年考研数学三试题及全面解析

1、超级狩猎者 整理2021 年全国硕士讨论生入学统一考试数学三考研真题与全面解析（word版）一、挑选题：1 8 小题，每道题4 分，共 32 分，以下每道题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上 .1. 以下函数中在x0 处不行导的是（）（ a）f xx sinx（ b）f xx sinx（ c）f xcos x（ d）f xcosx【答案】 d f xf 0x sinxx gx【解析】依据导数定义，a.limlimlim0，可导；x0xx0xx0xf xf 0x sinxx gxb. limlimlim0 , 可导；x0xx0xx0x1 x 2c.

2、limf xf 0limcos x1lim20，可导；x0xx0x1x0x21cosx12x2 xd. limlimlim，极限不存在；应选（d ）.x0xx0xx0x12. 设函数f x 在0,1 上二阶可导；且1f xdx00 ，就（）1（ a ）当 f x0 时，f 0 21（ b）当fx0时，f 0 21（ c）当 f x0 时，f 0 2（ d）当f x0时，f 0 2【答案】（d ）1【解析一】有高于一阶导数的信息时，优先考虑 “泰勒绽开” ；从选项中判定， 绽开点为 x0；21将函数f x 在 x0处绽开，有2第 1 页 共 15 页超级狩猎者 整理111f121f xf f x

3、 x，其中x ；两边积分，得2222.2210f xdxf 1 1 f1 x1dx1 f x12 dx0202202.211 f1 2f xdx ，202.21 f121由于f x0 xdx0，所以f 0 ，应选（ d） .【解析二】排除法；02.22111（ a ）错误；令f xx，易知221f xdx010 ， f x10 ，但是f 0 ；21（ b）错误；令f xx，易知3f xdx00 ， f x20 ，但是f 0 ；2（ c）错误；令应选（ d ）.f xx1 ，易知21f xdx00 ， f x10 ，但是f 10 ；23. 设 m2 121x 2x2dx ， n2 1xex2dx

4、 ， k2 1cosx dx ，就（）2（ a ） mnk（ b ） mkn（ c） kmn（d ） knm【答案】（c ）【解析】积分区间是对称区间，先利用对称性化简，能求出积分最好，不能求出积分就最简化积分；m2 1x2dx1x22x2dx2 12xdx，1x21x21x2222k2 1cos x dx2 1gdx，22令 f xex1x, x, ， 就 f 22 xex1，当 x,02时， f(x) 0 ，第 2 页 共 15 页超级狩猎者 整理当 x0, 时， f2 x0 ，故对x, ，有 22f xf 00 ，因而1 x1 ， nex1x2 dxex2 1gdx，故 kmn ；应选（

5、 c ）.4. 设某产品的成本函数22c q 可导，其中q 为产量；如产量为q0 时平均成本最小，就（）（ a ） cq0 0 （ b） c q0cq0 （c） c q0q0cq0（ d ） q0c q0 cq0 【答案】（d ）c qdc qc qqcq【解析】平均成本cq,，qdqq2由于产量为q0 时平均成本最小，因此c q0 q0cq0 0，应选（d ）1105. 以下矩阵中阵，与矩阵011相像的是（）001111101111101（ a ）011（ b）011（ c）010（ d）010001001001001【答案】（a ）110h011001【解析】记矩阵，就秩r h 3 ，迹t

6、r h3,特点值1（三重）；观看a, b, c , d 四个选项，它们与矩阵h 的秩相等、迹相等、行列式相等，特点值也相等，进一步分析可得：r eh 2 , r ea2 ， r eb1r ec 1,r ed 1；假如矩阵a 与矩阵 x 相像，就必有kea 与 kex相像（ k 为任意常数），从而r kear kex ） ，应选（ a ） ,6. 设a, b 是 n 阶矩阵，记r x 为矩阵 x的秩， x ,y 表示分块矩阵，就（）第 3 页 共 15 页超级狩猎者 整理（ a ）r a, abr a（ b） r a, bar a（ c） r a, bmax【答案】（a ）r a, r b（d

7、） r a, br at , bt 【解析】把矩阵a, ab按列分块，记a1,2 ,ln , ab1,2 ,ln ，就向量组1 ,2,ln可以由向量组1,2,ln 线性表出，从而1,2 ,ln 与1 ,2 ,ln ，1 ,2,ln ，等价，于是r a, abr a ，应选（ a ）；27. 设随机变量x 的概率密度f x 满意f 1xf 1x ，且f x dx00.6就 p x0（ a ） 0.2（ b） 0.3（ c） 0.4（ d） 0.5【答案】（a ）【解析】由f 1xf 1x 可知概率密度函数f x 关于 x1对称，结合概率密度函数的性质0f xdx11及已知条件22f xdx00.

8、6 ，简洁得出p x0f xdx 2f xdxf0 xdx0.2 ，应选（a ）；8. 设x1, x 2 ,l, xn n2 是来自总体n ,2 0 的简洁随机样本；1nn令xx i ， sn i1 xx 2， s*1 x 2 ，就（）n i 1（ a）nn xs1 i 1 tn（ b）nn xsi 1i tn1第 4 页 共 15 页超级狩猎者 整理n xn x（ c）s* tn（ d）s* tn1【答案】（b ）2x【解析】由x n ,2 x n ,nnn 0,1，n1s222 n1，且xn1s2n与2相互独立，所以xnn1s22n1n xs tn1 ，应选（ b ）；二、填空题：9 14

9、 小题，每道题4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定位置上 .9. 曲线yx22lnx 在其拐点处的切线方程为；【答案】y4x3.【解析】函数的定义域为0, ， y2x2 ， y x22 ；x2y4 ；x3令y0 ，解得x1，而 y10 ，故点1,1是曲线唯独的拐点；曲线在该点处的斜率y 14，所以切线方程为y4x3；10. exarctan1e2 x dx；【答案】【解析】ex arctan 1e2x dxarctan 1ex arctan1e2 x dexe2xexd arctan1e2 xex arctan1e2xex111d1e2x e2xex arctan1ex arctan1

10、e2x e2xd11e2 xe2 xcy11、 差分方程2xyx5的通解是 ；第 5 页 共 15 页超级狩猎者 整理【答案】yxc g2x5，其中 c 为任意常数；【解析】由于2 yyyyxxx 1x yx 2yx 1 yx 1yx yx 22 yx 1yx ，原方程化为yx 22 yx 15，即yx 12 yx5；该一阶线性非齐次差分方程对应的齐次差分方程为yx 12 yx0 ，其通解为y xc g2x ；设原方程的特解为y*c , 代入原方程得c2c5c5 .故原方程的通解为1xyc g2x5；11112. 设函数f x 满意f xxf x2xfxxx x0 ，且f 02 ，就 f 1

11、；【答案】 2e；【解析】由f xxf x2xf xxxx0可得f xxf x2xfxx x0xx两边取极限得limf xxf x2xf x ，即f x2xf xx0x2解一阶线性齐次微分方程，有x2f x2xdxcecex ，代入f 02c2 ，故f x2ef 12e； xyz2x2y2z22xyyzzx0xyyzzx1 21由轮换对称性可得： 蜒xydsxyyzzxds11. dsg2；l3l6l6313. 设 a 为 3 阶矩阵，1,2 ,3 是线性无关的向量组,如 a112 ， a223a313 ，就a ；【答案】 2.第 6 页 共 15 页超级狩猎者 整理101【解析】已知 a1,

12、 a2 , a3 a1,2 ,3 1,2 ,3 110011由于1,2 ,3 线性无关，所以矩阵p1 ,2 ,3 可逆，p0,101101101ap110p 1ap g110 gp 11102 .01101101114. 设随机大事a, b , c 相互独立， , p a，p bpc1 ，2就 paca u b ；1【答案】.；3p ac a u bp ac uabc【解析】p ac a u bp a u bp ap bp abp ac 1p apbp a pb3,三、解答题： 15 23 小题，共94 分.请将解答写在答题纸指定位置上 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. （此题

13、满分10 分） 已知实数满意1lim axbex xx2 .，求a, b ；1 abtet1【解析一】令t，可得lim2 . （ 1）于是limxtabt et0t1a10a1t01limtabt e1limbetabt et ba2对（）式使用洛必达法就，有t0tt0故a1,b1；第 7 页 共 15 页超级狩猎者 整理1 abtet1 abt1tt 1【解析二】令t，可得limlimxt0limtt0 a1 abttt2 ，a10于是t0ta1,b1；ab216. （此题满分10 分） 设平面区域d 由曲线 y31x2 与直线 y3x 及 y 轴围成，计算二重积分x2d；d【解析】积分区域

14、如图示，231 x 2 2i2 dxx2dy2x2 31x2 3xdx03x0222 x2031x2 dx32 x3dx ，02其中2 x231xx2 dxsin t34 sin2 t cos2 tdt0034 sin2 2td 2t3 g38023238432332x3 dxx42040， 故i161；16217. （此题满分10 分） 将长为 2m 的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形，三个图形的面积之和是否存在最小值？如存在，求出最小值；1【答案】面积之和存在最小值，smin；433【解析】设圆的半径为x ，正方形的边长为y ，三角形的边长为z ，就 2x4y3z2，2232三个

15、图形的面积之和为s x, y, zxyz ，4就问题转化为“在条件 2x4 y3z2 ， x0, y0, z0 下，求三元函数第 8 页 共 15 页超级狩猎者 整理s x, y, zx2y 23 z24的最小值”；2232令lxyz 42x4y3z2lx2x20ly2 y40x14332解方程组lz3 z302，得到唯独驻点y43323l2x4y3z20z433由实际问题可知，最小值肯定存在，且在该驻点处取得最小值；最小面积和为118. （此题满分10 分） 已知cos2xsmin11x2433an x.n 1x1，求an ；1【解析】将cos2x 和2n 0绽开成幂级数，1x1n1n 22

16、 ncos 2 xn0 2 n.2 x 2 nn02 n.11 222x12 244x2.4.366x2 nxn2n2 n11 2xl1 2l，x6.2n.111n xn1n nxn 11n1 n1) xnn 0n 1n 01x21x23456n 1n12x3x4x5x6x7xl1n1xl，1x1n1n 22 n2 nn 1n于是an xx1n1x，n 0n 02n.n 0比较等式两边同次项系数，可得a2n 112 n1 12 n112 n1 ， n0,1,2,l第 9 页 共 15 页超级狩猎者 整理n22 n22 n2n 1na2 n112 n112 n1 ， n0,1,2,l2 n.2n

17、.综上， ann1,nn为奇数2n；12n.n1，n为偶数19. （此题满分10 分） 设数列xn满意x10, x exn 1exn1n1,2,3,l ；n证明xn收敛，并求limnxn ；ex1 1【证明一】由于x10，所以ex2；x1ex11 x依据拉格朗日中值定理，存在0, x1 ，使得x1e，即 e 2ex2，因此0x2x1 ；完全类似，假设0xn 1xn ，就exn 2exn 1 1e0x ，即0xx，xn 1n 1n2n 1故数列xn单调削减且有下界，从而数列xn收敛；设limnxna ，在等式x exn 1exn1两边取极限， 得aeaea1 ，解方程得唯n一解a0 ，故lim

18、xn0 ；n【证明二】第一证明数列xn有下界，即证明xn0 ：ex11 x当 n1时，x10；依据题设x2lnx1，由e 11 x1可知x2ln10 ；假设当 nk 时，xk0 ；exk1 x就当 nk1时，xk 1lnxk，其中 e k1xk ，可知xk 1ln10 ；依据数学归纳法，对任意的nn，xn0 ；再证明数列xn的单调性：第 10 页 共 15 页超级狩猎者 整理exn 1exn 1exn 1xxlnxlnln exnln，n 1nxnxx exnnnnxxx离散函数连续化设f xe1xe x0 ，就当 x0 时， fxxe0 ，f x 单调递减，f xf 00 ，即ex1xex

19、；从而xn 1xnexn 1lnx exln10，故xn 1xn ，即数列xn的单调递减；nn综上，数列xn的单调递减且有下界；由单调有界收敛原理可知xn收敛；设limnxna，在等式x exn 1exn1两边同时令n，得aeaea1 ，解n方程得唯独解a0 ，故lim xn0 ；n20. （此题满分11 分） 设二次型f x , x , x xxx 2xx 2 xax2 ，其中 a 是参数；1231232313当 a2时，f x , x , x 0只有零解：x（ i ）求 f x1, x2 , x30的解；（ii ）求f x1, x2 , x3 的规范型；【解析】（ i）由f x1, x2

20、, x3 0可得x1x2x30x2x30x1ax30对上述齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换得111111111a01101101110a01a100a20,0,0 t ；123102a011000当 a2时，f x , x , x 0有非零解：xk2,1,1t，k 为任意常数；123（ ii ）当 a2时，如x1, x2 , x3 不全为 0，就二次型f x1, x2 , x3 恒大于0，即二次型第 11 页 共 15 页超级狩猎者 整理f x , x , x 为正定二次型，其规范型为f y , y, y y 2y2y2 ；123123123当a2 时，f x , x , x xxx 2

21、xx 2 xax 212312323132x 22x26x22x x6x x1231213二次型对应的实对称矩阵b213120306，其特点方程为213eb120230610180解得特点值157,257,30，可知二次型的规范型为f z , z , z z2z2 ；1231212a21.（此题满分11 分） 设a 是常数，且矩阵a130可经过初等列变换化为矩阵27a1a2b011；i求 a ；（ ii ）求满意apb 的可逆矩阵p ？111【解析】（ i）由于矩阵的初等变换不转变矩阵的秩，故r ar b ；对矩阵a, b 作初等行变换，得12a12aaa，27a03

22、3a01a21a21a2b011011011，1110a13002a明显 r a2，要使r b2，必有2a0a2 ；第 12 页 共 15 页超级狩猎者 整理（ ii ）将矩阵b按 列 分块： b1,2 ,3 ，求解矩阵方程apb 可化为解三个同系数的非齐次线性方程组：axj , j1,2,3 ；对以下矩阵施以初等行变换得122122106344 a, b130 m011012m 111，t272111000000t易知，齐次线性方程组ax0 的基础解系为：06,2,1,三个非齐次线性方程组的特解分别为：t13,1,0,24,1,0,34,1,0t ；因此，三个非齐次线性方程组的通解为6364641k121，210k221，310k321，1036k16k 6k从而可得可逆矩阵p12k1k112kk12kk，其中 k2k3 ；（ 22）（此题满分11 分） 设随机变量x ,y 相互独立，x 的概率分布为px1px11 ，2y 听从参数为的泊松分布；令zxy ，（ i ）求 cov x , z ；（ ii ）求 z 的概率分布；【解析】（ i）由x , y 相互独立，可得e xye xey .；由协方差