1991年考研数二真题及解析

1、1991年考研数二真题及解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)INGBIAN1991年理工数学二试题一.填空(毎小3分分L5分)(1) 设，=5(1 + 3"),则 dj = (2) 曲线y = 的上凸区间理.厂吳H = (4) 质点以速度：sin(：2)米/秒作直线运动，则从时刻h =/f秒到S =心秒内质点所经过的路程尊于米.(5) lim 1 _ 乍=.x + ex二、选择(毎小H 3分，満分15分)(1)若曲线y = x2 + az + 6和2丿=一1 + xy3在点(1, 一 1)处相切，其中a、b是煞数，则(A)a = 0= 2(C)a =-3,6

2、 = 1(2)设函数/(x) = £12-x(B) a = lfb = - 3(D)a = - 1=-1°<X<1,记 F(工)=/(z)dj,0<z<2,则1 < x<2JoOCxCl1< x<2£(A) F(x) = l+2x-1320 M .z M 11 < X <20< <11 < z <20<(D)F(x) = S2x 一号x 11<x<2.(3) 设函数 2)在C 8,十oo)内有定义,，m)M0是函U 的极大点，则(A) 列必是2)的驻点(B) 一工

3、°必是-只一工)的极小点(C) -啦必是-于(工)的极小点(D) 对一切乞都有與刃< /(x8)_ 2(4) 曲线，=亠二1 一厂A)没有浙近线；(B) 仅有水平渐近錢>(C) 仅有铅直渐近线“-(D) 既有水平渐蚯线乂有相直渐近线 【:(5) 如图，工轴土有一我密度为常数"长度为/的细杆，有一质量为m的质点到杆右端的距离为S巳知引力系数为八则质点和细杆之间引力的大小为三(毎小 5分牆分25分)(5)求微分方程巧/ + y二M満足y(l) = 1的待解.四、(本存分9分)利用导数证明：当H >1时，有不竽式ln(l + 工)、x lozA 1 + 広五、(

4、本邇满分9分)求微分方程y* += x -t- cosh的通解.六、 (本勵分9分).，*曲线y = (x- l)(x - 2)和工轴88成一平面图形，求此平面图形笛y轴诞转一周所成的徒转体的体积.-七、(本疳勵分9分)如图忍和D分别是曲线y =才和y = e也上的点,AB和DC均垂宜匚轴，且I ABI：IDCI=2：'lrl AB l< L,求点BAC的横坐标,使梯形ASCD的面积最大.八、(本鼻豪分9分)设函数力在(一oo, + oo)内满足 /(x) = /(x-7t)+sinx，且 f(x)=x*x60,K),计算/*<x)dx.答秦解析丄古 1ti3 应填_产口也

5、注释旳=海=静"本题主要考查复合函数求导法.1 + 3=应填环*R上-2乳【-0+4宀2，(2#-1)令何盼土¥沮当曲(¥，¥)时/<0,则曲线y=e"上凸.注释 本題主要考查幽数的凸性的判定,注释1 2-*5-(Lc =inxc =i xJix x本題主要考查广头积分计算.+«>+-丄 1 XX=1(4)应填寺.质点所经过的路程为严ITrsin(?)dr =飞VI'注释 本相要和定积分桶理上励肌5=sin*)彤=-ycost2Wa 1启米)摩填7丄倒由扌1呼二+切则lim =血-"?丄=-1 e*z+g

6、+e；円+加；+1 叔U対蛇0M辭iUiU总和述im你样时limt+8,|im上丸 E严应选（D）.*州如如+册严讪熾（1广1）册脱鮒-1）册删擀 相等且两曲线同时过点（1,一1）.y 2xa. y =2+a工】2< = y+3如几 y =1xl则2 + a = l,a=1又一l = l+a+6=l 1 十6=6, 6= 1所以应选（D）.注释 本题主要考查导數的几何意义和两曲线相切的概念.应选（B）,懈 当 0时，F（j:） =号当 1 V 工 V 2 时，F（h= Jodz + J】（2 t）dt =+ 2h 专由此可见应选（B）.注释本题主要考查分段函数的变上限定积分.应选（B）.

7、II勵加）心卿績町不施朋麻畀训蹶 jMKA）砒 X-/W=ZJ 讷 JU 時 f 山帀不 «-/（x）wi,«（c）ra.（D）iM.iiifz t / （ii血），而只襯证心飄射和tc）f（讥剜翩（B）AI2直蹴肝加）葩軼大磴舶恤当矿总<期+冊血切C）屈确不等式两边同乘一 1得，即当一时，一于（工0） 只工）.也就是，当一XoX< x0 +d时，一/ （"<>>=/（-H 即一/（-X）在坯取极小值.注释本題主要考交极值的定义和复合乖数应选（D）.tS的血%勻腮峨林歸碱尸hX讣览r曲縣峨褪誌谶尸0,所以应选（D）.注释 本题主要考查

8、渐近线的求法.应选（A）.kmu(a x)zcLru bmu -i (a x)dr注释 本题主要考查利用定积分计算引力.三、dy= $ =/cos/+sin/ cLr Jt costtsintd)(2co$t-【sin/) (cost-对皿)一(Tsimrcosr)( fco§+血)_2+£世(cost-fsin/)3(cos/sini)3J：頁芒石云丄= 2，n注释本题主要考查 定积分的挨元法.注释注释=丄T本题主要考查用洛必达法则和等价无穷小代换求极限.xsin2 xdx a -跻滋dz 寺x2 寺44zdsin2zx2 jrsin2工一吉cos2h + C44o本题主

9、要老查分部积分法.（5）分析本题所给方程是一个一阶线性微分方程解 将原方程化为标准形式 y +=由一阶线性方程通解公式可知y= eTM ex 知山+ c= gCr De1 + C 由 j（l） = 1,得 C = 1,1 1故所求特解为歹二宁己+土注释 本题主要考查一阶线牲方程求解方法.r证1要证气严缶,只需证明（1+况（1+刃品为此令他）=（石+1）山（1+丁）-xlnx.f (x) = ln(14-x) lnx>0 (刁>1)又/(l) = 21n2>0则当 1 时 /(x)>0,即(L+刃n( 1 +h)>xlnx.证2要QE"n"芝攵&

10、gt;T壬;p，只需证(】+龙5(.+丄)>工|!127,即只要证xlaz在(1,+8)上单调增，为此令/(x) = xlnx由于/(x) = l+lnx>0 (无>1刘/Q)在(l,+oo)上单调增.A43韓上麵1+讹1+0>血劉關帥干1皿輯师111(1+述>1忸JU+Q iiit(l+i)ln(l+i)>ilni.S8柄进球征强It碍制秋.分析 澀-忙戕M緘财澤妙时辯葩辉Ab*钊"+尸加 的特解之和.解 易求得齐次方程通解为y = Cl COSH + C? sinx设非齐次方程+ )=工的特解为 Ji =Ar + B代入方程得A= 1, B =

11、 0,所以y. -x设非齐次方程y + y = COSX的特解为y = Crcos+ Drsim?代入方程解C« 0, D= *，所以1 yz.=故原方程通解为y = Ct cosx + C? siru： + x + y sinx注释本题主要考查二阶线性常系数非齐次方程的解法.六、解1对y积分，由原曲线方程y =（工一1）（工一2）可得羽=# + * #l + 4y, 血"1 + 4,所求旋转体体积为解2注释I K(X1 云)dy =对 z 积分,dV 2nX ydx (r l)(j： 2) | dx本题主要考查筱松体的体积.I 3k /1 + 4ydy = -y-V =x

12、(l x)(x 2)dx =今解 设B和C的横坐标分别为Q和龙，则臼=2e"得© =ln2 2zBC=x工 i=3 工一ln2 （x>0）梯形 ABCD 的面积 S=-|（3x-ln2）e-2r 4今（3 6工+2山2）严令 < =0,得X=y + yln2殆i<+ln23tS'>0；当工>+1侧亦0,剜S在"+*ln2朗大僵胆点唯-, ft x=|+yln2朋大舗，当尸卅1站申2-1时麻ABCD的砒丸注释 本题主要考交最大最小值应用题求解方法.八、3w/(x)dx =/(j k) + sinzjdz = T /(j K)drrznn=Jo/(Odf + f(t x) + simdt = «/(r-x)dr学一 2 + J：/(Qd“解2当工 口 2兀)时小一 n 0,兀)由/在0, Ji)上的定义知 y(x%) x故/(x) = /(z k) +sior =工一Jt + sinx, x 口