高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质课件9 新人教B版选修2-1

1、抛物线方程及性质抛物线方程及性质复习复习平面内与一个定点平面内与一个定点f f和一条定直线和一条定直线l l的距离相等的点的轨迹叫做的距离相等的点的轨迹叫做。的轨迹是抛物线。则点若mmnmf, 1fmln定点定点f f叫做抛物线的叫做抛物线的。定直线定直线l l 叫做抛物线的叫做抛物线的。若若 l l过点过点f f，则轨迹为，则轨迹为过过f f点垂直于点垂直于l l的一条直线。的一条直线。flm思考思考:若点若点f在直线在直线l上，点的轨迹是什么呢？上，点的轨迹是什么呢？二、抛物线的标准方程二、抛物线的标准方程准线方程准线方程焦点坐标焦点坐标标准方程标准方程图图 形形x xf foy ylx

2、xf foy ylx xf foy ylx xfoy yl)0,2p(2px)0,2p(2px )2p0( ，2py)2p0(，2py 一次变量一次变量定定焦点焦点开口方向开口方向看看正负正负三、抛物线三、抛物线的的几何性质几何性质图图 形形方程方程焦点焦点准线准线 范围范围 顶点顶点 对称轴对称轴elfyxolfyxolfyxolfyxoy2 = 2px（p0）y2 = -2px（p0）x2 = 2py（p0）x2 = -2py（p0）)0 ,2(pf)0 ,2(pf )2, 0(pf)2, 0(pf2px 2px 2py 2pyx0yrx0yry0 xry 0 xr(0,0)x轴轴y轴轴1

3、补充：补充：（1）通径：）通径：通过焦点且垂直对称轴的直线，通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的两点的线段叫做抛物线的通径通径。|pf|=x0+p/2xoyfp通径的长度通径的长度：2pp越大越大,开口越开阔开口越开阔（2）焦半径：）焦半径： 连接抛物线任意一点与焦点的线段叫连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的做抛物线的焦半径焦半径。焦半径公式：焦半径公式：),(00yx(, )2pp(,)2pp1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = 20 x （2) x2 = y（3）2

4、y2 +5x =0 （4）x2 +8y =021焦点坐标焦点坐标准线方程准线方程（1）（2）（3）（4）（5，0）x= -5（0，）18y= - 188x= 5（- ，0）58（0，-2）y=2xy252yx82课前练习：课前练习：2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：（1）焦点是）焦点是f（-3，0）；）；（2）准线方程）准线方程 是是x = ；41（3）焦点在）焦点在y轴上，且焦点到准线的距离是轴上，且焦点到准线的距离是2。y2 =-12xy2 =xx2 =4y 或或 x2 = -4y课前练习：课前练习：例例 1点点m与点与点f（4，0）的距离比它）

5、的距离比它到直线到直线l：x50的距离小的距离小1，求点求点m的轨迹方程的轨迹方程 m (x , y) y x f(4,0) -4 -5 如图可知原条件等价于m点到f（4，0）和到x4距离相等，解: m (x , y) y x f(4,0) -4 -5 由抛物线的定义，点m的轨迹是以f（4，0）为焦点，x4为准线的抛物线因为p/2=4,所以p=8,所求方程是y216x2 2、动点、动点p p到直线到直线x xy y4 40 0的距离等于它到的距离等于它到点点m m(2,2)(2,2)的距离，则点的距离，则点p p的轨迹是的轨迹是( () ) a a直线直线 b b抛物线抛物线 c c椭圆椭圆

6、d d双曲线双曲线1、动圆、动圆m过过p(-6,0)且与直线且与直线x=6相切相切,求动圆圆心的轨迹方程求动圆圆心的轨迹方程.xy242a【例例2 2】试分别求满足下列条件的抛物线的标准方试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：程： (1)(1)过点过点( (3,2)3,2)； (2)(2)焦点在直线焦点在直线x x2 2y y4 40 0上上 分析：分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数确定一个待定系数p p；而从实际分析，一般需；而从实际分析，一般需确确定定p p和和确定开口方向确定开口方向两个条件，否则，应展开相两个条件，否则，应展

7、开相应的讨论应的讨论【例例2 2】试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 (1)(1)过点过点( (3,2)3,2)；解析：解析：(1)(1)设所求的抛物线方程为设所求的抛物线方程为 y y2 22 2pxpx，( (p p0)0)或或x x2 22 2pypy( (p p0)0)， 过点过点( (3,2)3,2)，4 42 2p p( (3)3)或或 9 92 2p p2 2， p p2 23 3或或p p9 94 4， 所求的抛物线方程为所求的抛物线方程为y y2 24 43 3x x或或x x2 29 92 2y y， 【例例2 2】试分别求满足下列

8、条件的抛物线的标准方程试分别求满足下列条件的抛物线的标准方程 (2)(2)焦点在直线焦点在直线x x2 2y y4 40 0上上(2)(2)令令x x0 0 得得y y2 2，令，令y y0 0 得得x x4 4， 抛物线的焦点为抛物线的焦点为(4,0)(4,0)或或(0(0，2)2)，当焦点为，当焦点为(4,0)(4,0)时，时，p p2 24 4， p p8 8，此时抛物线方程为，此时抛物线方程为y y2 21616x x，准线方程为，准线方程为x x4. 4. 焦点为焦点为(0(0，2)2)时，时，p p2 22 2， p p4 4，此时抛物线方程为，此时抛物线方程为x x2 28 8y

9、 y，准线方程为，准线方程为y y2.2. 所求的抛物线的方程为所求的抛物线的方程为y y2 21616x x或或x x2 28 8y y， 例例3、抛物线抛物线 上的点上的点p到焦点的到焦点的距离是距离是10，求，求p点坐标点坐标 .解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（解：根据抛物线方程可求得焦点坐标为（0，1）根据抛物线定义可知点根据抛物线定义可知点p到焦点的距离与到准到焦点的距离与到准线的距离相等，线的距离相等，yp+1=10，求得，求得yp=9， 代入抛物线方程求得代入抛物线方程求得x=6p点坐标是（点坐标是（6，9）故答案为：（故答案为：（6，9） yx42 (1)(1)在抛物线在抛

10、物线y y2 24 4x x上找一点上找一点m m，使，使| |mama| | |mfmf| |最小，其中最小，其中a a(3,2)(3,2)，f f(1,0)(1,0)，求，求m m点的点的坐标及此时的最小值坐标及此时的最小值(2)(2)已知抛物线已知抛物线y y2 22 2x x和定点和定点a a(3(3， ) )，抛，抛物线上有动点物线上有动点p p，p p到定点到定点a a的距离为的距离为d d1 1，p p到抛到抛物线准线的距离为物线准线的距离为d d2 2，求，求d d1 1d d2 2的最小值的最小值例例4课堂笔记课堂笔记(1)如图如图(1)，点，点a在抛物线在抛物线y24x的内部，的内部，由抛物线的定义可知，由抛物线的定义可知，|ma|mf|ma|mh|，其中其中|mh|为为m到抛物线的准线的距离到抛物线的准线的距离过过a作抛物线准线的垂线交抛物线于作抛物线准线的垂线交抛物线于m1，垂足为，垂足为b，则，则|ma|mf|ma|mh|ab|4，当且仅当点当且仅当点m