极限与连续课件

1、极限与连续极限与连续教学内容和基本要求：教学内容和基本要求： 理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函理解函数概念、复合函数和反函数的概念，掌握基本函数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，数的性质和图形，会建立简单实际问题中的函数关系式，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解理解极限的概念、性质，掌握极限四则运算法则，了解两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷两个极限存在的准则会用两个重要极限求极限；了解无穷小、无穷大及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。小、无穷大

2、及无穷小的阶的概念，并会用无穷小求极限。 理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判理解函数的连续性的概念，了解间断点的概念，并会判断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数断间断点类型；了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。的性质。极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程理解极限的概念的几何意义理解极限的概念的几何意义会利用极限定义证明极限存在会利用极限定义证明极限存在理解函数极限的概念理解函数极限的概念学学 习习 重重 点点第三节第三节 函数的极限函数的极限 掌握左右极限的概念掌握左右极限的概念极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】

3、电子教程通过对数列极限问题的研究，我们已经看到通过对数列极限问题的研究，我们已经看到极限极限是一种思想方法是一种思想方法，是是从认识从认识有限有限到把握到把握无限无限的一个过程的一个过程，对于特殊的函数，我们对于特殊的函数，我们已经了它们当已经了它们当n趋于无穷时的各个不同趋向趋于无穷时的各个不同趋向nxnf)(对于一个函数对于一个函数，在自变量的某个变在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值可以无限接近于某化过程中，如果对应的函数值可以无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数个确定的常数，那么这个确定的常数就叫做函数在该变化过程中的在该变化过程中的极限。极限。)(xfy 极限

4、与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程各种函数极限的直观实例各种函数极限的直观实例422lim )1(222 xxx. . 于于无限地趋无限地趋 应的函数值应的函数值对对 时,时, 无限制地趋向于无限制地趋向于 ) ) (无论从右边还是左边(无论从右边还是左边 量量但当自变但当自变 处尽管没有定义,处尽管没有定义,在在函数函数4 22 22)( 22f(x) xx xxxxf2 xy24xyOxx )(xf)(xf 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程022 lim )2(2 xxx. . 地地趋趋于于0 0无无限限的的函函数数值值对对应应 时时, ,

5、 地地趋趋向向从从右右边边无无限限制制 量量但但当当自自变变 处处尽尽管管没没有有定定义义, ,在在 函函数数 f (x) xx xxxf(x) 2222)(xf2 xy2xy0 x 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程022 lim )3(2 xxx. 0 )( , 2 2 22)( 无限地趋于无限地趋于 对应的函数值对应的函数值时时 从左边无限制地趋向于从左边无限制地趋向于量量但当自变但当自变 处尽管没有定义,处尽管没有定义,在在函数函数xfxxxxxxf)(xfxy 22xy0 x 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程01lim )4( x

6、x. 0 )( , ) ,1)(限地趋于限地趋于 无无 对应的函数值对应的函数值越来越远时越来越远时距离原点距离原点 (无论向左还是向(无论向左还是向但当自变量但当自变量 对于函数对于函数xfxOxxxf右)(xfxy1 xy0 x x )(xf极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程)( xfxyarctan xy0 x 2/ 2/ x )( xf2/arctanlim )6( xx2/arctanlim )5( xx ;/f(x)xOxxf(x)2arctan无限地趋于无限地趋于对应的函数值对应的函数值 越远时,越远时,越来越来向右距离原点向右距离原点变量变量当自当自,

7、 ,对于函数对于函数 ./xfxOx2 )( 无限地趋于无限地趋于对应的函数值对应的函数值 越来越远时,越来越远时,原点原点向左距离向左距离当自变量当自变量极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程 如果当如果当 x 无限地接近于无限地接近于 x0 时时 函数函数 f (x) 的值无限地接近的值无限地接近于常数于常数 A 则常数则常数 A 就叫做函数就叫做函数 f (x)当当 xx0时的时的极限极限 记作记作 函数极限的的通俗定义函数极限的的通俗定义一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限Axfxx)(lim0)xx(A)x(f0或或分析分析 当当 x

8、x0 时时 f (x) A 当当| x - x0 |0 时时 | f(x) A | 0 当当 | x - x0 |小于某一正数小于某一正数 d d 后后 |f(x) A|能小于给定的正数能小于给定的正数e e 任给任给e e 0 存在存在d d 0 使使当当|x x0| d d 时时 有有| | f(x) A| e e 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程 设函数设函数 f (x) 在点在点 x0的某一去心邻域内有定义的某一去心邻域内有定义 )xA(xf(x)Af(x)yAf(x)Af(x)xx xxxx0000limlim0 0 或或 , , 记为记为为极限，为极限，

9、当时以当时以则称函数则称函数成立成立 : :总有总有时,时, 使得当使得当数数，总可以找到相应的正，总可以找到相应的正对任意给定对任意给定函数极限的精确定义函数极限的精确定义极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程)(xfy eAeAAd0 xd0 x0 xddxyo函数极限的几何意义函数极限的几何意义 . . 区区域域内内四四条条直直线线所所围围成成的的矩矩形形的的图图形形完完全全落落在在由由这这 则则函函数数, , 的的去去心心邻邻域域内内为为心心半半径径为为 落落在在以以 若若 : :使使得得 直直线线 都都存存在在两两条条铅铅直直 任任意意画画两两条条水水平平直直线

10、线)()0()0(00 xfy xx xx, A y 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程xOy0 x)(xfy AeAeA0 x0 xddd dd d目的目的：对任意的：对任意的e0, 要找要找d0，使得，使得0|x-x0|d 时，有时，有|f(x)-A|e.即即 A-e f(x) 0, d 0, 当0|xx0|d 时, 有 | f (x) a |0 极限的局部保号性定理极限的局部保号性定理） 有类似的结论有类似的结论 时,时,（ 内,内, 的某个去心邻域的某个去心邻域则在则在若若 0 . 02)( , 0)(lim00 AAxfxAxfxx极限与连续工科数学教学中心

11、工科数学教学中心【微积分】电子教程 推论推论: : 如果在如果在x0的某一去心邻域内的某一去心邻域内 f(x) 0 (f(x) 0) 而且而且 则则0lim( )xxf xA )0( 0 AA 如果如果 存在，那么极限必是唯一的存在，那么极限必是唯一的0lim( )xxf x极限存在的唯一性定理极限存在的唯一性定理极限存在的局部有界性定理极限存在的局部有界性定理 如果如果 , ,那么必存在那么必存在一个正数一个正数M，使得函，使得函数数0lim ( )xxf xA 在点在点x0（可以不包括（可以不包括x0）的某一领域内的某一领域内总有总有 |f(x)|M 唯一性和有界性证明与数列类似唯一性和有

12、界性证明与数列类似,请同学们自己证请同学们自己证极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程;)0( )(lim )()(00 00000AxfAxfx x fA ,Axf xxx, xx 或或记为记为 , , 极限极限处的左处的左 在在为函数为函数 则称则称 有有 时,时, 当当 都存在都存在 若对任意若对任意定义定义.)0( )(lim )(0000000AxfAxfxxf xxxxxxxx 或或记为记为 , , 处的右极限处的右极限 在在 函数函数可定义可定义 改为改为 将上述的将上述的.)0()0()(lim000AxfxfAxfxx 定理定理此定理常用来讨论函数此定理

13、常用来讨论函数在某点的极限不存在在某点的极限不存在!函数的左、右极限函数的左、右极限极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程0(00)lim( )1xffx 左极限左极限yxo1-1 考虑符号函数考虑符号函数10( )sgn0010 xf xxxx求求 0lim( )xfx(00)(00)ff因为因为 所以所以 不存在。不存在。 0lim( )xfx0(00)lim( )1xffx右极限右极限解解： 例例4极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程f (x) = x ,当当x 0时时,sinx, 当当x0时时,).(lim0 xfx讨讨论论由于当由于当x

14、0时时, 对应的函数值对应的函数值f (x) =x.由于当由于当x0时时, 对应的函数值对应的函数值f (x) = sinx.0)(lim 0 xfx由定理由定理解：解：f (x)是一个分段函数，是一个分段函数，x=0是这个分段函数的分段点是这个分段函数的分段点. 对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右对一个分段函数来说，其分段点处的极限要分左、右极限讨论极限讨论.)(lim 0 xfx故故0lim0 xx)(lim 0 xfx 故故xxsinlim0 00sin例例5极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程11yx1yx1 判断函数判断函数当当x0时的极限是否存在

15、时的极限是否存在 0 10 00 1)(xxxxxxf练习练习3 3解答解答: : 因为因为1) 1(lim)(lim00 xxfxx 1) 1(lim)(lim00 xxfxx )(lim0 xfx)(lim0 xfx 所以所以, ,极限不存在极限不存在极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程)(lim 0 xfx 而而0lim)(lim00 xxfxx左、右极限存在左、右极限存在, , 但不相等但不相等, ,.)(lim 0不不存存在在故故xfxxxcoslim0 10cos解：解：f (x) = x ,当当x 0时时,cos x, 当当x0时时,).(lim0 xfx

16、讨论讨论练习练习4 4xyx0+x0yy极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程练习练习5 5极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程xlimf(x)A xlimf(x)A 和xlimf(x)A 类似地可定义类似地可定义 设设 f (x)当当|x|大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义 如果对于如果对于任意给定的正数任意给定的正数e e 存在着正数存在着正数 X 使得当使得当|x|X 时时 不等式不等式： | f (x) -A| 0 ”.但是但是, 数列极限中数列极限中n是离散变化的是离散变化的, 而这而这里里x是连续变化的是连续变化的.结论结论 xl

17、imf(x)Axlimf(x)A 且xlimf(x)A 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程极限极限 的定义的几何意义的定义的几何意义xlimf(x)A 当当x时时, 函数函数 f (x) 以以A为极限的几何意义为极限的几何意义: 对于任意给定的正数对于任意给定的正数e e 存在着正数存在着正数X 当当x X 时时, f (x)落在落在(A- e e，A+ e e) )这条带子里这条带子里AeA+eXXyf(x) A 极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程例例5. 01limxx证明证明证证：xx101 , 0 e e ,1eX取取时恒有时恒有则当

18、则当Xx ,01e e x. 01limxx故故的图形的水平渐近线.的图形的水平渐近线.函数函数 是是则直线则直线, ,如果如果 f(x)ycycf(x)x lim极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lime ee e AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻( (见下表见下表) )极限与连续工科数学教学中心工科数学教学中心【微积分】电子教程过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n x x xNNn Nx