数学建模论文“PM25问题”

1、2014第一次数学建模模拟赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期

2、刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期：年月日2014第一次数学建模模拟赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：“”问题摘 要本文利用插值拟合、灰色关联度和多元非线性回归的方法，通过简化历年细颗粒物浓

3、度和人体健康情况，建立了pm2.5的评价、分析和预测的一系列模型。模型考虑了数据相对于时间的变化情况、数据之间存在的相关关系，以北京为例，对未来pm2.5的变化情况给出了合理的预测，并给出了pm2.5和人体健康的关系。针对问题一，在具体分析了影响PM2.5浓度的因素有哪些之后，首先考虑到了PM2.5是近几年出现的概念，其数据有限的问题，于是先运用插值的方法，在中运行出了2003、2008、2010年的PM2.5的值，得到一系列数据；然后运用曲线拟合的方法拟合出了pm2.5随时间的函数关系式，并依次运用一次、二次拟合对模型进行了检验，得出了合理的函数，最后由函数关系式预测出了未来三年PM2.5浓

4、度。针对问题二，在对原始数据进行归一化综合整理的基础上，运用灰色关联度模型，研究具有代表性的四种PM2.5中各种有害物质对pm2.5的影响，pm2.5的浓度越高，说明对人体的健康影响越大，间接分析了PM2.5中各种有害物质对人体健康的影响；最后运用关联度检验法检验了模型的正确性，得出了铅与pm2.5关联度最大,即重金属铅是最大影响人体健康的因素;影响最小。针对问题三，为了研究细颗粒物浓度和致死人数的关系，建立多元非线性回归模型，排出了极少数的因素，以细颗粒浓度为因变量，以心血管疾病和呼吸系统疾病两种常致死性疾病为自变量，进行了三者的关联度分析，并运用残差模型进行了检验，验证了数据的可靠性，得到

5、了细颗粒物浓度越高，致死人数越大的关系。最后，对论文的优缺点进行了简要的分析，并提出了近几年在解决空气污染方面的一系列建议，在完善规章制度、加大治理力度、发挥政府职能方面起到了很好的模型推广作用。关键字：插值拟合 灰色关联度 多元线性回归 残差检验 一 问题重述细颗粒物又称细粒、细颗粒、PM2.5。细颗粒物指环境空气中空气动力学当量直径小于等于 2.5 微米的颗粒物。它能较长时间悬浮于空气中，其在空气中含量浓度越高，就代表空气污染越严重。虽然PM2.5只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。与较粗的大气颗粒物相比，PM2.5粒径小，面积大，活性强，易附带有毒、有

6、害物质（例如，重金属、微生物等），且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大。2013年2月，全国科学技术名词审定委员会将PM2.5的中文名称命名为细颗粒物。细颗粒物的化学成分主要包括有机碳（OC）、元素碳（EC）、硝酸盐、硫酸盐、铵盐、钠盐（Na+）等。颗粒物的成分很复杂，主要取决于其来源。主要有自然源和人为源两种，但危害较大的是后者。在学术界的分为一次气溶胶（Primary aerosol）和二次气溶胶（Secondary aerosol）两种。虽然细颗粒物只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响。与较粗的大气颗粒物相比，细颗粒

7、物粒径小，富含大量的有毒、有害物质且在大气中的停留时间长、输送距离远，因而对人体健康和大气环境质量的影响更大。研究表明，颗粒越小对人体健康的危害越大。细颗粒物能飘到较远的地方，因此影响范围较大。细颗粒物对人体健康的危害要更大，因为直径越小，进入呼吸道的部位越深。10m直径的颗粒物通常沉积在上呼吸道，2m以下的可深入到细支气管和肺泡。细颗粒物进入人体到肺泡后，直接影响肺的通气功能，使机体容易处在缺氧状态。查找相关数据，以北京地区为例解决如下问题：1、分析影响浓度的因素有哪些，建立相关数学模型，对未来三年PM2.5浓度进行预测；2、试建立模型分析中各种有害物质对人体健康的影响；3、试建立模型分析细

8、颗粒物浓度和致死人数的关系；4、针对以上分析，给当地有关部门写信，反映的影响。二 问题分析本题要求分析的影响因素，定量预测未来三年里的浓度，研究对人类日常生活和身体健康的影响，并写信向相关部门反映情况。针对问题一，通过分析查资料可以知道，对浓度影响的因素主要分为人为因素和自然因素，可以就这两个因素进行分条解释阐述。关于未来三年浓度的预测，通过对原始数据插值，再作出图形与原始数据的散点图拟合，建立出年份与相关的模型，算出未来三年的浓度。针对问题二，中的成分有铅，苯并芘，一氧化碳和二氧化硫，于是根据近年来铅，苯并芘，一氧化碳，二氧化硫在空气中的浓度数据进行分析，建立灰色预测模型，计算出这四类物质与

9、的浓度的灰色相关度，知道铅，苯并芘，一氧化碳，二氧化硫与浓度的关系，进而了解到这四类物质与人体健康的关系。针对问题三，为了研究细颗粒物浓度和致死人数的关系，建立多元线性回归模型，排出了极少数的因素，以细颗粒浓度为因变量，以心血管疾病和呼吸系统疾病两种常致死性疾病为自变量，进行了两者的关联度分析，并运用残差模型进行了检验。针对问题四，通过以上几个问题的分析，对如何有效控制浓度加以说明，并且给予相关部门一些建议。三 基本假设1.不考虑流感、季节等混杂因素的影响，因为这些因素会在很大程度上影响疾病死亡人数。2.假设题中所给数据是真实的，准确的。3.由于中各种有害物质繁多，本文只考虑铅，苯并芘，一氧化

10、碳，二氧化硫几种物质对浓度的影响。4.不考虑本文未提到的其他因素对的影响。5.假设在研究浓度与致死人数关系时，北京市人口不会因大的自然灾害，突发事故而受到影响。6.通过研究中有害物质对它浓度的影响来反映这些物质对人体健康的影响大小。四 问题模型的建立与求解4.1 影响浓度的因素4.1.1 人为因素 工业排放工业排放是影响大气环境质量的主要因素之一。而工业排放对的影响又分为两个方面。一方面是直接排放的，包括扬尘、采选矿、金属冶炼、有机化工生产和餐饮业油烟等；另一方面是二次颗粒物，主要是火电厂燃煤中排放的前体物二氧化硫和氮氧化物、挥发性有机物（VOC）等排放到空气中，通过化学反应产生的硝酸盐、硫酸

11、盐、二次有机气溶胶等，造成升高。因此，直接和间接涉及排放的污染源或行业包括火电、石油炼制、有机化工、钢铁、有色、水泥、陶瓷、玻璃、涂料、加油站、干洗业、餐饮业等。设计范围相当之广，整治和管理起来相当不易。 汽车尾气汽车废气中含有 150200种不同的化合物，其主要有害成分为：未燃烧或燃烧不完全的以及微量的醛、酚、过氧化物、有机酸和含铅、磷汽油所形成的铅、磷污染等。其中对人危害最大的有一氧化碳、碳氢化合物、氮氧化合物、铅的化合物及颗粒物。有害气体扩散到空气中造成空气污染。4.1.2 自然因素 气候风速：风速较大时，可以降低浓度；反之，容易积聚；气温：近地面气温较高时，大气对流作用加剧，可以降低浓

12、度；反之，大气出现逆温层时，不易扩散；降水：降水有利于降低浓度。利于水汽凝结，形成云雾和降水；削弱部分太阳辐射和阻挡地面辐射，影响气温；污染大气，降低能见度；风雨：风雨会有效降低浓度。 季节冬季的平均浓度最高，秋季与春季次之，夏季平均浓度最低。北京冬季出现最高值的主要原因有两个：一是本地污染物排放浓度高、强度大，尤其是暖期燃煤量显著升高；二是气象条件不利于大气污染物扩散。春季主要来自北方沙尘的贡献，以及周边地区农田秸秆焚烧的贡献。夏季的来源，一是随着南方气流的输入，北京周边地区直接排放的污染物（含）被传输到北京。同时，在传输过程中，由二次前体物转化形成的二次也被输送至北京。二是由于大气氧化性增

13、强，本地产生的二次也较多。然而，夏季较频繁的降雨，有利于的清除，从而导致夏季浓度最低。秋季则由于太阳辐射强，大气氧化性增强，常发生光化学烟雾；同时，大气扩散条件不好使污染物聚集，增大了气态污染物向二次颗粒物转化的机会，从而导致严重的污染。4.2 模型的建立与求解（1）根据中国气象局得到下面给出四年的数据，我们运用插值的方法求在处y的值。表4.1 插值前年平均度表年份年均值y在中输入附录一的程序：运行结果为 ， ，由于线性插值只需要两个点，因而在上述命令中实际上只用了两个点。若将最后一个命令中的改为缺省、和，运行结果依次为、，、，、。通过比较可知，三次样条插值的效果最好，于是得到插值过后的结果为

14、：表4.2 更新后年平均度表年份年均值y（2）根据问得到的插值数据，我们建立曲线拟合的模型，对所求数据进行拟合函数，然后带入数据，预测出未来三年浓度。根据表二的数据，输入中，由附录二的程序得散点图：20002002200420062008201020122014707580859095100105图4.1 PM2.5均值的散点图假如用一次多项式来拟合，输入命令：运行结果为：,即，下面绘出的拟合曲线和散点图对比如图2所示，可以看出拟合效果并不理想。图4.2 一次多项式与散点图拟合图 然后用二次曲线拟合，输入命令：得到拟合函数为:,得到图3：图4.3 二次曲线和散点图拟合图对比图1，可以看出效果明

15、显改善，拟合曲线与散点基本吻合，则得拟合函数为： （3）由得到的拟合曲线，代入数据预测2014、2015、2016年的PM2.5浓度分别为：95.59、100.79、106.85。五 问题模型的建立与求解5.1模型的建立通过数据查找，得到附录八的数据，序列1到5分别表示2006、2007、2009、2010、2011年，数据到分别表示历年的铅、苯并芘、D含量，然后做关联分析先要选定参考的数据列,参考数据列记为,记第一个时刻为,其余时刻依次为,.因此参考序列可表示为: 由指标数据（附录中的表（一）得出表3，如图表3的数据为参考列表5.1序号12345数据85.383.582.683.585.2符

16、号关联分析被比较的数列常记为其后括号内的数字为列中的序号.如 为第一个被比较的数列,依次类推，可列出其余数列。5.2关联系数的计算公式关联性实质上是曲线几何形状的差别,因此将以曲线间差值的大小作为关联程度的衡量尺度。对于一个参考数有好几个比较数列的情况,可以用下述关系表示各被比较曲线与参考曲线在各点的差: 式(2)中是第个时刻比较曲线与参考曲线的相对差值,这种形式的相对差值称为对在时刻的关联系数。上式中0.5是分辨系数,记为,一般在01之间取值。称为两级最小差。第一级最小差是对而言,取遍选最小者;第二级最小差是对而言,取遍选最小者。称为两级最大差,跑遍选最大差，然后跑遍选最大差。5.3 模型的

17、求解 （1） 先将数列做初值化处理,即用每一个数列的第一个数除本身及其他数,这样既可使数列无量纲。给出已初值化的序列,如表所示表5.212345611.00410.9960.9930.98511.0171.0331.0431.0471.04811.0281.0851.1421.2171.24510.9790.9550.9320.7300.33211.4091.7011.9352.0832.173(2) 求差序列.各时刻与的绝对值,如表3所示.表5.312345600.00400.0040.0070.01500.0170.0330.0430.0470.04800.0280.0850.1420.2

18、170.24500.0210.0450.0680.2700.66800.4090.7010.9351.0831.173(3) 求两级最小差与最大差. 求两级最小差： (1) 再求两级最大差： (2)(4) 计算关联系数,根据及表5得代入关联系数计算公式：将表数据依次代入得：通过计算，我们得到关系矩阵；信息过于分散,不便于比较,为此有必要将各时刻关联系数集中为一个值，求平均值。5.4关联度检验 所谓关联度指参考数列对被比较数列关联系数的均值,均为： 是曲线对参考曲线的关联度.利用软件编程（程序见附录一）求得上述四条曲线的关联度如下表所示：表5.43.64713.41413.32532.9121由

19、此可知,与关联度最大,即是与发展趋势最接近的因素;最小,对最小。 综上所述，为铅与的灰色相关度，对的影响最大；为苯并芘与的灰色相关度，对PM2.5的影响仅次于铅；为一氧化碳与的灰色相关度，对的影响次于苯并芘; 为二氧化硫，对的灰色相关度最小，即对的影响最小。然而的浓度直接影响人体健康，因此铅，苯并芘，一氧化碳和二氧化硫的浓度直接关系到人体健康，且它们对人体的影响依次降低。六 问题三模型的建立与求解6.1模型的建立为了研究细颗粒物浓度和致死人数的关系，我们建立多元线性回归模型，排出了极少数的因素，以细颗粒浓度为因变量，以心血管疾病和呼吸系统疾病两种常致死性疾病为自变量，进行了两者的关联度分析，并

20、运用残差模型进行了检验。以下是年间八年的细颗粒浓度y,心血管疾病，呼吸系统疾病的统计数据，数据如下表7：表6.1年份20122011201020092008200520032000心血管疾病（万人）1.582.012.062.152.252.362.352.40呼吸道疾病（万人）2.11.721.251.581.721.801.551.60PM2.5浓度87.876.77482.674.68594.310.5对上表的数据进行统计分析，在软件包中分析是否具有线性关系，并作图观察，由附录7的程序得到如下结果：即：，说明没有非常明显的单变量线性关系。图形如下：图6.1 也看不出有线性关系，但是，旋转

21、图像，可以看出所有点几乎在同一个平面上。图6.2上图存在个别误差，单大部分点基本在一个平面上，满足线性关系： 其中，是残差。6.2模型的求解与检验在中做线性多元回归，画出残差与残差区间的杠杆图，相关程序由附录8，执行后的结果得三者函数关系式为： 其中心血管疾病为，呼吸系统疾病为，代表死亡人数。置信度，且，F检验值 ，与显著性概率相关的，这说明，回归方程每个自变量的选取，都是有意义的。由程序8得到的残差杠杆图为图6.3从杠杆图看出，除最后一个残差整体与0点相隔较远误差较大应剔除外，其他所有残差都在0点附近均匀分布，也就是说，数据中没有强影响点。综上所述，以上多元回归模型较好地反映了大气中细颗粒物

22、浓度与致死人数关系。由回归出来的函数模型可知：大气中的细颗粒物浓度与其导致相关疾病的死亡人数基本呈正相关，即如果大气中细颗粒物浓度不断升高，那么其导致的相关疾病死亡人数也会增加。如果有效地控制大气中细颗粒物浓度的升高，就可以在一定程度上 缓解相关疾病死亡人数的增加。七 致北京市有关部门的一封信尊敬的领导：您好！通过以上对我国PM2.5现状细致的、有条理的分析、学习，我们对有了更为深刻的认识！是指环境空气中空气动力学当量直径小于等于 2.5 微米的颗粒物，它在空气中含量浓度越高，就代表空气污染越严重，对人体伤害就越大，被吸入人体后会进入支气管，干扰肺部的气体交换，引发包括哮喘、支气管炎和心血管病

23、等方面的疾病。影响的因素主要分为两大类：人为因素和自然因素。人为因素分为工业排放和汽车尾气排放。工业排放会直接排放出细颗粒物或者排放出一些颗粒和空气作用产生有害的物质；汽车排放也会产生大量有害物质到空气中，其中对人体伤害最大的是一氧化碳、碳氢化合物、氮氧化合物、铅的化合物及颗粒物。自然因素则是气候和季节影响较大。从我们建立的预测模型中可以看出，北京从2000年后的年平均浓度大体上是呈下降趋势的，尤其是在2008年北京奥运会期间的浓度降到了最低值。但是在2008年后PM2.5浓度开始上升，2013年后，虽然国家出台了相关政策，但是在未来的2014年，2015年，2016年中，浓度还是承上升趋势。

24、随着我国经济建设步伐的加快，工厂排放量和汽车排放量必然都会增加。相关部门应该对此做出一些限制，来改善环境，降低的浓度。此外我们还建模分析了中一些典型化学物质对人体的影响。如：铅，苯并芘，一氧化碳和二氧化硫。利用灰色相关分析法分析了这几种典型化学物对的浓度的影响。结果发现，铅，苯并芘，一氧化碳和二氧化硫对浓度的影响依次降低，即对人体健康的影响依次降低。建议相关部门应控制这几种物质的排放，来居民的人体健康。最后，我们还利用数学知识和了解到的北京地区死亡人数的一些资料，建立了多元非线性回归模型，清晰地了解了空气中细颗粒物的浓度与相关疾病致死人数的关系。基本可以知道，空气中细颗粒物的浓度与相关疾病的致

25、死人数大致呈正相关，即如果大气中细颗粒物浓度不断升高，那么其导致的相关疾病死亡人数也会增加。所以政府可以从控制空气中细颗粒物的浓度入手来达到降低公众得相关疾病的死亡率的目的。此致敬礼 2014-8八 模型的优缺点与推广本文建立的模型与实际紧密联系，对问题进行了深刻地分析和讨论，建立了相应的数学模型，并且分析了结合了实际情况对问题进行求解，使得模型具有很好的通用性和推广性。对问题中的模型涉及到的因素进行了定量分析，如各类化学物质对的影响，心血管疾病死亡人数等，使得论文具有说服力。本文全面清晰的解决了近几年环境污染的重大问题，提出了致死的主要空气污染物，以及污染物产生的主要来源，为相关部门解决环境

26、问题提供了很好的参考资料，做出了推广价值。建立模型的过程中忽略了一些影响浓度的因素，以及在研究空气中细小颗粒物与相关疾病致死人数时考虑的因素不全面，使模型具有一定误差，不能绝对准确地反映对生活的影响。九 参考文献中国新闻网, 2013年北京年终大考:超标近两倍 ，北京市环境保护局，北京市环境状况历史公报，中国环保网, 不同季节的浓度变化有什么特征, 陈国华 韦程东, 数学模型与数学建模方法，天津市南开区，南开大学出版社，2012年6月十 附录附录一：对年平均度进行插值>> x=2000,2005,2010,2013;>> y=105,85,74,89.5;>>

27、; cx1=2003;>> cx2=2008;>> cx3=2011;>> cy1=interp1(x,y,cx1,'linear')cy1 = 93>> cy2=interp1(x,y,cx2,'linear')cy2 = 78.4000>> cy3=interp1(x,y,cx3,'linear')cy3 = 79.1667>> cy11=interp1(x,y,cx1,'')cy11 = 93>> cy12=interp1(x,y,cx1,&

28、#39;neareast')cy12 = 85>> cy13=interp1(x,y,cx1,'cubict')cy13 = 91.7319>> cy14=interp1(x,y,cx1,'spline')cy14 = 94.3135>> cy21=interp1(x,y,cx2,'')cy21 = 78.4000>> cy22=interp1(x,y,cx2,'nearest')cy22 = 74>> cy23=interp1(x,y,cx2,'cubi

29、c')cy23 = 76.5094>> cy24=interp1(x,y,cx2,'spline')cy24 = 74.5846>> cy31=interp1(x,y,cx3,'')cy31 = 79.1667>> cy32=interp1(x,y,cx3,'nearest')cy32 = 74>> cy33=interp1(x,y,cx3,'cubic')cy33 = 76.2565>> cy34=interp1(x,y,cx3,'spline'

30、)cy34 = 76.6412附录二：散点图的程序clcclearx=2000 2003 2005 2008 2010 2011 2013;y=105 94.3 85 74.6 74 76.7 89.5;plot(x,y,'*')附录三：一次多项式与散点图拟合程序clcclearx=2000 2003 2005 2008 2010 2011 2013;y=105 94.3 85 74.6 74 76.7 89.5;p=polyfit(x,y,1);%得到一次拟合多项式xi=2000:1:2013;yi=polyval(p,xi);%表示xi的值在p构成的函数中得出的yi的值pl

31、ot(x,y,'o',xi,yi,'-');disp(yi);附录四：二次曲线和散点图拟合程序clcclearx=2000 2003 2005 2008 2010 2011 2013;y=105 94.3 85 74.6 74 76.7 89.5;p=polyfit(x,y,2);%得到二次拟合多项式xi=2000:1:2013;yi=polyval(p,xi);%表示xi的值在p构成的函数中得出的yi的值plot(x,y,'o'

32、;,xi,yi,'-');disp(yi);p1=vpa(p,6);disp(p1);附录五：灰色关联度分析程序clearclcx=85.3 83.5 82.6 83.5 85.2;    0.4 0.45 0.34 0.25 0.25;    0.0066 0.0059 0.004 0.0036 0.0026;    2.1 2.

33、0 1.6 1.5 1.4;    0.053 0.047 0.034 0.032 0.028;for i=1:3    x(i,:)=x(i,:)/x(i,1);%标准化数据endfor i=4:5   x(i,:)=x(i,1)./x(i,:);%标准化数据enddata=x;n=size(data,2);%求矩阵的列数ck=data(1,:);%找出参考数列bj=data(2:end,:);

34、%找出比较数列m2=size(bj,1);%求比较数列的个数for j=1:m2    t(j,:)=bj(j,:)-ck;endmn=min(min(abs(t');%求最小值mx=max(max(abs(t');%求最小差rho=0.5;%分辨系数的设置ksi=(mn+rho*mx)./(abs(t)+rho*mx);%求关联系数r=sum(ksi')%求关联度 rs,rind=sort(r,'descend')%对关联度进行排序附录六：多元非线性回归程序clcclearx1= 1.58 2.01 2.06