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文档简介

1、2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)绝密 启用前2021 年一般高等学校招生全国统一考试(全国1 卷)数学(理科)留意事项:1.本试卷分第一卷挑选题 和第二卷 非挑选题 两部分 .第一卷 1 至 3 页,第二卷 3 至 5 页.2.答题前 ,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效.4. 考试终止后 ,将本试题和答题卡一并交回.第一卷一. 挑选题:本大题共12 小题 ,每道题5 分,在每道题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的 .( 1)设集合ax x24 x30,x 2 x30, 就 a ib( a )3,323( b)

2、3,23( c)1,23(d ),32【答案】 d考点:集合的交集运算【名师点睛】 集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式显现,属得分题 .解决此类问题一般要把参加运算的集合化为最简形式再进行运算,假如是不等式解集、函数定义域及值域有关数 集之间的运算,常借助数轴进行运算.( 2)设 1i x1 yi,其中 x , y 实数 ,就xyi =( a ) 1(b )2( c)3( d) 2【答案】 b【解析】试题分析:由于x1i =1+ yi , 所以xxi =1+ yi ,x=1,yx1,|xyi | =|1+i|2, 应选 b.考点:复数运算【名师点睛】 复数题也是每年高考必考内容,一般以

3、客观题形式显现,属得分题 .高考中复数考查- 1 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)频率较高的内容有:复数相等,复数的几何意义,共轭复数 ,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但简单显现运算错误,特殊是 i 21中的负号易忽视,所以做复数题要留意运算的精确性 .( 3)已知等差数列an前 9 项的和为27, a108 ,就 a100( a ) 100( b )99( c) 98( d )97【答案】 c【解析】试题分析:由已知,9a1a136d 9d27,所以 a181, d1,a100a199d19998,应选c.考点:等差数列及其运算【名师点睛】 我们知道 ,等差、

4、 等比数列各有五个基本量,两组基本公式 ,而这两组公式可看作多 元方程 ,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程(组),因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法 .( 4)某公司的班车在7:00,8:00,8:30 发车 ,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,就他等车时间不超过10 分钟的概率是1123( a) 3( b) 2(c)3( d) 4【答案】 b考点:几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的- 2 -2

5、021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)测度由:长度、面积、体积等.x2y2( 5)已知方程2 21 表示双曲线 ,且该双曲线两焦点间的距离为4,就 n 的取值mn3mn范畴是( a)1,3( b)1,3( c)0,3( d)0,3【答案】 a考点:双曲线的性质【名师点睛】 双曲线学问一般作为客观题同学显现,主要考查双曲线几何性质,属于基础题 .留意双曲线的焦距是2c 不是 c,这一点易出错.( 6)如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.如该几何体的体积是283,就它的表面积是( a) 17( b) 18(c) 20( d) 28【答案】 a【解析】试题分析

6、:该几何体直观图如下列图:- 3 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)是一个球被切掉左上角的1 ,设球的半径为r , 就 v74r 328,解得 r2 ,所以它的8表面积是7 的球面面积和三个扇形面积之和 8833s= 7422 +3122 =17应选 a84考点:三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查同学的空间想象才能,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图仍原出原几何体,是解决此类问题的关键.( 7)函数 y2 x2xe在2,2的图像大致为( a)(b)( c)(d)【答案】 d考点:

7、函数图像与性质- 4 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)【名师点睛】函数中的识图题多次显现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较敏捷 ,对解题才能要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.c( 8)如 ab1,0c1,就( a) a cbc( b) abbac( c)a log b cb log a c( d) log a clog b c【答案】 c【解析】21111试题分析: 用特殊值法 ,令 a3 , b2 , c1 得 322 2 ,选项 a 错误 , 32223 2 ,选项 b 错1误, 3log

8、 2212log 3 2 ,选项 c正确 , log 32log 21,选项 d 错误 ,应选 c2考点:指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,如幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数单调性进行比较,如底数不同 ,可考虑利用中间量进行比较.( 9)执行右面的程序框图,假如输入的x0, y1, n1 ,就输出 x,y 的值满意( a) y2 x( b) y3x( c) y4 x(d) y5x开头输入 x,y,nn=n +1x=x+n-1, y=ny2x2+y2 36?输出 x,y终止【答案】 c- 5 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)考点:程序

9、框图与算法案例【名师点睛】 程序框图基本是高考每年必考学问点,一般以客观题形式显现,难度不大 ,求解此类问题一般是把人看作运算机,依据程序逐步列出运行结果.10 以抛物线c 的顶点为圆心的圆交c 于 a、b 两点 ,交 c 的准线于 d、e 两点 .已知| ab|= 42 ,| de|= 25 ,就 c 的焦点到准线的距离为 a2b4c6d8【答案】 b考点:抛物线的性质.【名师点睛】此题主要考查抛物线的性质及运算,留意解析几何问题中最简单显现运算错误,所以解题时肯定要留意运算的精确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分同学数学考不好的主要缘由 .- 6 -2021 高考数学(理科)试卷(全国

10、1 卷)11 平面过正方体abcd-a1b1 c1d1 的顶点 a,/ 平面 cb1d1,i平面 abcd=m ,i平面 abb1a1=n,就 m 、n 所成角的正弦值为3a22b23c31d3【答案】 a【解析】试题分析:如图,设平面cb1 d1 i平面 abcd =m' ,平面cb1 d1i平面abb1 a1 = n ' ,由于/ /平面 cb1d1 ,所以m / / m ',n / /n ' ,就 m, n 所成的角等于m ', n ' 所成的角 .延长 ad ,过d1 作d1e / / b1c ,连接ce , b1 d1 ,就 ce 为

11、m' ,同理b1f1 为 n ',而 bd/ /ce , b1f1 / / a1 b ,就 m ', n ' 所成的角即为a b, bd 所成的角 ,即为 60 ,故 m, n 所成角的正弦值为3, 选 a.12考点:平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】 求解此题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是:平移定角、连线成形 ,解形求角、得钝求补.( 12) .已知函数f xsinx+0,5, x2为 f x4的零点 , x为4yf x图像的对称轴 ,且f x 在,单调 ,就的最大值为1836( a) 11( b)9( c

12、) 7(d) 5【答案】 b- 7 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)考点:三角函数的性质【名师点睛】此题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,表达方式新奇,是一道考查才能的好题 .留意此题解法中用到的两个结论:fxasinxa0,0的单调区间长度是半个周期;如fxasinxa0,0的图像关于直线xx0对称 ,就 fx0afx0a或.第 ii 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题第21题为必考题 ,每个试题考生都必需作答.第22题第 24题为选考题 ,考生依据要求作答.二、填空题:本大题共3 小题 ,每道题 5 分13 设向量 a=m,1, b=1,2,且 | a+b|

13、2=| a| 2+| b| 2,就 m=.【答案】2【解析】试题分析:由| ab |2| a |2| b |2 ,得 ab ,所以 m1120 ,解得 m2 .考点:向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式显现,属于基础题 .解决此类问题既要精确记忆公式,又要留意运算的精确性.此题所用到的主要公式是:如ax1 , y1,bx2 , y2,就a bx1 y1x2 y2 .14 2 xx5 的绽开式中 ,x3 的系数是.(用数字填写答案)【答案】 10- 8 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)考点 :二项式定理【名师点睛】确定二项绽开式指定项的系数通常是先写出通项

14、tr 1 ,再确定 r 的值 ,从而确定指定项系数 .( 15)设等比数列an满意 a1+a3=10,a2+a4=5,就 a1a2an 的最大值为【答案】 64【解析】13aa10a 1q2 10a18试题分析:设等比数列的公比为q ,由得,1,解得1 .所以a2a45a1 q1q 2 5q21 n n11n 27na a laa n q1 2 l n 18n22 22,于是当 n3或 4 时, a a la 取得最大1 2n126值 264 .1 2n考点:等比数列及其应用高考中数列客观题大多具有小、巧、活的特点,在解答时要留意方程思想及数列相关性质的应用,尽量防止小题大做.( 16)某高科

15、技企业生产产品 a 和产品 b 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 a 需要甲材料 1.5kg,乙材料 1kg,用 5 个工时;生产一件产品 b 需要甲材料 0.5kg,乙材料 0.3kg,用 3 个工时生产一件产品 a 的利润为 2100 元,生产一件产品 b 的利润为 900 元该企业现有甲材料150kg,乙材料 90kg,就在不超过600 个工时的条件下,生产产品a、产品 b 的利润之和的最大值为元【答案】 216000- 9 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)作出二元一次不等式组表示的平面区域(如图),即可行域 .考点:线性规划的应用- 10 -2021 高考数学(理科)试

16、卷(全国1 卷)【名师点睛】线性规划也是高考中常考的学问点,一般以客观题形式显现,基此题型是给出约束 条件求目标函数的最值,常见的结合方式有:纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离, 解决此类问题常利用数形结合.此题运算量较大,失分的一个主要缘由是运算失误.三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.( 17) (本小题满分为12 分)abc 的内角 a,b,c 的对边分别为a,b,c,已知 2cos c a cos b+bcos ac.( i)求 c;( ii)如 c7,abc 的面积为332,求 vabc 的周长【答案】( i) c( ii) 573【解析】试题分析:( i)先

17、利用正弦定理进行边角代换化简得得 cosc1 , 故 c2;(ii)依据31 ab sin c33 及 c得 ab6 再利用余弦定理得2ab25再依据 c7223可得c 的周长为 57 - 11 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)考点:正弦定理、余弦定理及三角形面积公式【名师点睛】三角形中的三角变换常用到诱导公式, sinabsin c,cosabcosc,tan abtanc ,就是常用的结论,另外利用正弦定理或余弦定理处理条件中含有边或角的等式,常考虑对其实施“边化角”或“角化边.”( 18)( 本小题满分为12 分)如图 ,在以 a,b,c,d,e,f 为顶点的五面体中,面

18、abef为正方形 ,af=2fd,afd90o ,且二面角d-af-e 与二面角c-be-f 都是 60o ( i)证明:平面abef平面 efdc;( ii)求二面角e-bc-a 的余弦值dcf【答案】( i)见解析( ii)21919试题解析:( i)由已知可得fdf ,ff,所以f平面fdc 又f平面f ,故平面f平面fdc ( ii)过 d 作 dgf ,垂足为 g ,由( i)知 dg平面fuuuruuur以 g 为坐标原点 , gf 的方向为 x 轴正方向 , gf为单位长度 ,建立如下列图的空间直角坐标系gxyz 由( i)知df为二面角 df的平面角 ,故df60o ,就 df

19、2 , dg3 ,可得1,4,0,3,4,0,3,0,0, d由已知 ,/f ,所以/ 平面fdc 0,0,3- 12 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)又平面cd i 平面fdcdc ,故/cd , cd/f 由/f,可得平面fdc ,所以cf 为二面角 cf 的平面角 ,cf60o从而可得c2,0,3uuur所以c1,0,3uuur,0,4,0uuur,c3,4,3uuur,4,0,0n设 rx, y, z是平面c的法向量 ,就ruuurnc0x ruuur,即n04 yr3z0,0所以可取 nr3,0,3ruuurmc0设 m 是平面cd 的法向量 ,就ruuur,m0n m

20、rrrrr2 19同理可取 m0,3, 4就 cosn, mrrn m19故二面角c的余弦值为219 19考点:垂直问题的证明及空间向量的应用【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能 力进行推理 ,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.其次问一般考查角度问题,多用空间向量解决.( 19)(本小题满分12 分)某公司方案购买2 台机器 ,该种机器使用三年后即被剔除.机器有一易损零件 ,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200

21、元.在机器使用期间,假如备 件不足再购买,就每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整 理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:- 13 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 x 表示 2 台机器三年内共需更换的易损零件数, n 表示购买2 台机器的同时购买的易损零件数.( i)求 x 的分布列;( ii)如要求p xn0.5 ,确定 n 的最小值;( iii)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n19 与 n20 之中选其一

22、 ,应选用哪个?【答案】( i)见解析( ii)19(iii) n19【解析】试题分析:( i)先确定x 的取值分别为16,17,18,18,20,21,22, 再用相互独立大事概率模型求概率,然后写出分布列; ( ii)通过频率大小进行比较; ( iii)分别求出n=9,n=20 的期望 ,依据 n19时所需费用的期望值小于n20 时所需费用的期望值,应选 n19 .- 14 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)所以 x 的分布列为x16171819202122p0.040.160.240.240.20.080.04()由()知p x180.44 , p x190.68 ,故 n

23、的最小值为19.()记 y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当 n19 时 , ey192000.68192005000.21920025000.081920035000.044040 .当 n20 时,ey202000.88202005000.08 2020025000.044080.可知当 n19 时所需费用的期望值小于n20 时所需费用的期望值,故应选 n19 .考点:概率与统计、随机变量的分布列【名师点睛】此题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查,有肯定综合性但难度不是太大大,求解关键是读懂题意,所以提示考生要重视数学中的阅读懂得问题.( 20).

24、(本小题满分12 分)设圆 x2y22 x15 0 的圆心为a,直线 l 过点 b( 1,0)且与x 轴不重合 ,l 交圆 a 于 c,d 两点 ,过 b 作 ac 的平行线交ad 于点 e.( i)证明eaeb 为定值 ,并写出点e 的轨迹方程;( ii)设点 e 的轨迹为曲线c1,直线 l 交 c1 于 m ,n 两点 ,过 b 且与 l 垂直的直线与圆a 交于 p,q两点 ,求四边形mpnq 面积的取值范畴.x2y2【答案】()1 ( y0 )( ii) 12,83 43试题解析:()由于| ad | ac|, eb / ac ,故ebdacdadc ,所以 | eb | ed| ,故

25、| ea | eb | ea | ed | ad | .- 15 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)又圆 a 的标准方程为 x1 2y216 ,从而 | ad |4 ,所以| ea | eb |4 .由题设得a1,0, b 1,0,| ab |2 ,由椭圆定义可得点e 的轨迹方程为:x2y21 ( y0 ) .43()当 l 与 x 轴不垂直时 ,设 l 的方程为yk x1k0 , m x1, y1 , n x2 , y2 .ykx1由22xy1得 4k23x28k 2x4k 2120 .43就 xx28k, x x24k12.124k231 24k 23所以 | mn |1k 2

26、| x1x2 |12k214k 23.过点 b1,0 且与 l 垂直的直线m : y1 x k1 , a 到 m 的距离为22,所以k1| pq |24222k 214k 24k 23.故四边形 mpnq 的面积1s1 | mn 2| pq |12114k 23 .可得当 l 与 x 轴不垂直时 ,四边形 mpnq 面积的取值范畴为12,83 .当 l 与 x 轴垂直时 ,其方程为x1 , | mn |3, | pq |8 ,四边形 mpnq 的面积为12.综上 ,四边形 mpnq 面积的取值范畴为12,83 .考点:圆锥曲线综合问题【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关

27、系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范畴等几部分组成 , .其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.( 21)(本小题满分12 分)已知函数fxx2 exax12有两个零点 .i求 a 的取值范畴;- 16 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)ii设 x1,x2 是 fx 的两个零点 ,证明: x1x22 .【答案】 0,试题解析 ;()f ' x x1ex2 a x1) x1ex2a ( i)设 a0 ,就f x x2) ex ,f x只有一个零点( ii)设 a

28、0 ,就当 x,1时, f' x0 ;当 x1, 时, f'x0 所以f x 在,1 上单调递减 ,在 1, 上单调递增又 f 1e , f 2a ,取 b 满意 b0 且 bln a , 就2f ba b2a b12ab 23 b 0 ,22故 f x 存在两个零点( iii )设 a0 ,由f ' x0 得 x1 或 xln2a 如 ae ,就 ln2a1 ,故当 x21, 时, f'x0 ,因此f x在 1, 上单调递增又当 x1 时,f x0 ,所以f x 不存在两个零点e如 a,就 ln2a1,故当 x21,ln2a 时, f' x0 ;当 x

29、ln2a,时, f' x0 因此f x在 1,ln 2a 单调递减 ,在 ln2a, 单调递增又当x1时, f x0 ,所以 f x 不存在两个零点综上 , a 的取值范畴为0, - 17 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)考点:导数及其应用【名师点睛】,对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题,通常要依据参数进行分类争论,要留意分类争论的原就:互斥、无漏、最简;,解决函数不等式的证明问题的思路是构造适当的函数 ,利用导数争论函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24 题中任选一题作答,假如多做 ,就按所做的第一题计分,做答时请写清题号( 22)(本小题满分10 分)

30、选修4-1:几何证明选讲1如图 ,oab 是等腰三角形,aob=120°.以 o 为圆心 ,2oa 为半径作圆 .i证明:直线ab 与 e o 相切;ii点 c,d 在 o 上,且 a,b,c,d 四点共圆 ,证明: abcd.dcoab【答案】 i见解析 ii见解析- 18 -2021 高考数学(理科)试卷(全国1 卷)试题解析:()设e 是 ab 的中点 ,连结 oe ,由于 oaob,aob120,所以 oeab ,aoe60 1在 rtaoe 中, oeao ,即 o 到直线 ab 的距离等于圆o 的半径 ,所以直线ab 与 o 相 2切dcoo'aeb()由于oa2od ,所以 o 不是a, b,c , d 四点所在圆的圆心,设 o ' 是a, b , c , d 四点所在圆的圆心

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