特殊工件磨削加工的数学建模资料

1、全国第七届研究生数学建模竞赛题 目 特殊工件磨削加工的数学建模摘 要：本文通过对大型数控精密内外曲线磨床的结构及原理进行分析，并建立了数学模型，根据题目所给要求给出了不同情形下的加工方案，并且对加工方案进行了误差分析。对问题一：首先，由于分析知工件的外表面母线函数为上凸函数，我们选择宽度20mm、直径为100mm的柱式砂轮对其进行磨削加工，建立了即砂轮相对于加工物件的数学模型；然后采用逐点比较插补方法求出了当砂轮固定时，加工旋转体纵向、横向以及旋转方向各时间段的脉冲数和脉冲的分布；最后根据所得的脉冲分布，求出物件加工的绝对误差值为0.0024mm-0.0033mm之间。对问题二：由分析知该旋转

2、体的外母线为非凸非凹函数。因此，我们首先求出该函数的最大曲率为333.33；然后利用逐点比较插补方法确定三组控制步进电机在各时间段各自的脉冲数；最后求出物件加工的绝对误差值0.0053mm。对问题三：在问题一的基础上，考虑在削磨过程中，会在上凸曲面上表现为过切现象，磨损不均匀，提出了利用进让式加工的修整策略，并给出了进让式加工的数学模型，求解得出了不同进给方向所需的脉冲数，横向为270000个，纵向为61200个，最后从几何、受力和切削热散等方面分析了对加工精度的影响，并对误差做出了相应分析。对问题四：在问题二的基础上，磨削过程中发生同样的情况，我们也进一步利用了进让式加工来进行修整，得出了不

3、同进给方向脉冲数，横向为280800个，纵向为46800个，旋转为93600个，最后类似于问题三中分析了影响加工精度的因素，并对相应误差进行了分析。关键词：逐点比较法 进让式加工 误差 补进角度参赛密码 （由组委会填写） 参赛队号 队员姓名 中山大学承办22一 问题重述某科研单位和工厂研制了一种大型精密内外圆曲线磨床，用来加工具有复杂母线旋转体的特殊工件，如导弹天线罩等，这些工件具有硬度高、尺度大、加工精度高和母线为连续光滑曲线等特点。磨床的磨削工具是能磨削高硬度材质的金刚砂轮（指磨削表面含有超高硬度的金刚砂粒），磨外圆时根据工件母线的形状，砂轮可采用圆柱体式或轮式，作内圆磨削的砂轮为轮式。圆

4、柱型砂轮的主要几何参数是砂轮直径和砂轮厚度。轮式砂轮的主要几何参数有砂轮最大纵截面（垂直于砂轮转轴的最大截面）的直径和砂轮厚度，以及其横截面（通过砂轮转轴的截面）的外端轮廓线参数（理论上它可以是任一凸光滑曲线，但工程上常选用半径为、张角不大于180的圆弧），合理的砂轮几何参数是加工能否实现的关键因素之一。在整个加工过程中工件与砂轮不应脱离接触。问题1：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用圆柱型砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析。 问题2：加工外表面母线为的某旋转体工件，采用轮式砂轮加工，给出一个加工方案；对你的方案作误差分析；问题3：在整个加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相

5、切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该圆周上的磨损会加大，从而影响加工质量。为此，希望在加工过程中使砂轮表面的磨损尽量均匀，请结合上述第1问题，提出一个修整策略，给出一个合理的加工方案，作相应的误差分析。问题4：请结合上述第2问题，提出一个修整策略，给出一个使轮式砂轮表面的磨损尽量均匀的合理加工方案，作相应的误差分析。二 符号约定 曲线上点的坐标直线斜率砂轮的直径砂轮的厚度圆弧的半径圆弧的圆心角圆心的坐标两条直线的夹角工件工作箱的夹具基准面到中台转轴的距离中台转轴到控制丝杠母副中心线的距离相邻两时间段的脉冲频率回让系数步长直线

6、逼近误差限曲面法曲率三 模型假设1、不考虑各组步进电机、变速器，功放伺服机构和精密丝杠-螺母副的各种误差；2、认为控制脉冲宽度的时间尺度不大于ms级(秒）；3、三工作台的可移动范围足够大，能保证被加工工件的加工；4、工件在预加工后留给磨削的加工余量可确保一次磨削成形，砂轮尺寸可任意选择；5、题目要求的加工方案从预动后开始；6、假设待加工工件固定。四 问题的分析大型精密内外圆曲线磨床主要是用来加工具有复杂母线旋转体的特殊物件，这些被加工物件具有硬度高、尺度大、加工精度高以及母线为连续光滑曲线等特点，因此利用磨床加工该类型的物件时对磨床的每个工作台在不同时刻的运动具有非常高的要求。磨床的每个工作台

7、的的运动分别有三组步进电机控制，而步进电机是一种精密数控电机，根据每次输入脉冲的强度、脉冲宽度以及脉冲的步进角度（正向或反向）确定其运动大小、运动时间已经运动的方向。因此解决该问题的核心是确定三组控制步进电机在各个时间段中各自应发的脉冲数和这些脉冲在该时段的分布。 图 1 外表面母线函数图像对问题一，该旋转的外表面母线为上凸函数(见图1)，加工该物件对砂轮的几何尺寸没有特别的要求。因此，我们选择砂轮几何尺寸时可以取尽可能大，这样加工后的物件表面就越光滑，从实际出发我们可以旋转一般常用的柱式砂轮即可。对题意的分析知问题的核心是求出各个不同时段的脉冲分布情况，解决该问题的关键步骤是如何根据该曲线函

8、数的图像而确定加工整个物件的过程中三组控制步进机的脉冲分布。求加工曲面的步进机的脉冲分布的方法有很多种，常用的插补法主要分为三大类：脉冲增量插补(也称为基准脉冲插补)、数据采样插补及混合插补。基准脉冲插补方法有以下几种：1、数字脉冲乘法器插补法；2、逐点比较法；3、数字积分法；4、矢量判别法；5、比较积分法；6、最小偏差法；7、目标点跟踪法；8、直接函数法；9、单步跟踪法；10、加密判别和双判别插补法；11、Bresenham算法等。本文在解决该问题一利用基准脉冲插补中的逐点比较法。通过插期望能得出该问题的核心解，即脉冲的分布情况及其误差。对问题二，该母线函数由函数图像（见图1）和斜率函数图像

9、（见图2）可知在整个区间上，它是非凸非凹，但在各个小区间上为凹函数或者凸函数，比如在1,187上，其函数图像为凹函数，即上凸函数。与第一问类似的，我们以砂轮与曲线切线垂直时的接触点为研究对象，利用插补法求解出磨削加工以函数二为母线的旋转体时的三组步进机的脉冲分布情况及其误差。 图 2 函数二的斜率及二阶导函数图像对问题三，由题意知，该问题在问题一的基础上进一步考虑磨削时砂轮与加工物件的的接触点不再是我们所取的一个点，而是该点及其附近所有的点，即考虑砂轮上尽可能多点与物件接触，以避免部分过度磨损，提供物件的加工质量和砂轮的使用寿命。为此我们选取进让式加工方式，并得出与第一问不同的脉冲分布及其误差

10、分析。对第四问，与第三问类似，考虑多点接触，采用进让式加工方式，得出脉冲和误差分析。五 模型的建立与求解5.1 问题一的数学模型的建立与求解由上面的问题分析知该旋转的外表面母线为上凸函数(见图1)，对加工该物件对砂轮的几何尺寸没有特别的要求。因此，我们选择柱式砂轮几何尺寸为：直径100mm，厚度20mm的常用砂轮。为了简化问题的求解，我们先选取柱式砂轮母线的中点做为其与物件磨削的接触点，研究当该点对被加工物件磨削时，不同时段应发的脉冲数、脉冲分布及其误差。5.1.1 相对于物件的砂轮轴中心的轨迹为得出加工过程中物件的具体运行方式，我们首先假定当被加工物件不动，求柱式砂轮轴线中点，即圆柱的中截面

11、与轴线的交点的运行轨迹的函数。由于母线方程为 , （1）对（1）式求导：,任取该物件与砂轮的接触点，则经过该点的母线切线的法线斜率为：，从而其对应的法线方程为： ， （2）设为轴线中心点的坐标，为柱式砂轮的直径，则由任意两点之间的距离公式可得：，则和之间的关系为： ， （3）解方程组（2），其中是常数，这是关于的二元方程组。由（2）式得代入（3）式可得到轴线中心点的轨迹参数方程（具体函数图像见图3）： （4）图 3 柱式砂轮轴中心点的轨迹在母线（1）上任选两点P1、P2，设它们对母线上的切线的斜率分别为，两条切线的夹角为，根据公式和，有 （5）利用（5）当物件加工时，磨削点从点P1到相邻P2，

12、其相应的横向和纵向位移与其夹角的函数关系：5.1.2 逐点比较法介绍 利用逐点比较法插补原理控制砂轮相对于工件的运动轨迹，在加工工件的过程中，砂轮每走一步，都要将加工点的位置与所要求的加工轨迹的位置相比较，以确定砂轮下一步进给的方向。具体来说，砂轮每走一步，都要完成位置判别、坐标进给、偏差计算，终点判别等四个步骤【1】。设待加工直线轮廓为第一象限直线，起点为坐标原点，终点为，砂轮瞬时加工点为。如图1：图4 第一象限直线若点正好处在直线上，则由相似三角形关系，有：，即：，若点正好处在直线上方，则有，若点正好处在直线下方，则有。第一步：位置判别：令 （6）则有：如，则点在直线上；如，则点在直线上方

13、；如，则点在直线下方。即根据大于零、等于零或小于零的情况，就可以判断当前瞬时加工点的位置偏离待加工直线轮廓的情况。第二步：坐标进给：根据当前偏差值的大小，就可以决定砂轮下一步加工的进给方向。对图三所示的第一象限的待加工直线，根据其加工方向，砂轮只能沿方向或方向进给。若，为使砂轮逼近而不是远离该直线轮廓，砂轮应向方向进给一步；若，砂轮应向方向进给一步；若，砂轮可沿方向也可沿方向进给。一般将和视为一类情况，即当时，砂轮应向方向进给一步；当，砂轮应向方向进给一步。第三步：偏差计算：在工件加工过程中，砂轮每走一步，都要按公式（6）计算当前加工点的偏差值，以确定砂轮下一步的进给发现。而公式（6）的计算需

14、要两次乘法、一次减法，这样不仅计算比较复杂，而且降低了插补运算速度以至数控系统的运动速度。为数据处理简单和实现的方便、高效起见，在逐点比较插补中，常采用递推的方法计算偏差。为此，需要知道开始加工点的偏差值，而开始加工点是直线的起点，即。偏差递推公式推导如下：设在加工点处，则砂轮应沿方向进给一步，此时，新加工点的坐标值为：，将新加工点的坐标值代入公式（6），得新加工点的偏差值：=即 = （7）若在加工点处，则砂轮应沿方向进给一步，此时，新加工点的坐标值为：，将新加工点的坐标值代入公式（6），得新加工点的偏差值：=即 = （8）由公式（7）（8）可知，若直线的终点坐标已知，则新加工点的偏差减去或加

15、上求得，砂轮进给的方向根据偏差值的正负确定。如表1所示。第四步：终点判别：判别加工点是否到达终点。若已到达，则发出停机或转换新程序段信号。说明：如果起点不在原点的直线也可以利用前边的步骤找到下一个砂轮的进给方向。此时 （9）其中是直线的起点坐标。同样可以得到类似起点在原点的直线进给方向的结论。5.1.3 模型求解由题意知各组步进电机的步进角度（每输入一个控制脉冲的主轴转动角）均为1，变速器的传动比为10：1，即：步进电机转1，则变速器输出0.1，丝杆的螺距为12mm，可知一个脉冲步进机所推进后后退的距离： 步进电机的控制脉冲的最高工作频率不大于每秒100脉冲，因此步进电机每秒的最大运动距离为：

16、而被加工物件的横向长度为600mm，因此整个物件被磨削万完至少需要个脉冲。且整个物件被加工完所需时间至少： （分钟） 为保证表面的加工质量，要求工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4 mm；工件工作箱主轴转动速度设定为每分钟250-300转。工件每转动100转，工件与砂轮的切点在工件工作箱的旋转轴方向上的移动量不超过4 mm，或。可见需要的时间大概在分钟和分钟之间。入口初始化xe,ye,F=0;n=|xe|+|ye|F0?X向进给y向进给F=F-yeF=F+xen=n-1=0?出口YNYN图4 改进逐点比较插补法算法流程图为了使用基准脉冲插补方法中的逐点

17、比较法，我们以脉冲为单位(横向长度为180000)，直线逐点比较插补以1mm（横向300个脉冲）为一段，同时将各段的前后点连接起来利用插补法。因此我们改进逐点比较插补法，求对整个曲线或长度大于1mm（300个脉冲）的曲线段点的运动脉冲补充数。改进逐点插补法的算法流程图见图4，利用MATLAB编程实现见程序1。为了更好清晰地观察插补法的脉冲补充情况，分析脉冲补充过程中的误差，我们列举了0.5mm内150个脉冲段（1个直线插补段）的纵横向脉冲补充图，1-22mm内的纵横向脉冲补充图及部分截图，1-600mm段中的旋转、横向脉冲补充图的部分截图，分别见图5，图6，图7，图8。图5 距离内的横向150

18、脉冲与纵向脉冲的对应关系图图6是1-21mm距离内的横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图，该范围内原曲线函数值上升。图6 1-21mm距离内的横向300脉冲与纵向脉冲的对应关系图图7是1-22mm距离内的横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图的部分截图。图 7 1-22mm内的纵横向脉冲补充图的部分截图图8 22-600mm距离内的横向脉冲与纵向脉冲补充图的部分截图由于，函数为上凸函数，即函数的斜率是单调递减的，以一个脉冲前进量为单位，相应的加工过程中砂轮轴承下的脉冲步进机以同一方向进行补充的，图9就说明了相对于下台的脉冲而言砂轮步进机的补充情况。图9 相对于中台的脉冲而言砂轮步进机的补充图的部分截图这一段

19、横向脉冲数173899次，纵向脉冲数39279次，旋转脉冲数。总的脉冲是由上面的知加工完整个物件所需时间在50分钟到60分钟之间，取每个脉冲宽度的时间尺度为10ms，则加工完这个物件所需的时间至少2600.42s利用逐点比较法插补原理得到相邻两时间段的脉冲频率，有数据说明则成立。从而说明我们的加工方案的合理性。误差分析：分析图7知二维误差：则绝对误差： （mm）对于三维直线误差有：绝对误差：（mm）。5.2 问题二模型的建立与求解选用轮式砂轮加工，其形状和尺寸：按工件的形状、尺寸和机床条件选用。具体建模过程如下：比较问题和问题的图像如图8：图8 两类曲线图像比较：绿线表示问题，红线表示问题问题

20、中的外表面母线是上凸的，而问题的外表面母线要复杂一些有上凸和下凸，建模如下：由于母线方程为 （9）对（9）式求导： （10） （11）点的法线斜率为 .图9给出了函数的斜率图：图9函数的斜率图图10给出了函数的二阶导数图图10函数的二阶导数图由图8、图9、图10可知：式（9）表示的函数在段内是单调递增的，初始函数值为，最大函数值，在单调递减，最小值，在内是单调递增的，初始函数值为。式（9）表示的斜率值在段内是单调递增的，初始函数值为，最小值，在段内是单调递增的，最大值为，在单调递减，终点函数值。利用问题1中的类似的逐点比较法的插补定理。由的图像知道，式（9）表示的函数在整个区间上的函数值变化方

21、向不同，即脉冲步进机的脉冲补充在纵横两方向同时出现正、负两个方向，特别是纵向会出现正负方向，具体的补充情况是：段内是正向补充，在段内负向补充，在段内正向补充。见图11、12，13。图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图由运行结果知道：段内横向脉冲16501次，纵向脉冲1264次，在段内横向脉冲94200次，纵向脉冲11106次，在段内横向脉冲69299次，纵向脉冲4445次。由的图像知道，式（9）表示的函数的斜率变化在整个区间上的方向不同，即脉冲步进机的脉冲补充有正、负两个方向，具体的补充情况是：段内是正向补充，在段内

22、负向补充，在段内正向补充。脉冲相对于下台的脉冲补充砂轮步进机的补充情况，见图14，图15，图16。图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图图 段内横向脉冲与纵向脉冲的对应关系图由运行结果知道：段内横向脉冲56100次，纵向脉冲31253次，在段横向脉冲94501次，纵向脉冲94138次，在段内横向脉冲29399次，纵向脉冲3164次。加工方案合理性的证明和误差分析同问题1的处理方式。5.3 问题三模型的建立与求解在加工过程中，若各个瞬时砂轮与加工工件的相切点是固定在底座和砂轮旋转轴的坐标系中同一个点（实际是点的一个邻域），随砂轮旋转形成一个圆周，那么砂轮在该

23、圆周上的磨损会加大导致不均匀磨损，进而影响加工质量。为了使砂轮的磨损均匀，采用进让式加工的修正策略，并建立数学模型。进让式加工原理：取曲面上3个加工点，它们的坐标分别为，。由加工到，然后再由回到，这样一进一让地进给磨削工件，称为进让式磨削加工原理2。其中这三点之间的坐标关系为， ，其中称为回让系数，的取值由被加工曲面的加工精度要求和材料性能决定。图进让式切削加工模型根据进让式磨削加工原理有如下步骤：第一步：确定步长：根据工件表面曲率大小和加工精度给定步长。第二步：直线插补运动：在各轴均作直线插补运动，按照相同的回让系数来实现进让式进给运动插值节点的计算和回让运动分配。第三步：重新生成数控制。利

24、用曲率公式：，给出（1）的曲率公式： （10）利用matlab编程得到曲面法曲率如图18所示：图曲率分布图由于多坐标数控加工一般只采用线性插补，因而砂轮运动的包络面与加工表面存在一定的逼近误差，在上凸曲面上分别表现为过切现象。所以，对任一指定的直线逼近误差极限，根据文献4，可以确定步长的计算公式：。根据问题1、2的误差分析可得，取直线逼近误差限，则(取最小值)。在问题1的基础上，可知横向脉冲为180209个，相当于，纵向脉冲为个，相当于。故根据计算可得到：按照横向进给需要的脉冲数约为：个；按照纵向进给需要的脉冲数约为：个；总的脉冲数为：270000+61200=331200个，所需要的时间为：

25、。加工点按顺序取，然后先从点按照步长磨削到，再从返回到，其中点可以由公式，求得，以此类推，可以根据公式，分别求出以后的各个磨削点，此方法通过利用计算机编程来实现各个点的坐标值。如图19所示：图加工点的函数图像在采用进让式进给切削加工中 ,刀具和工件不断地接触与分开 ,刀具主轴在脉动循环切削力 的作用下 ,其扭曲变形和弯曲变形不断得到恢复 ,工 件的刚性变形也显著减小 ,从而可以提高工件的加 工精度。采用进让式切削加工 ,在刀具回让的过程 中 ,刀具渐渐地远离进给方向的切削区 ,这时便在切 削区形成了外来空气气流的流动 ,有利于切削热被 周围冷却介质或空气带走 ,加快了切削热的释放 ,从而减小了

26、工艺系统的热变形。与传统方式相比 ,低的热应力对刀具和工件都起到了保护作用 ,提高了被加工曲面的表面质量和加工精度。5.4、问题四模型的建立与求解在问题2的基础上，考虑轮式砂轮与加工工件的相切是切点的一个邻域，那么随着砂轮旋转会形成一个圆周，会使砂轮的磨损增大，若使砂轮的表面磨损尽量均匀，这里考虑到随着曲线的曲率变化，轮式砂轮会相对于加工工件做旋转运动，因此在前述两坐标的基础上还应考虑到旋转时的脉冲量。根据公式，将（11）、（12）两式带入求得，得到曲面法曲率如图20所示：类似问题3，砂轮运动的包络面与加工表面存在一定的逼近误差，问题4的曲面有下凸和上凸曲面故误差分别表现为欠切和过切现象，对于直线逼近误差极限，确定步长的计算公式：。取直线逼近误差限，则 (取最小值)，在问题2的基础上，可知横向脉冲为个，相当于。纵向脉冲为个，相当于，旋转为,相当于。通过计算可得：图20 曲率变化曲线按照横向进给需要的脉冲数约为：个； 按照纵向进给需要的脉冲数约为：个；按照旋转进给需要的脉冲数约为：个；总的脉冲数为：个，所需时间为：。类似于问题3，采用进让式方式加工上凸曲面或下凸面时，可以定性的从几何、受力和切削热散失方面对加工精度的影响做出分析。以上表明：采用进让式加工，一方