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文档简介
1、浅谈解题教学中的联想与转化德阳教育科学研究所黄勇费马大定理一书这样写道:“费马大定理是17世纪法国数学家费马留给后世的一个 不解z谜这个谜曾经吸引和困惑了世界上无数的智者,难倒过许多杰出的大数学家直到358 年之后的1995年,这个难题才终丁被英国剑桥的数学家安德鲁怀尔斯攻克了”这个叙述 足以说明要攻克一个数学难题的艰辛.一个中学数学教师要编选、解答并处理好成千累力的 数学问题,并非轻而易举z事在教学屮对烟波浩淼的题的海洋,能做到得心应手,并把学生 从题海屮解救出来,岀路何在?到题海屮去游泳、去探索其解题的规律、探索优化解题教学 的方法吧!我们知道问题是数学的心脏,所以解决问题的教学也是教学的
2、心脏,我们也清楚 地知道教什么比怎么教更重要.但在教学实践中我们经常会听到数学教师的抱怨:这一道题都讲过好多遍了,为什么这 次考试你(学生)述是未做对呢?也常常听到学生的感叹:一道题为什么老师会想出一个绝 妙的解法,而口己总想不到呢?以上两个问题应该是相通的,那就是我们教师的解题教学出 了问题解题教学的核心是充分暴露教师的思维过程,从而教给学牛解决问题的策略方法而 教师解题思维过程的关键应是联想与转化,数学解题能力的高低归根结底应是问题的转化能 力的高低,不管解决什么问题,都是通过一步一步的转化,最后归结为我们熟悉的问题去处 理,而要成功地进行转化重要的意识应该是联想,下而就解题教学屮如何实施
3、联想转化,说 说自己的休会.一、从题目表述、总体映象进行联想箸名美国数学家和数学教育家波利亚在怎样解题一书中写道'以前见过吗?是否见 过相同的问题而形式稍有不同? ”实质就是从题目表述、总体映象去联想绝大多数由基础题稍加变式得到的新题口均可通过这种联想转化为熟悉的问题得 到解决下面看一个具休问题:问题1己知一段直的相同宽度的河岸两旁分别有一个村庄a和b, 现拟修建一座垂直于河岸的桥cd,试确定cd的位置使得两村 庄人们来往的路程最近.【分析】通过读题、审题(画出草图图1)发现本题的实质是求ac+cd+db的最小值,可以作一假设,如果河的宽度缩小即人与“的距离无限缩小,我 们很快就会发现
4、以前研究过与木题形式很类似的题目: 问题1.1 一条直线/两侧各冇一点a、b,在直线/上求 一点p使ap+pb最小(师生都熟悉).二、从解法上联想此次联想是很自然的,在题fi类似但又有些不同的情况下,你会毫不犹豫的联想到题fi 的解法:你能不能利用它?能否利用它的结果?能否利用它的方法?若不能直接利用,应该引入些什么辅助元索等(转化).图3问题1.1的解决方法是利用三角形两边z和大于第三 边,当p点运动到与ab共线吋(非三角形)达到最小值, 即ap+bp>ab,那么能利用这个思想方法解决问题1吗? 我们发现cd是个不变值,于是问题转化为求ac+db的最 小值而ac与db不是相交的,怎么办
5、?引入辅助元索: 作辅助线(平移)使ac与db相接.产生想法:过d作ca的平行线段de,问题已转化 为求ed+db的最小值,这己是问题11解决了的事,那 么问题的解法策略便出来了:过d作de/ca,连结be交 于",过”作dcdc交厶于c',连结ac、ae,则ac+cd+db=ae+ed+db> ae+eb,当cd移动到cd时,取等号,即cq'即为桥的位置.三、从题目屮形式、结构特征进行联想深入分析题目中式了的形式、结构特征,联想它们与我们熟悉的那些公式、定理、结论 的特征有哪些相同和不同的地方.若相同是否可以直接利用,若不同,是否可以通过变换后, 结构相同而利
6、用呢?如著名的柯西不等式: 曰曰 的结构就类似我们熟悉的员=4必形式.于(兀)二工a兀一巾y no于是产生证明方法构造函数日恒成立这是大家都非常熟悉的事情。再|2兀+ )*如:我们看到 逅 就会联想到点p(x、v)到直线2x+" °的距离看到 j(1)2+4,+j(x + 1)2+1可联想到兀轴上p (x, 0)点到两定点a (1, 2), b (-1, 1)的 距离z和看到求"2兀+的取值范围可以联想到求直线y = 2x + b纵载距的取值范围,看 到比较"""与an-a(n>h>a>)的大小时就可以联想到fm =
7、 xfl-x仪1,兀>1)的单调 性等等.四、从题目屮已知条件、特殊符号、数进行联想认真分析题目中已知条件包扌舌特殊符号,一些数值充分发挥我们的想象联想某些概念、 表述、结论,从而构造某种方法解决问题.如:由戾-4ac联想到二次方程的判别式由1可以想到l = sin2 + cos2l = li4=(i _;)+(;_:;)+c?_t)+722 33 4 n n + n +1由等腰三角形可联想到中线产生垂直.由直角三角形可联想到斜边上中线等于斜边的一半,从而产生相等线段及等腰三角形.由e可以想到yiz等.在数列题中遇恒成立常联想到数列的单调性,求最值等等.问题2:直线ab与直二面角al 0
8、的两个半平面分别交于a、b两点,ba、b均不在当abq时,z誇(2)当amto, bnto时,go, 0to棱上.如果ab与q、0所成角分别为g、&2,那么g+&2的范围是 分析与联想:根据已知条件先考虑特殊情况 q + g t o 但 q + go对一般情况:根据两种特殊情况进行猜想:71no<.+<-<- 2,问题关键怎样去证明2联想一,利用三角函数知识处理,联想到g、&2均为锐角,可考虑利用三角函数的单调性,如证明7tsin&| < sin(o2) = cos02,再结合g、$分别在两个直角三角形中,这样分别求.n am a ans
9、in 8 = cos 匕= o , n出4b ,_由于在直角三角形amn屮有an > am ,sm&】 vcos?成立,问题得解.联想二,由于g、伏分别在两个直角三角形屮,能否将其转化在一个三角形屮呢?设z bam 观察勺与&的关系,不难发现,由直线与平面所成角的最小性知&2<&. (ab不 与1垂直时有am与an不重合)712木题是从已知条件入手,考虑特例进而猜想结论,从结论结构进行联想,从而解决问题.五、从题目中关键项联想很多题n的解决突破口在于对题h屮关键项的处理,特别是与数列相关的题n.s” =1 +丄+ +丄s' >2( +
10、+ +>2)问题3:已知2 3 n ,求证:23 n,此题左边是盅,不可能首先就代®进行平方,观察右边发现,右边关键项即是通项",怎样才能出现 225,2s”“呢?或者怎样将“转化为别的形式呢?再考虑左边是平方,那么是否可以考虑把乃2s1 99 12s1 ?9 1=(s“ + -)2 - s, - = = _(s” -)2 + s; + =用一个平方式来表述呢?可联想到:/ (1),刃加s” =1 + 丄 + + 丄s”_ 丄=s(2),再考虑到2 "的结构特征发现 斤 所以(2)式可以变为 2s 1s - s =7“(3) 通过(3)式的结构形式联想到数列
11、中常用方法累加法,便有s;-s.2(牛菩+ +» (* + * + + +)22即 s;=2(牛牛弓+ _£ + £ + + *s; >2(冬+.+垃)_l+_l+.+-l<i为了证明2 3 n,只需证明2? 3-/(4).(4)式左边通项丄丄为斤(关键项),要成功处理又得对/进行转化.联想有两点:第一,变形表述转化后耍能 求和;第二,可以放大.i 111-<=为此联想到/ "5一1)"一1 (裂项相消为师生熟悉的方法)此题能成功的获得解 决关键是通过对题fi中关键的项(通项)进行了多次的联想和成功的转化.六、联想也应体现口标
12、意识在对题目给出的信息进行大量的联想后,应结合题目知识内容进行筛选,使目标意识更 强,从而快捷找到解题方略.例如在解析几何相关问题中,若遇到求罟的最值,常常联想到动点p 2 v)与定点a (-1, -1)连线斜率的最值.但在数列问题中若遇到兀-1虽然可以联想到动点p(无,兀)与定点a (1, 0)连线的斜率,但我们应首先联想数列中的求和相关结论,如x_l | _ j_x (x°且xh1),它就与等比数列的前"项和公式很接近了(可以产生不等 关系)由此可见联想可以不受思维限制,但如果能结合题口小的知识内容、结构特征去寻找 解题突破口会更见效.七、联想更依赖于个体基础现代汉语词
13、典对联想的解释是:由于某人或某事物而想起其他相关的人或事物,rtr丁某 概念而引起的其他相关的概念,而数学解题中的联想是从观察所得的各种信息,与我们己有 的知识、技能、方法和题型等联系起来的思维过程。可见联想能进行下去主要依赖个人掌握 的基础东西,否则便没法进行.为此在我们的教学过程中,抓好学生的基础知识、基木技能、基木方法的过手落实是根 本,只有学生掌握了扎实的基础知识、技能、方法后,他们的联想才有素材,他们的解题能 力才能提高,进而提高他们的综合能力.教学有法、教无定法,解题教学更是如此,思维是解题教学的主线,怎样恰到好处地暴 露教师的思维联想是关键多从学生角度思考问题,使解决问题的方法来得更自
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