极限与连续习题课件

1、第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课（一）函数的定义（一）函数的定义（二）极限的概念（二）极限的概念（三）连续的概念（三）连续的概念第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课函函 数数的定义的定义反函数反函数反函数与直接反函数与直接函数之间关系函数之间关系基本初等函数基本初等函数复合函数复合函数初等函数初等函数函函 数数的性质的性质奇偶性奇偶性单调性单调性有界性有界性周期性周期性分段函数分段函数第一章第一章

2、 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课的的函函数数，记记作作是是则则称称确确定定的的数数值值和和它它对对应应，按按照照一一定定法法则则总总有有，变变量量如如果果对对于于每每个个数数是是一一个个给给定定的的数数集集是是两两个个变变量量，和和设设)(xfyxyyDxDyx叫做因变量叫做因变量叫做自变量，叫做自变量，叫做这个函数的定义域叫做这个函数的定义域数集数集yxD.),(称称为为函函数数的的值值域域函函数数值值全全体体组组成成的的数数集集DxxfyyW 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研

3、室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课函数的分类函数的分类函数函数初等函数初等函数有理函数有理函数无理函数无理函数有理整函数有理整函数( (多项式函数多项式函数) )有理分函数有理分函数( (分式函数分式函数) )非初等函非初等函数数分段函数分段函数幂指函数幂指函数第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课(1) 单值性与多值性单值性与多值性:若若对对于于每每一一个个Dx ,仅仅有有一一个个值值)(xfy 与与之之对对应应,则则称称)(xf为为单单值值函函数数,否否

4、则则就就是是多多值值函函数数.xyoxey xyo1)1(22 yx第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课(2) 函数的奇偶性函数的奇偶性:偶函数偶函数奇函数奇函数有有对对于于关关于于原原点点对对称称设设,DxD ;)()()(为为偶偶函函数数称称xfxfxf ;)()()(为为奇奇函函数数称称xfxfxf yxoxyoxy 3xy 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课(3) 函数的单调性函数的单调性:

5、 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为D，区间，区间I D，如果对于区间，如果对于区间I上上任意两点任意两点 及及 ，当，当 时，恒有：时，恒有： (1) ,则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调增加的单调增加的；或或(2) , 则称函数则称函数 在区间在区间I上是上是单调递减的单调递减的；单调增加和单调减少的函数统称为单调增加和单调减少的函数统称为单调函数单调函数。1x2x21xx )()()()(2121xfxfxfxf)(xf)(xfxyo2xy ;0时为减函数时为减函数当当 x;0时为增函数时为增函数当当 x第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业

6、技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课.)(,)(, 0,否否则则称称无无界界上上有有界界在在则则称称函函数数成成立立有有若若XxfMxfXxMDX (4) 函数的有界性函数的有界性:;), 0()0 ,(上上无无界界及及在在 .), 11,(上上有有界界及及在在 xyoxy1 11 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课 设函数设函数 f(x) 的定义域为的定义域为D，如果存在一个不为零的，如果存在一个不为零的数数l,使得对于任一使得对于任一 ,有有 .且且 f(x+l

7、)=f(x)恒成立恒成立,则称则称f(x)为为周期函数周期函数,l 称为称为 f(x) 的的周期周期.（通（通常说周期函数的周期是指其最小正常说周期函数的周期是指其最小正周期周期）.Dx Dlx )(5) 函数的周期性函数的周期性:oyx11xxy 1 T第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课.)()(1称称为为反反函函数数确确定定的的由由xfyxfy xey xyln第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题

8、课)(xfy xyo),(xxf)(,(xfx)(1xfy 则则函函数数是是一一一一对对应应设设函函数数,)(xf fDxxxffxff )()(111 .)()(21xyxfyxfy 图图象象对对称称于于直直线线的的与与第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课1）幂函数幂函数)( 是常数是常数 xy2）指数函数）指数函数)1, 0( aaayx3）对数函数）对数函数)1, 0(log aaxya4）三角函数）三角函数;cosxy ;sin xy 5）反三角函数）反三角函数;arccos xy ;ar

9、csin xy ;cot xy ;tan xy ;arctan xy ycotarcx;sec xy .csc xy 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课设函数设函数)(ufy 的定义域的定义域fD,而函数而函数)(xu 的 值 域 为的 值 域 为 Z, 若若 ZDf, 则 称 函 数则 称 函 数)(xfy 为为x的的复合函数复合函数. 由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示一

10、个式子表示的函的函数数,称为称为初等函数初等函数.第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课左右极限左右极限极限四则极限四则运算法则运算法则求极限的常用方法求极限的常用方法无穷小无穷小的性质的性质极限存在的极限存在的充要条件充要条件无穷小的比较无穷小的比较数列极限数列极限函函 数数 极极 限限axnn limAxfxx )(lim0Axfx )(lim等价无穷小等价无穷小及其性质及其性质两个重两个重要极限要极限无穷小无穷小0)(lim xf两者的两者的关系关系无穷大无穷大 )(limxf第一章第一章 极

11、限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课左极限和右极限统称为单侧极限

12、左极限和右极限统称为单侧极限第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课无穷小无穷小: 极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.).0)(lim(0)(lim0 xfxfxxx或或记记作作绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.无穷大无穷大:).)(lim()(lim0 xfxfxxx或或记记作作 在同一过程中在同一过程中, ,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷小; ;恒不为零恒不为零的无穷小的倒数为无穷大的无穷小的倒数为无穷大. .无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的

13、关系第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小有限个无穷小的代数和仍是无穷小的代数和仍是无穷小. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.无穷小的运算性质无穷小的运算性质 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小的乘积仍是无穷小.第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课);

14、(, 0lim)1( o记记作作高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比就就说说如如果果: :. 0, 且且穷小穷小是同一过程中的两个无是同一过程中的两个无设设;),0(lim)2(是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与就就说说如如果果 CC;, 1lim 记记作作是是等等价价的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果特特殊殊地地第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课. 0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(,)(lim,)(lim BBAxgxfBAxgxfBAxgxfBxgAxf其中其

15、中则则设设)(lim)(lim1)()(00 xfcxfcxxxxxx推论)()(lim)(lim2)()(00Znxfxfnxxxnxxx推论第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limexxx 10)1(lim; 1sinlim 某某过过程程.)1(lim1e 某某过过程程.limlim,lim, 则则存存在在且且设设000第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极

16、限与连续习题课a.多项式与分式函数代入法求极限多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限；利用左右极限求分段函数极限；f.利用两个重要极限求极限；利用两个重要极限求极限；第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课左右连续左右连续在区间在区间a,ba,b上连续上连续连续函数连续函数的的 性性 质质初等函数初等函数的连续性的连续性间断点定义间断点

17、定义连连 续续 定定 义义0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 连续的连续的充要条件充要条件连续函数的连续函数的运算性质运算性质非初等函数非初等函数的连续性的连续性 振荡间断点振荡间断点 无穷间断点无穷间断点 跳跃间断点跳跃间断点 可去间断点可去间断点第一类第一类 第二类第二类第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业

18、技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课定理定理.)(),()0(,),)(0000处处右右连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfbxxf ;)(),()0(,()(0000处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数xxfxfxfxaxf .既左连续又右连续既左连续又右连续)()(00处处在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课:)(0条

19、条件件处处连连续续必必须须满满足足的的三三个个在在点点函函数数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或或间间断断点点的的不不连连续续点点为为并并称称点点或或间间断断处处不不连连续续在在点点函函数数则则称称要要有有一一个个不不满满足足如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只xfxxxf第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课(1) 跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的的

20、跳跳跃跃间间断断点点为为函函数数则则称称点点但但存存在在右右极极限限都都处处左左在在点点如如果果xfxxfxfxxf (2)可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数义义则则称称点点处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课跳跃间断点与可去间断点统称为跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点第一类间断点.特点特点: :.,0右极限都存在右极限都存在

21、处的左处的左函数在点函数在点x可去型可去型第一类间断点第一类间断点跳跃型跳跃型0yx0 x0yx0 x第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课无穷型无穷型第二类间断点第二类间断点0yx0 x第二类间断点第二类间断点.)(,)(00类间断点类间断点的第二的第二为函数为函数则称点则称点至少有一个不存在至少有一个不存在右极限右极限处的左处的左在点在点如果如果xfxxxfxy1sin 振荡型振荡型第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习

22、题课极限与连续习题课.,)(,),(上上连连续续在在闭闭区区间间函函数数则则称称处处左左连连续续在在右右端端点点处处右右连连续续并并且且在在左左端端点点内内连连续续如如果果函函数数在在开开区区间间baxfbxaxba 定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处处也也连连续续在在点点则则处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课定理定理1 1).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfau

23、faxxxxxxx 则则有有连连续续在在点点函函数数若若.)(,)(,)(,)(00000也也连连续续在在点点则则复复合合函函数数连连续续在在点点而而函函数数且且连连续续在在点点设设函函数数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理2 2定理定理3 3 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课定理定理1 1( (最大值和最小值定理最大值和最小值定理)

24、) 在闭区间在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值上连续的函数一定有最大值和最小值. .第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课 例例11.)16(log2)1(的定义域的定义域求函数求函数xyx 解解, 0162 x, 01 x, 11 x 214xxx, 4221 xx及及).4 , 2()2 , 1(即即第一章第一章 极限与连续极限与连续四川职业技术学院数学教研室四川职业技术学院数学教研室 第一章第一章 极限与连续习题课极限与连续习题课 例例22).1 ()1)(1)(1 (lim,1242nxxxxxn求时当解解将分子、分母同乘以因子将分子、分母同乘以因子(1-x), 则则xxxxxxnn 1)1()1)(1)(1)(1(lim242原原式式xxxxxnn 1)1()1)(1)(1(lim2422xxxnnn 1)1)(1(lim22xxnn 11lim12.11x .)0lim,1(12 nxx