第一节多元函数

1、17 1 本节学习多元函数的概念本节学习多元函数的概念多元函数的多元函数的多元函数的概念多元函数的概念极限和连续性，极限和连续性， 重点在二元函数。重点在二元函数。2( , ),( , )z zf x yx yd一二元函数的定义一二元函数的定义一元函数：1定义（二元函数）：定义（二元函数）： 设点集，对于，变量按照一定法则总有确定的值与之对应，则称是变量的二元函数（或称点p的函数）记为定义域：自变量：因变量：值 域：( )yf xxdr2dr( , )p x ydz, x y( , )zf x y( ),zf ppdz或, x yz2dr（点集）3定义域定义域用解析式表示的二元函数，其定义域是

2、使该式有意义的点的集合（区域）（有特殊说明除外）； 表达实际意义的二元函数，定义域由实际意义确定圆柱体体积2( , )( , ) ( , )dx y zf x yx yr1ln()zxy2212sin()zxy2( , )vv r hr h注：注：如：1( , )0dx y xy222( , ),0,1,2,dx y xykk( , )0,0dr h rh4 函数值函数值1)函数值的符号；函数值的符号；2)求法求法例如：例如：( , )f x yxy(1,2)f1 22( , )f a b ab00(,)f xyy00()xyy1,ftxtx5二二元函数的几何意义二二元函数的几何意义2( ,

3、)( , )zf x yx ydr( , , )0f x y z 二元函数定义域：二元函数定义域：二元函数图像：二元函数图像：平面区域平面区域空间曲面空间曲面xzy例如, 二元函数221yxz定义域为1),(22 yxyx圆域说明说明: 二元函数 z = f (x, y), (x, y) d图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如机动 目录 上页 下页 返回 结束 的图形一般为空间曲面 .12r),(yx三元函数 )arcsin(222zyxu定义域为1),(222zyxzyx图形为4r空间中的超曲面.单位闭球xyzo222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx42

4、22yx例例2. 求函数的定义域.解解:02 yx2yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2oyx2例例1. 求函数221sin()zxy 22( , ),0dx y xykkz的定义域.8例例3. 已知函数2222(,)xyf xy xyxy( , )f x y,uxy vxy,22uvuvxy222222222( , )22uvuvuvf u vuvuvuv222( , )xyf x yxy，求解解: 设，则所以即9*.齐次函数齐次函数二元二元k次齐次函数：次齐次函数：一次齐次函数一次齐次函数二次齐次函数二次齐次函数(,)( , )kf t x t ytf x y(,tr kzaxby

5、22zxyyak l为常数）次齐次函数次齐次函数()(cobbdouglas生产函数）如：如：10一般地，生产函数通常假定为齐次函数时，称规模报酬不变或固定规模报酬（产出与生产规模成比例）；时，称规模报酬递增；时，称规模报酬递减。当1212(,)( ,)knnyfxxxf x xx1k 1k 1k 当当三、二元函数的极限三、二元函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 设函数时，有都存在为常数，若对二元函数极限有多种类型，我们这只讨论00,xxyy时的极限。a0, 0,22000()()xxyy( , )f x ya( , )f x y00( , )(,)lim( , )x yxyf x

6、ya( , )f x ya00( , )(,)x yxy内有定义，的去心邻域( , )zf x y在点000(,)p xy00,xxyy使当成立则称a为当时的极限。记为或定义定义2.机动 目录 上页 下页 返回 结束 001),xxyy00( , )(,)x yxy注：注：可记为2）一元函数只有000,xx xxxx三种形式，而二元函数定义域为平面区域，( , )x y00(,)xy可以从各个方向趋近，这是两者质的区别.机动 目录 上页 下页 返回 结束 二元函数与一元函数的极限性质类似，具有有界性、保号性及四则运算性质等；二元函数也有与一元函数类似的求极限的方法，如：替换定理、换元法、代入法

7、等。( , )(0,2)sin()limx yxyx( , )(0,2)sin()limx yxyyxy( , )(0,2)( , )(0,2)sin()limlimx yx yxyyxy1 22 如：机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求极限：( , )(0,0)1)lim1 1x yxyxy ( , )(0,0)(1 1)limx yxyxyxy ( , )(0,0)lim(1 1)x yxy 222()2) lim ()x yxyxye22limx yxyxye2()limlim 2x yxyxxyyxyxyeee0 若当点),(yxp趋于不同值或有的极限不存在，解解: 设 p

8、(x , y) 沿直线 y = k x 趋于点 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点 (0, 0) 的极限.),(yxf故则可以断定函数极限则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在 (0,0) 点极限不存在 .以不同方式趋于,),(000时yxp不存在 .例例5. 讨论函数函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、四、 二元函数的连续性二元函数的连续性 定义定义3 . 设二元函数如果函数在 d 上各点处都连续, 则称此函数在 d 上否则称为不连续,0p此时称为间断点 .则称二元函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 连续.连续, 内有定义，若的邻域( , )zf x y在点000(,)p xy0000( , )(,)lim( , )(,)x yxyf x yf xy( , )zf x y在点000(,)p xy例如例如, 函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0 , 0) 极限不存在, 又如又如, 函数11),(22yxyxf上间断.122 yx 故 ( 0, 0 )为其间断点.在圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 结论结论: 一切二元初等函数在定义区域内连续.定理定理：若 f (p) 在有界闭域 d