()0fx?，解得12x?，20x?，31x? 因为当(2)x?，(01)U，时，()0fx?；当(20)(1)x?U，时，()0fx? 所以()fx在(20)?，和(1)?，上是单调递增的；在(2)?，和(01)，上是单调递减的 （3 ）由（）可知21321()e3xfxxxx?，故21321()()e(e)xxfxgxxx

9、xx?， 令1()exhxx?，则1()e1xhx?令()0hx?，得1x?，因为?1x?，时，()0hx?， 所以()hx在?1x?，上单调递减故?1x?，时，()(1)0hxh?；因为?1x?，时，()0hx?，所以()hx在?1x?，上单调递增故?1x?，时，()(1)0hxh? 所以对任意()x?，恒有()0hx，又20x，因此()()0fxgx?， 故对任意()x?，恒有()()fxgx 8、设函数432()2()fxxaxxbx?R，其中ab?R， （1 ）当103a?时，讨论函数()fx的单调性； （2）若函数()fx仅在0x?处有极值，求a的取值范围； （3）若对于任意的?22

10、a?，不等式()1fx在?11?，上恒成立，求b的取值范围 （1）解：322()434(434)fxxaxxxxax? 当103a?时， 2()(4104)2(21)(2)fxxxxxxx?令()0fx?，解得10x? ，212x?，32x? 当x变化时，()fx?，()fx的变化情况如下表： x (0)?，已知它们在1x?处的切线互相平行 0 102?， 12 122?， 2 (2)?， ()fx? ? 0 ? 0 ? 0 ? ()fx 极小值 极大值 极小值 所以()fx在102?，(2)?，内是增函数，在(0)?，122?，内是减函数 （2）解：2()(434)fxxxax?，显然0x?

11、不是方程24340xax?的根 为使()fx仅在0x?处有极值，必须24340xax?恒成立，即有29640a? 解此不等式，得8833a?这时，(0)fb?是唯一极值 因此满足条件的a的取值范围是8833?， （3）解：由条件?22a?，可知29640a?，从而24340xax?恒成立 当0x?时，()0fx?；当0x?时，()0fx? 因此函数()fx在?11?，上的最大值是(1)f与(1)f?两者中的较大者 为使对任意的?22a?，不等式()1fx在?11?，上恒成立，当且仅当 (1)1(1)1ff?， 即22baba?， 在?22a?，上恒成立所以4b?，因此满足条件的b的取值范围是?

12、4?， 9设函数()(1)ln(1),(1,0)fxxaxxxa? （1）求()fx的单调区间； （2）当1a?时，若方程()fxt? 在1,12?上有两个实数解，求实数t的取值范围； 解析：（1）/()1ln(1)fxaxa? 0a?时，/()0fx? ()fx在（1，+?）上是增函数 当0a?时，()fx 在1(1,1aae? 上递增，在11,)aae?单调递减. （2）由（）知，()fx在1,02?上单调递增，在0,1上单调递减 又111(0)0,(1)1ln4,()ln2222fff? ，1(1)()02ff? 当11,ln2,0)22t?时，方程()fxt?有两解 10.设函数?32

13、3,()ln(,)fxaxaxgxbxxabR? . （1）求b的值； （2）若函数(),0()(),0fxxFxgxx?，且方程?2Fxa?有且仅有四个解，求实数a的取值范围. 解：（1）?2'33'10fxaxaf?，?1'2'121gxbxgbx?， 依题意：210b?，所以12b?；（2）?0,1x?时，?1'0gxxx?，?1,x?时， ?1'0gxxx?，所以当1x?时，?gx取极小值?112g?； 当0a?时，方程?2Fxa?不可能有四个解； 当0a?时，?,1x?时，?'0fx?， 12a121?xOy ?1,0x?时?&

14、#39;0fx?， 所以1x?时，?fx取得极小值?'1f?=2a，又?00f?，所以?Fx的图像如下： 从图像可以看出?2Fxa?不可能有四个解。当0a?时，?,1x?时，?'0fx?，?1,0x?时?'0fx?， 所以1x?时，?fx取得极小值?'1f?=2a，又?00f?， 所以?Fx的图像如下： 从图像看出方程?2Fxa?有四个解，则2122aa?， 所以实数a 的取值范围是2(,2)2。 11. 已知函数)0()(,ln)(?axaxgxxf，设)()()(xgxfxF?。 （1）求F（x）的单调区间； （2）若以?)3,0)(?xxFy图象上任意一点

15、),(00yxP为切点的切线斜率21?k 恒成立，求实数a的最小值。 （3）是否存在实数m ，使得函数1)12(2?mxagy的图象与)1(2xfy?的图象恰好有四个不同的交点？若存在，求出m的取值范围，若不存在，说名理由。 解.(1) F0(ln)()()(?xxaxxgxfx )0(1)('22?xxaxxaxxF ）上单调递增。在（由?,)(),(0)(,0axFaxxFa? 由）上单调递减在（axFaxxF,0)(),0(0)(?。 ），单调递增区间为（的单调递减区间为（?,0)(aaxF （2 ）恒成立)30(21)(),30()(020002?xxaxxFkxxaxxF min020)21(xxa? 当212110200取得最大值时，xxx? ?21,21?nmnaa （3 ）若21211)12(22?mxmxagy的图)1ln()1(22?xxfy的图象恰有四个不同交点， 即)1ln(212122?xmx有四个不同的根，亦即，2121)1l