2020年初升高数学衔接辅导之一元二次方程(含答案)

1、03 一元二次方程高中必备知识点1:根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (aR),用配方法可以将其变形为(x)2b2 4ac4a2因为a0,所以，4a2>0.于是(1)当b24ac>0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根b . b2 4acX1, 2=2a(2)当b24ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根bX1=X2=-2a(3)当b2 4ac<0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边(x -b)2一定大于或2a等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a%)的根的情况可

2、以由 b2 4ac来判定，我 们把b24ac叫做一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a4)的根的判别式，通常用符号 区”来表 示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0),有(1)当A> 0时，方程有两个不相等的实数根b . b2 4acx1 2=;(2)当A= 0时，方程有两个相等的实数根bx1= x2=- ；2a(3)当 上0时，方程没有实数根.典型考题【典型例题】关于卜的一元二次方程-(m-l)x+ 2rn-l = 0,其根的判别式为求足的值.【变式训练】已知关于卜的一元二次方程+ 2=01）若方程的一个根为3,求m的值及另一个根；2）若该方程根的判别式的值等

3、于 1,求m的值.【能力提升】方程（x-5） （2x-1） =3的根的判别式b2-4ac=高中必备知识点2:根与系数的关系（韦达定理）二次方程 ax2+bx+c=0 （a为）有两个实数根Xibb2 4ac,X22abb2 4ac2a则有XiX2b . b2 4ac2ab b2 4ac2a2b2aX1X2b .b2 4ac b2a.b2 4ac b22a(b24a24ac)4ac cT2 一4a a所以,二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax2+bx+ c= 0 （a与）的两根分别是 xi, X2,那么xi+x2=b一，X1 aX2=.这关系a也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为 1

4、的一元二次方程x2+px+q = 0,若Xi, X2是其两根，由韦达定理可知Xi+X2= p, XiX2=q,即 p=(Xi + X2), q = XiX2,所以，方程x2+px+q=0可化为X2 (Xi + X2)x+ Xi X2 = 0,由于Xi, X2是一元二次方程 x2 + px+ q=0 的两根，所以，Xi, X2 也是一元二次方程 X2(Xi+X2)X+Xi X2= 0.典型考题【典型例题】如果关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (aW0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为倍根方程(1)请问一元二次方程 x2-6x+8 = 0是倍根方程吗？如果是，请

5、说明理由.(2)若一元二次方程 x2+bx+c= 0是倍根方程，且方程有一个根为2,求b、c的值.【变式训练】求方程 x2- 2x- 2=0的根*1, x2 (xi>x2),并求 xi2+2x2 的值.【能力提升】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2= 0有两根a, 3(1)求m的取值范围；(2)若行/a伊0 .求m的值.专题验收测试题1.已知xi, x2是关于x的方程x2- mx- 3=0的两个根，下面结论一定正确的是()A. x1+x2>0C. x1 ?C2>0D. xk 0, x2< 0152.已知关于x的一元二次方程 2x2+mx-3=0的一个根

6、是-1,则另一个根是(3A. 1B, - 1C,-23 .用配方法解一元二次方程x2+4x-5=0,此方程可变形为D. (x- 2) 2 = 1A. (x+2) 2=9B. (x-2) 2=9C. (x+2) 2= 14 .有x支球队参加篮球比赛，共比赛了 90场，每两队之间都比赛 2场，则下列方程中符合题意的是()A. 1x (x 1) = 90 B, - x (x+1) = 90 C. x (x 1) = 90 D. x (x+1) = 90225.关于x的一元二次方程x2-2J3 x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A . mW3B. m> 3C, m<3

7、D, m>36,关于x的方程(m-2) x2- 13 mx+:=0有实数根,则 m的取值范围()4A mw5 且 mw2 B. m> 227.关于x的一元二次方程 x2- (m+2)A.有两个不相等的实数根C.没有实数根C. m<D. mW3且 mw22x+m = 0根的情况是()B.有两个相等的实数根D.无法确定8 .下列一元二次方程中，没有实数根的是()D. x2-8x+16=0A. 2x2+3 = 0B, x2=2x9 .欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画 RtABC,使/ ACB = 90°, BC = , AC=b,再在斜边 AB

8、上截取BD =.则该方程的一个正根是(22A. AC的长B. AD的长C. BC的长D. CD的长10 .若关于x的一元二次方程 ax2+2x- 5=0的两根中有且仅有一根在 0和1之间(不含0和1),则a的取值范围是()A. a<3 B. a>3C. a< - 3 D. a>- 311 . 一元二次方程 x (x+5) = x+5的解为.12 . 一元二次方程 x2 - 3x- 2=0的两根为X1, x2,则x12+3x2+x1x2 2的值为.13 .若关于x的一元二次方程x2-3x+2+m=0无实数根，则 m的取值范围是 .y= ( ) x-Xx214 .已知x1，

9、x2是一元二次方程 x2+3x-6=0的两个实数根，那么直线(x12+x22)不经过第 象限.15 .已知x=-1是关于x的一元二次方程 x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根，则m=.16 .已知“、3是一元二次方程 x2-2019x+1 = 0的两实根，则代数式(厂2019)(3- 2019)17 .已知关于x的一元二次方程 x2+kx- k-2=0.(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根之和等于 3,求k的值以及方程的两个根.18 .四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000元，第

10、三天收到捐款 14400元(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？19 .解方程或不等式：(1)解方程：2/-4” 6 = 0；If2x + 1 < x 4- 5(2)解不等式4，>玄4 2 .20 .关于x的一元二次方程 x2-(2kT)x+k2+1 =0有两个不相等的实数根 x1, X2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程的两实数根 x1, x2满足|x1| + |x2|= x1®2,求k的值.21 .关于x的一元二次方程 x2+ (2k+1) x+k2+1=0有两个不等实根 x

11、1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若方程两实根x1, x2满足x1+x2= x1x2,求k的值.22 .已知关于x的一元二次方程上' -a =。有两个不相等的实数根.1)求k的取值范围；2)若k为负整数,求此时方程的根.专题03 一元二次方程高中必备知识点1:根的判别式我们知道，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (aR),用配方法可以将其变形为(x)2b2 4ac4a2因为a0,所以，4a2>0.于是(1)当b24ac>0时，方程的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根bb2 4acX1 2=;(2)当b24ac=0时，方程的右端为零，因此，原方程有两

12、个等的实数根X1= X2=-；2a(3)当b2 4ac<0时，方程的右端是一个负数，而方程的左边 (x -b)2一定大于或2a等于零，因此，原方程没有实数根.由此可知，一元二次方程 ax2+bx+ c=0 (a%)的根的情况可以由 b2 4ac来判定，我 们把b24ac叫做一元二次方程 ax2+bx+ c= 0 (a4)的根的判别式，通常用符号 区”来表 示.综上所述，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0),有(1)当A> 0时，方程有两个不相等的实数根b b2 4acxi 2=;(2)当A= 0时，方程有两个相等的实数根bxi= x2=- ；2a(3)当 上0时，方程没有

13、实数根.典型考题【典型例题】关于卜的一元二次方程|rZ-(m-l)Jr+2m-l = 0,其根的判别式为16,求年的值.【解析】由题意得，整理得，11 = 0?解得：吗=1吗【变式训练】已知关于卜的一元二次方程 mx2- (m + 2 = 01)若方程的一个根为3,求m的值及另一个根；2)若该方程根的判别式的值等于 1,求m的值.Z m = 【答案】(1);即原方程的另一根是=1, m =3|,【解析】(1)设方程的另一根是 X2. 一元二次方程 mx2- (m+2) x+2=0的一个根为3, .x=3是原方程的解， .9m- (m+2) X3+2=0,解得m=匚；J闺 又由韦达定理，得 3次

14、2旦 -X2=1,即原方程的另一根是 1；(2) = (m+2) 2- 4XmX2=1m=1, m=3.【能力提升】方程(x-5) (2x-1) =3的根的判别式b2-4ac=【答案】105【解析】先把方程(x-5) (2x-1) =3化为一元二次方程的一般形式，再求出根的判别式即可.方程(x- 5) (2x- 1) =3化为一元二次方程白一般形式为：2x2-11x+2=0 ,故加2-4ac= (-11) 2-4X2X2=105.高中必备知识点2:根与系数的关系(韦达定理)7L二次方程 ax2+bx+c=0 (a为)有两个实数根Xibb2 4aco, x22ab b2 4ac2a则有xix2b

15、 . b24ac2ab . b24ac2a2b2aX1X2b .b2 4ac b 2a,b2 4ac b22a(b24a24ac)4ac c4a2所以,二次方程的根与系数之间存在下列关系:如果ax2+bx+ c= 0 (a与)的两根分别是 x1，X2,那么xi+x2=xix2= - -这一关系 a也被称为韦达定理.特别地，对于二次项系数为 1的二次方程 x2+px+q = 0,若 xix2是其两根，由韦达定理可知xi x2,xi+ x2= p, xi x2= q 即 P=一 (x1 + x2), q =所以，方程 x2+px+q=0 可化为 x2 (xi + x2)x+ xi x2 = 0,由

16、于 xi,x2是二次方程x2 +px+ q=0的两根，所以，xi, x2也是二次方程x2(xi+x2)x+xi x2=0.典型考题【典型例题】如果关于x的一元二次方程 ax，bx+c=0 (awp)有两个实数根， 且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为 培根方程(i)请问一元二次方程 x2-6x+8 = 0是倍根方程吗？如果是，请说明理由.(2)若一元二次方程 x2+bx+c= 0是倍根方程，且方程有一个根为2,求b、c的值.【答案】(i)该方程是倍根方程，理由见解析；(2)当方程根为i, 2时，b= - 3, c=2;当方程根为 2, 4时b=-6, c= 8.【解析】(i)该方程是

17、倍根方程，理由如下:x2-6x+8 = 0,解得 xi=2, x2=4,X2=2xi, 一元二次方程 x2-6x+8=0是倍根方程；(2) 方程x2+bx+c=0是倍根方程，且方程有一个根为2,方程的另一个根是 1或4,当方程根为1, 2时，-b=1+2,解得b= -3, c=1X2=2；当方程根为2, 4时-b=2+4,解得b=-6, c= 2>4= 8.【变式训练】求方程 x2- 2x- 2=0的根*1, x2 (x1>x2),并求 x12+2x2 的值. 【答案】6【解析】方程 x2 2x 2 = 0 的根 x1，x2,2x12x1 2 0, x1 x2 2.2,x1 2x2

18、 2x1 2 2x2 2x22 2 2 2 6.【能力提升】已知关于x的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2= 0有两根a, 3(1)求m的取值范围；(2)若行/a伊0 .求m的值. o【答案】(1)m9 ；; (2)m的值为3.【解析】由题意知，(2m+3)2-4X1 >2>o,解得：m>-(2)由根与系数的关系得：a+片-(2m+3) , am2,'.1 a+ + a 族 0,- (2m+3)+m2= 0,解得：mi= - 1, mi = 3,由(1)知 m>- 1,所以mi= - 1应舍去，m的值为3.专题验收测试题1.已知xi, X2是关于x的方程x

19、2-mx- 3=0的两个根，下面结论一定正确的是(A. X1 + X2> 0B. X1 次2C. X1 ?<2>0D. X1V0, X2< 0【答案】B【解析】解： = ( m) 24X1 x( 3) = m2+4>0,方程X2- mX- 3=0有两个不相等的实数根，X1 2.故选：B.2.已知关于X的一元二次方程 2X2+mX-3=0的一个根是-1,则另一个根是()A. 1B. - 1C. 3D.-22【答案】C【解析】设方程的另一根为 X1 ,根据根与系数的关系可得：-1a1=-3，23解得X1= 3.2故选：C.3.用配方法解一元二次方程x2+4x- 5=0

20、,此方程可变形为()A. (x+2) 2=9B. (x-2) 2=9C. (x+2) 2= 1D. (x- 2) 2 = 1解：x2+4x- 5 = 0, x2+4x= 5,x2+4x+22 = 5+22,(x+2) 2=9, 故选：A.4.有x支球队参加篮球比赛，共比赛了 90场，每两队之间都比赛 2场，则下列方程中符合题意的是（）A. 1x （x 1） = 90 B. -x （x+1） = 90 C. x （x 1） = 90 D. x （x+1） = 9022【答案】C【解析】解：由题意可得，x （x- 1） =90,故选：C.5.关于x的一元二次方程x2-2J3 x+m=0有两个不相等

21、的实数根， 则实数m的取值范围是（）A . mW3B. m> 3C. m<3D. m>3【答案】C【解析】 解：关于x的一元二次方程 x2-2由x+m = 0有两个不相等的实数根, ，= b2-4ac= (- 21y3)2 4X1*m> 0,解得m<3.6.关于x的方程（m-2） x2- v'3mx+2=0有实数根，则4m的取值范围（）D. mW3且 m W2故选：C.A. mW5且 mw22当m - 2= 0,即m= 2时，关于x的方程（m- 2） x2 - -而x+ = 0有一个实数根,4当m 2W0时,关于x的方程（m - 2） x2 - 43 -京

22、x+ = 0有实数根,41. .= 3m 4 (m 2) ?>04，解得：m<5,2.m的取值范围是m<5,2故选：C.7,关于x的一元二次方程 x2- (m+2) x+m = 0根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】A【解析】由关于x的一元二次方程 x2- (m+2) x+m=0,得至U a=1, b= - (m+2), c=m, = (m+2) 2-4m= m2+4m+4-4m= m2+4>0,则方程有两个不相等的实数根，故选A .8 .下列一元二次方程中，没有实数根的是()A . 2x2+3 = 0B. x2

23、= 2xC . x2 +4x -1 = 0 D , x2- 8x+16= 0【答案】A【解析】A、= 0- 24= - 24V 0,即方程没有实数根，符合题意；B、= 4- 0=4>0,方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、= 16+4 = 20>0,方程有两个不相等的实数根，不符合题意;D、= 64- 64=0,方程有两个相等的实数根，不符合题意， 故选：A.9 .欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画 RtABC,使/ ACB= 90°, BC=a, AC=b,再在斜边 AB上截取BD=-.则该方程的一个正根是(22A. AC的长B. AD的

24、长C. BC的长D. CD的长【答案】B【解析】欧几里得的原本记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是： 画RtAABC,使/ ACB=90。，BC=a, AC=b,再在斜边 AB上截取BD=-,22设AD = x,根据勾股定理得：(x+a) 2 = b2+ (a) 2,22整理得：x2+ax = b2,则该方程的一个正根是 AD的长，故选：B.10 .若关于x的一元二次方程 ax2+2x- 5=0的两根中有且仅有一根在 0和1之间(不含0和1),则a的取值范围是()A . av3B. a>3 C. av - 3D. a>- 3【答案】B【解析】试题分析：当x=0时，y= 5;当

25、x=1时，y=a- 3,函数与x轴在0和1之间有一个交点，则 a3>0,解得：a>3.考点：一元二次方程与函数11 . 一元二次方程 x (x+5) = x+5的解为.【答案】x1 = - 5 , x2= 1【解析】解：方程整理得：x (x+5) - (x+5) =0,分解因式得：(x+5) (x- 1) = 0,解得：x1= 5, x2=1,故答案为：x1= 5, x2= 112 . 一元二次方程x23x 2=0的两根为x1，x2,则x12+3x2+x1x2 2的值为.【答案】7【解析】解：:一元二次方程 x2 - 3x-2= 0的两根为x1，x2,.x12= 3x1+2 , x

26、1x2= 2, xi+x2=3, 2 .x1 +3x2+x1x22= 3x1+2= 3 (x1+x2)+x1x2 = 7,故答案为：7.13 .若关于x的一元二次方程 x2-3x+2+m=0无实数根，则 m的取值范围是 .1【答案】m 14【解析】解：根据题意得= (- 3) 2-4 (2+m) < 0,解得m> 1 .4故答案为m>l.421114 .已知X1, X2是一元二次方程 x2+3x-6=0的两个实数根，那么直线 y= ( 一 一)x-X1 x2(x12+x22)不经过第 象限.【答案】二【解析】."1、x2是一元二次方程 x2+3x-6=0的两个实数根

27、，.,x1 + x2= - 3, x1?x2= - 6,.工工 1x1 x22 'x12+x22= ( x+x2)2 - 2x1x2= 32 2X ( - 6) =21,/ 1122.1. .y-( )x (x1 x2) -x 21 , x1 x22.该函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故答案为：二.15.已知x=-1是关于x的一元二次方程 x2+(m+ 1)x-m2=0的一个实数根，则m=【答案】0或1【解析】22 一由题息可知：将x1代入万程x m 1 x m 0可得22(1) (m 1) ( 1) m 0 整理可得：m2 m 0m(m 1)。，即 m 0或m1故答案为：0

28、或116.已知“、3是一元二次方程 x2-2019x+1 = 0的两实根，则代数式(厂2019)(3- 2019)【答案】1【解析】.a、3是一元二次方程 x2-2019x+1 = 0的两实根，二.a2 2019(x= - 1,3一2019 p= - 1, a 年 1,. ( a- 2019) ( 3- 2019) = a -2019 (廿 +20192 = 1故答案为：1.17 .已知关于x的一元二次方程 x2+kx- k-2=0.(1)求证：无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程的两根之和等于 3,求k的值以及方程的两个根.【答案】(1)见解析；(2) x：叶，x2=&q

29、uot;4【解析】(1)证明：因为= k2 - 4 ( - k - 2)= k2+4k+8= ( k+2) 2+4 >0,所以方程有两个不相等 的实数根.(2)由题意，得-k= 3,所以k= - 3.当k= - 3时，方程为 x2-3x+1 = 0.J + <53-*所以x1=万' x2=.根的判别式，解题的关键：(1)正确掌握判别式公式，(2)正确掌握根与系数的关系公式.18 .四川雅安地震牵动着全国人民的心，扬州市教育局开展了 一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款 10000元，第三天收到捐款 14400元 (1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？【答案】(1)捐款增长率为10%; (2)第四天该单位能收到13310元捐款.【解析】设第二天、第三天的增长率为x,由题意，得10000(1 + x)2=12100,解得：x = 0.1, x2= 2.1(舍去).答：捐款增长率为10%;(2)第四天收到的捐款为 12100 >(1+10%) = 13310(元).答：第四天该单位能收到13310元捐款.19 .解方程或不等式：(1)解方程：2' - 0 = 0 -+ 1 < x 4- 5(2)解不等式4，&