随机过程-均方导数

1、均方导数均方导数均方导数123定义定理推论4性质1、均方导数的定义、均方导数的定义 定义定义：设 为二阶矩过程，若存在另外一个随机过程满足( ),X t tT( )X t 20()( )lim( )0hX thX tEX th则称X(t)在t点均方可微，记作0( )()( )(t)l.i.mhdX tX thX tXdth并称 为X（t）在t t点的均方导数点的均方导数。若X（t）在T上每一点t均方可微，则称它在T T上均方可微上均方可微。( )X t 1、均方导数的定义、均方导数的定义 ( ),X t tT类似地，若随机过程 在t点均方可微，则称X（t）在t点二次均方可微。 的均方导数记为(

2、 )X t ( )Xt或22d Xdt并称它为二阶矩X(t)的二阶均方导数。同理可定义更高阶均方导数。2、 定理定理广义二阶导数广义二阶导数定义：定义：设函数 在点 的某一邻域内有定义 , 若极限 存在,则称此极限为函数 在点 处的广义二阶导数 , 记为 ，并称函数 在点 处广义二阶可导。00000000( , )( , )( ,)( ,)lim()()xxyyf x yf x yf x yf x yxxyy( , )f x y( , )f x y00(,)fxy( , )f x y00(,)xy00(,)xy00(,)xy2、 定理定理定理（均方可微准则）定理（均方可微准则）二阶矩过程 在t

3、点均方可微的充要条件为相关函数 在点（t，t）的广义二阶导数存在。( ),X t tT12( , )XRt t证明：( ),X t tT在t点均方可微0()( )l.i .mhXthXth均方极限 存在由定义均方收敛准则1212120120121201 20()( )()( )lim(,)(, )( ,)( , )=limhhXXXXhhX thX tX thX tEhhRth thRth tRt thRt tEhh存在3、推论、推论推论推论1 1 二阶矩过程 在T上均方可微的充要条件为相关函数 在 在每一点广义二阶可微。( ),X t tT12( , )XRt t( , ),t t tT推论

4、推论2 2 若 在 上每一点广义二阶可微，则12( , )XRt t( , ),t t tT( )xdu tdt在T上以及 ， ， 在T T上存在，且有121( , )XRt tt122( , )XRt tt21212( , )XRt tt t （1）( )( )( )xdE X tdu tE X tdtdt3、推论、推论（2）12121211( , )( )( ) =( )( )XRt tE X t X tE X t X ttt（3）12121222( , )( )( ) =( )( )XRt tE X t X tE X t X ttt （4）221212121221( , )( , )=(

5、 )( )XXRt tRt tE X t X tt ttt 3、推论、推论证明证明（1）由推论1知 存在，又由定理2之（5），有( )X t h0h00( )( )()( )lim()( )()( )lim l.i.m( )xhdE X tdu tE X thE X tdtdthX thX tX thX tEEE X thh(2)由定理2之（6），有1211122h011112120( , )()( )( )( )lim ( )()( )l.i.m( )( )( )XhRt tX thX tE X t X tEX ttthX thX tEX tE X t X th3、推论、推论证明证明（3）同

6、理（4）2212101212h01212h0121211h021212()( )( )( )( )l.i.m( )()( )( )lim( ,)( ,)lim( ,)( ,)lim( ,)hX XX XXXXX thX tE XtX tE XthE XtX thXtX thRt thRt thRt thRt ttthRt tt t 3、推论、推论推论推论3 设二阶矩过程 n阶均方可导，则n阶导数过程 的均值函数等于原过程 的均值函数的n阶导数，即( ),X t tT( )( ),nXt tT( ),X t tT( )( )n( )( )nndE X tE Xtdt4、均方导数的性质、均方导数的

7、性质(1)若二阶矩过程 均方可导，则 均方连续。反之不真，如Poisson过程 (2)均方导数的唯一性：若 ，且则( ),X t tT( ),X t tT1( )( )dX tX tdt2( )( )dX tXtdt. .12( )( )a eX tXt4、均方导数的性质、均方导数的性质(3) 均方导数具有线性性，即若二阶矩过程 均方可导，a,b为任意实数，则( ),X t tT( ),Y t tT( )( )( )( )aX tbY taX tbY t )()()(t)()( 且有也是均方可导过程，),()(可导的二阶矩过程，则是均方,上的普通的可导函数，是定义在)(设tXtftXftXtf

8、TttXtfTtX(t)Ttf (4)4、均方导数的性质、均方导数的性质(5)设设( ),X ttT是均方可导过程，且是均方可导过程，且( )0,TXtt 则则X(t)一概率一概率1是常随机变量是常随机变量,T ,s tst证对明有2E( )()E ( )()( )()XtXsXtXsXtXs( , )( ,)( , )( ,)XXXXRt tRt sRs tRs s12( ,)(,) ()XXRtRststt12( E ( )() E ()() ) ()XtXXsXts0(5)设设( ),X t tT是均方可导过程，且是均方可导过程，且( )0,TX tt 则则X(t)一概率一概率1是常随机

9、变量是常随机变量,T,s tst证对明有2E( )( )E( )( )( )( )X tX sX tX sX tX s( , )( , )( , )( , )XXXXRt tRt sRs tRs s12( ,)( ,)()XXRtRststt12(E( )()E( )()()X t XX s Xts0一、罗尔( Rolle )定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 拓展费马费马(fermat)引理引理一、罗尔一、罗尔( Rolle )定理定理,)(0有定义在x且 )(0 xf 存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证

10、: 设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕罗尔（罗尔（ Rolle ）定理）定理)(xfy 满足:(1) 在区间 a , b 上连续(2) 在区间 (a , b) 内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使. 0)(fxyoab)(xfy 在( a , b ) 内至少存在一点若 M m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,不妨设 , )(afM 则至少存在一点, ),(ba使,)(Mf. 0)(f则由费马引理得 证证:，上连续在因

11、,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m .若 M = m , 则, ,)(baxMxf因此.0)(, ),(fba二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理(1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xfy 作辅助函数显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(

12、0)()()(abafbff拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论: 若函数在区间 I 上满足,0)( xf则)(xf在 I 上必为常数.)(xf证证: 在 I 上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式 , 得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由 的任意性知, 21,xx)(xf在 I 上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令则三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx证证: 作辅助函数)