初二数学乘法公式的复习

1、乘法公式的复习一、复习：(a+b)(a-b)=a 2-b2(a+b) 2=a2+2ab+t2(a-b) 2=a2-2ab+b2(a+b)(a 2-ab+bj=a3+b3(a-b)(a 2+ab+b2)=a3 b3归纳小结公式的变式，准确灵活运用公式： 位置变化，x y y x x2 y2化化化化 变变变变 号数数- 符指系换, x y x y x2 y2 x2 y2, x2 y2 x2 y2 x4 y4,2ab 2ab 4a2 b2, xy z m xy z m xy 2 z m2 x2y2 z m z m x2y2 z2 zm zm nm x2y2 z2 2zm m 增项变化，x y z x

2、 y zx y 2 z22 x y x y z x2 xy xy y2 z2 x2 2xy y2 z2 连用公式变化，x y x y x2 y2 222244逆用公式变化，x y z 2 x y z 2x y z x y z x y z x y z 2x 2y 2z4xy 4xz3例 1 .已知 a b 2 , ab 1, 解：; (a b)2 a2 2ab b2. a b 2 , ab 1例 2 .已知 a b 8, ab 2 , 解：.(a b)2 a2 2ab b2(a b)2 (a b)2 4abv a b 8, ab 2求a2 b2的值。a2 b2 = (a b)2 2ab.a2 b

3、2 = 22 2 12求(a b)2的值。(a b)2 a2 2ab b2 .(a b)2 4ab =(a b)2 . (a b)2 82 4 2 56例 3 :计算 1999 2-2000X 1998K解析此题中2000=1999+1, 1998=1999-1,正好符合平方差公式。 解：19992-2000X 1998 =19992- (1999+1) 乂 ( 1999-1 )=19992- (199S2-1 2) =19992-1999 2+1 =1例 4 :已知 a+b=2 , ab=1,求 a2+b2 和(a-b) 2 的值K解析此题可用完全平方公式的变形得解。解：a2+b2=(a+b

4、) 2-2ab=4-2=2(a-b) 2=(a+b) 2-4ab=4-4=0例 5 :已知 x-y=2 , y-z=2 , x+z=14。求 x 2-z2 的值。K解析此题若想根据现有条件求出x、y、z的值，比较麻烦，考虑到x2-z2是由x+z和x-z 的积得来的，所以只要求出 x-z的值即可。解：因为 x-y=2 , y-z=2 ,将两式相加得 x-z=4 ,所以 x2-z2= (x+z) (x-z)=14 X4=56。例6:判断( 2+1) (22+1) (24+1)(2 2048+1 ) +1的个位数字是几?K解析此题直接计算是不可能计算出一个数字的答案，故有一定的规律可循。观察到1=

5、(2-1)和上式可构成循环平方差。解：(2+1) (22+1) (24+1)(22048+1) +1=(2-1 ) (22+1) (24+1)(22048+1) +1=24096=161024因为当一个数的个位数字是6的时候，这个数的任意正整数幕的个位数字都是6, 所以上式的个位数字必为6。例7 .运用公式简便计算(1) 1032(2) 1982解：(1) 1032 100 3 2 1002 2 100 3 32 10000 600 9 10609(2) 1982 200 2 2 2002 2 200 2 22 40000 800 4 39204例8 .计算(1) a 4b 3c a 4b 3

6、c(2) 3x y 2 3x y 2解：(1)原式 a 3c4ba 3c4ba 3c24b2 a2 6ac 9c216b2(2)原式 3x y 23xy 2 9x2y2 4y4 9x2 y2 4y 4例9 .解下列各式(1)已知 a2 b2 13, ab 6,求 a b2, a b2的值。(2)已知 a b2 7, a b2 4,忠 a2 2b2, ab的值。(3)已知 a a 1 a2 b 2,求 a b ab 的值。2(4)已知x 1 3，求x4 1的值。4 xx分析：在公式a b2 a2 b2 2ab中，如果把a b, a2 b2和ab分别看作是一个整体, 则公式中有三个未知数，知道了两

7、个就可以求出第三个。解：(1) V a2 b2 13, ab 6a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 25a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 1(2) v a b2 7, a b2 4a2 2ab b2 7a2 2ab b2 4得 2 a2 b2 11,即 a2 b2 -2得4ab 3,即ab 3(3)由 a a 122aba2 b1 a222b22ab(4)由 x3,得即x21一 11x121121119例10.四个连续自然数的乘积加上1, 一定是平方数吗？为什么?分析：由于12 3 43 4 5解：设n, n 1,贝U n n 1 n2 3 4 1 25 525 1 12

8、1 1126 1 361 192得猜想：任意四个连续自然数的乘积加上 1 ,都是平方数。 ,n 2, n 3是四个连续自然数2 n 3 1 n n 3 n 1 n 2n2 3n n2 3n 2 1n2 3n2n2 3n 12 n2 3n 12: n是整数，n2 3n 1 是n2, 3n都是整数n2 3n 1 一定是整数个平方数四个连续整数的积与1的和必是个完全平方数。例11.计算2解：（1） x(1) x21 2 x2 2(2) 3m n12 22x21x4 x2 1 2x3 2x2 2x，-2(2) 3m n px4 2x3 3x2 2x 13m2 n2 p 2 2 3mn 2 3m9m n

9、 p 6mn6mp2np分析：两数和的平方的推广a b c 2 a b c 2 a b2 2 a b c c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac即 aa2 2ab b2 2ac 2bc c2b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。二、乘法公式的用法（一）、套用：这是最初的公式运用阶段，在这个环节中，应弄清乘法公式的来龙去 脉，准确地掌握其特征，为辨认和运用公式打下基础，同时能提高学生的观察能力。例 1.计算：5x2 3y2 5x2 3y2解：原式 5x2 23y2 2 25x4 9y4（二）、连用：连续使用同一公式或

10、连用两个以上公式解题。例2.计算:1 a4 1解：原式a24a8a例 3.计算： 3x 2y 5z 1 3x 2y 5z 1解：原式 2y 5z 3x 12y 5z3x 12y 5z2 3x 124y2 9x2 25z2 20yz 6x 1三、逆用：学习公式不能只会正向运用，有时还需要将公式左、右两边交换位置， 得出公式的逆向形式，并运用其解决问题。例 4.计算：5a 7b 8c25a 7b 8c 2解：原式5a 7b 8c5a 7b 8c5a 7b 8c 5a 7b 8c103 14b 16c140ab 1603c四、变用：题目变形后运用公式解题。例 5.计算：x y 2z x y 6z解：

11、原式 x y 2z 4z x y 2z 4zx y 2z2 4z2x2 y2 12z2 2xy 4xz 4yz五、活用：把公式本身适当变形后再用于解题。这里以完全平方公式为例，经过 变形或重新组合，可得如下几个比较有用的派生公式：1. ab22aba2b22. ab22aba2b23. ab 2ab22 a2b24. ab2ab24ab灵活运用这些公式，往往可以处理一些特殊的计算问题，培养综合运用知识的能力。例6.已知a b 4, ab 5,求a2 b2的值。解：a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26例 7.计算：a b c d 2 b c d a 2解：原式 b c a d 2

12、b c a d 22 b c2 a d 22a2 2b2 2c2 2d 2 4bc 4ad例8.已知实数x、v、z满足x y 5, z2xy y 9,刃B 么 x 2y 3Z解：由两个完全平方公式得:ab 4从而Z21 522y225 1 544y2 6y y2 6y 92 y 3z2y 32 0z 0, y 3x 2. x 2y 3z 2 2 3 0 8三、学习乘法公式应注意的问题(一)、注意掌握公式的特征，认清公式中的“两数”.例 1 计算(-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本题两个因式中-5”相同，2x2”符号相反，因而“-5”是公式(a+b)(a-b尸a2-b2 中的a,而“2x2

13、”则是公式中的b.解：原式=(-5-2 xj(-5+2 xj=(-5) 2-(2 x2) 2=25-4x4.例 2 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，“-a2”就是公式中的a, “4b”就是公式中 的b;若将题目变形为(4b-a2)2时，则Zb”是公式中的a,而“a2”就是公式中的b.(解 略)(二)、注意为使用公式创造条件例3 计算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5).分析：粗看不能运用公式计算，但注意观察，两个因式中的“2 x”、“5”两项同 号，“y”、“z”两项异号，因而，可运用添括号的技巧使原式变形为符合平方差公式 的 形式.解：原式二(2

14、x+5)+(y-z) (2x+5)-( y-z)2 ,、2=(2x+5) -(y- z)22=4x+20x+25-y+2yz-z .例 4 计算(a-1) 2( a2+a+1)2(a6+a3+l)2分析：若先用完全平方公式展开，运算十分繁冗，但注意逆用幕的运算法则，则可利 用乘法公式，使运算简便.解：原式=(a-1)( a2+a+1)( a6+a3+1)2=(a3-1)( a6+a3+l) 2=(a9-1) 2=a18-2 a9+1例 5 计算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1).分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项(2-1),则可运用公式，使问题化繁为简.解：

15、原式=(2-1)(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(22-1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)=(24-1)(2 4+1)(2 8+1)二 (28-1 )(28+1)=216-1(三)、注意公式的推广计算多项式的平方，由(a+b)2=a2+2ab+b2,可推广得到：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.可叙述为：多项式的平方，等于各项的平方和，加上每两项乘积的2倍.例 6 计算(2 x+y-3) 2解：原式=(2x)2+y2+(-3) 2+2 2x y+2 - 2x(-3)+2 - y(-3) 22=4x +y +9+4xy-12x-6y.

16、(四)例7分析:、注意公式的变换，灵活运用变形公式(1)已知 x+y=10, x3+y3=100,求 x2+y2 的值；(2)已知：x+2y=7, xy=6,求(x-2y)2 的值.粗看似乎无从下手，但注意到乘法公式的下列变形：x2+y2=(x+y) 2-2 xy, x3+y3=( x+y) 3-3 xy( x+y), (x+y) 2-( x- y) 2=4xy,问题则十分简单.解：(1)x3+y3=(x+y) 3-3xy( x+y),将已知条件代入得 100=103-3 xy 10,.xy=30故 x2+y2=( x+y) 2-2 xy=102-2X 30=40. (2)( x-2 y) 2

17、=(x+2y) 2-8xy=72- 8X 6=1.例 8 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c)+( b-a+c)2.分析：直接展开，运算较繁，但注意到由和及差的完全平方公式可变换出(a+b) 2+( a- b) 2=2( a2+b2),因而问题容易解决.解：原式=(a+b)+ c 2+( a+b)- c 2+c+(a- b) 2+c-( a- b) 2=2( a+b)2+c2+2 c2+( a- b) 2=2( a+b)2+(a- b) 2+4 c2=4a2+4b2+4c2(五)、注意乘法公式的逆运用 例9 计算(a-2 b+3c) 2-( a+2b-3 c)2.分析：若按完

18、全平方公式展开，再相减，运算繁杂，但逆用平方差公式，则能使运算 简便得多.解：原式二(a-2 b+3c)+( a+2b-3c)( a-2 b+3c)-( a+2b-3 c)=2a(-4 b+6c)=-8 ab+12ac.例 10 计算(2a+3b) 2-2(2 a+3b)(5 b-4a)+(4 a-5 b)2分析：此题可以利用乘法公式和多项式的乘法展开后计算，但逆用完全平方公式， 则运算更为简便.解：原式=(2 a+3b) 2+2(2a+3b)(4 a-5 b)+(4 a-5 b)2=(2 a+3b)+(4 a-5 b) 2 =(6 a-2 b) 2=36a2-24 ab+4b2.四、怎样熟练

19、运用公式:（一）、明确公式的结构特征这是正确运用公式的前提，如平方差公式的结构特征是：符号左边是两个二项式相 乘，且在这四项中有两项完全相同，另两项是互为相反数；等号右边是乘式中两项的平方 差，且是相同项的平方减去相反项的平方.明确了公式的结构特征就能在各种情况下正确 运用公式.（二）、理解字母的广泛含义乘法公式中的字母a、b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式.理解了字母 含义的广泛性，就能在更广泛的范围内正确运用公式.如计算（x+2y-3z） 2,若视x+2y 为公式中的a, 3z为b,则就可用（a b） 2=a22ab+b2来解了。（三）、熟悉常见的几种变化有些题目往往与公式的标准形式

20、不相一致或不能直接用公式计算，此时要根据公式 特征，合理调整变化，使其满足公式特点.常见的几种变化是：1、位置变化 如（3x+5y） （5y-3x）交换3x和5y的位置后即可用平方差公式计2、符号变化 如（2mp 7n） （2mv 7n）变为（2m+7n） （2mv7n）后就可用平方 差公式求解了（思考：不变或不这样变，可以吗？）3、数字变化 如 98X102, 992, 912等分别变为（100 2） （100+2）, （100-1） 2, （90+1）2后就能够用乘法公式加以解答了.4、系数变化 如（4n+n） （2m- n）变为2 （2m+n） （2m- n）后即可用平方差公2444式进

21、行计算了.5、项数变化 如（x+3y+2z） （x-3y+6z）变为（x+3y+4z2z） （x-3y+4z+2z）后 再适当分组就可以用乘法公式来解了.（四）、注意公式的灵活运用有些题目往往可用不同的公式来解，此时要选择最恰当的公式以使计算更简便.如 计算（a2+1） 2-（a2-1） 2,若分别展开后再相乘，则比较繁琐，若逆用积的乘方法则 后再进一步计算，则非常简便.即原式 =（a2+1） （a2 1） 2= （a4 1） 2=a8 2a4+1.对数学公式只会顺向（从左到右）运用是远远不够的，还要注意逆向（从右到左） 运用.如计算（1 1）（1- 1）（1- L）（1 L（1若分别算出各因

22、式22324292102的值后再行相乘，不仅计算繁难，而且容易出错.若注意到各因式均为平方差的形式而 逆用平方差公式，则可巧解本题.即原式=（1 二）（1+2）（1 ）（1 +）乂乂 （ 1 - 1_） （1+ 口22331010=-X 3-X 2X 4X-X -X 11= 1 二 J1'2233101021020有时有些问题不能直接用乘法公式解决，而要用到乘法公式的变式，乘法公式的变式主要有：a2+b2=(a+b) 22ab, a2+b2= (a-b) 2+2ab等.用这些变式解有关问题常能收到事半功倍之效.如已知 m+n=7, mt=- 18,求 m2+n2, m2mn+ n2 的

23、值.面对这样的问题就可用上述变式来解，即 m+n2= (m+n) 2 2mn=72 2X ( 18) =49+36=85, m2-2,、2 一 _2mr+n= (mm) 3mn=73x (18) =103.-那司1一款Y)解(1)原式=19982 2 1998 1997+ 19972 =(1998-1997)2=1原式二I- I*- 1*-卜 I df jJ jj 132481091111_ 一一一=_*_22339910102013第三层次活用：根据待求式的结构特征，探寻规律，连续反复使用乘法公式； 有时根据需要创造条件，灵活应用公式.例 3 化简：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+

24、1)(2 8+ 1)+ 1.分析直接计算繁琐易错，注意到这四个因式很有规律，如果再增添一个因式“ 2-1” 便可连续应用平方差公式，从而问题迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1二(22 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1=216.例 4 计算：(2x -3y-1)( -2x-3y+5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符.于是可 创造条件一“拆”数：1=2 3, 5=2+ 3,使用公式巧解.解原式二(2x 3y3 + 2)( -2x-3y + 3 + 2)=(2 3y) + (2

25、x 3)(2 3y) - (2x 3)=(2-3y)2-(2x -3)2=9y2-4x2+ 12x-12y-5.第四层次变用：解某些问题时，若能熟练地掌握乘法公式的一些包等变形式，如 a2 + b2=(a+b)2 2ab, a3+b3=(a + b) 3 3ab(a+b)等,则求解十分简单、明快.例 5 已知 a+b=9, ab=14,求 2a2+2b2 和 a3+ b3 的值.解： va+ b=9, ab=14, . .2a2+2b2=2(a +b)22ab=2(9 2 2 14)=106,a3+b3=(a + b)33ab(a + b)=93 3 14 9=351第五层次综合后用 ：将(a

26、+b)2=a2+ 2ab+b2和(a b)2=a22ab+ b2综合，可得(a + b)2+(a b)2=2(a2+b2) ； (a+b)2 (ab)2=4ab；等，合理地利用这些公式处理某些问题显得新颖、简捷. 例 6 计算：(2x +yz+5)(2x y + z + 5).解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2- 1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x + 5)2 (y z) 2=4x2+ 20x + 25 y2+ 2yz z2六、正确认识和使用乘法公式1、数形结合的数学思想认识乘法公式:(a+b)(a-b)=a 2-b2式：(a+b) 2=a2+

27、2ab+b； (a-b) 2=a2ab+b2,可以运用数形结合的数学思想方法来区分它们。 假设a、b都是正数，那么可以用以下图形所示意的面积来认识乘法公式。如图1,两个矩形的面积之和(即阴影部分的面积)为 (a+b)(a-b),通过左右两图 的对照，即可得到平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b2;图2中的两个图阴影部分面积分别为 (a+b) 2与(a-b) 2,通过面积的计算方法，即可得到两个完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2 与(a-b) 2=a2-2ab+b2。J 提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。例 上运用乘法公式计算：(1) (

28、-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 2、解：(1) (-1+3x)(-1-3x)=-(1-3x)-(1+3x)=(1-3x)(1+3x)=12-(3x) 2=1-9x2. (2) (-2m-1) 2=-(2m+1) 2=(2m+1)2= 4m2+4m+1.改变顺序：运用交换律、结合律，调整因式或因式中各项的排列顺序，可以使公式 的特征更加明显.例2、运用乘法公式计算：(1)( a b1)(- b - 1 a );(2) (x-"2)(x 2+1/4)(x+1/2)3 443111a1111解：(1) (_a-_b )(- b - )=(- -b+ -a )(- -b

29、-a )2121 21 2a) = b -a 31692+1/4)3 443434311111=(b- -a )( b-+ a )=( b)-(43434(2) (x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2)= (x-1/2) )(x+1/2)(x=(x 2-1/4) (x2+1/4)= x 2-1/16.逆用公式将幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b),逆用积的乘方公式，得anbn=(ab)n,等等，在解题时常会收到事半功倍的效果。例3、计算：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2 ;(2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+

30、1/2) 2解：(1) (x/2+5) 2-(x/2-5) 2 =(x/2+5)+(x/2-5)(x/2+5)-(x/2-5)=(x/2+5+x/2-5)( x/2+5-x/2+5)=x - 10=10x.(2) (a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 2=(a-1/2)(a2+1/4) (a+1/2) 2=(a-1/2 ) (a+1/2) (a2+1/4) 2=(a 2-1/4 ) (a 2+1/4) 2=(a4-1/16 ) 2 =a8-a 4/8+1/256.合理分组：对于只有符号不同的两个三项式相乘，一般先将完全相同的项调到各 因式的前面，视为一组；符号相反的项放在后面，

31、视为另一组；再依次用平方差公式与完 全平方公式进行计算。2-(x+y) 2计算：(1) (x+y+1)(1-x-y);(2) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5).解：(1) (x+y+1)(1-x-y)=(1+x+y)(1-x-y)=1+(x+y)1-(x+y)=1=1-(x 2+2xy+y2)= 1-x 2-2xy-y 2.(3) (2x+y-z+5)(2x-y+z+5)=(2x+5+y-z)(2x+5-y+z)=(2x+5)+(y-z)(2x+5)-(y-z)=(2x+5) 2-(y-z) 2 =(4x 2+20x+25)-(y 2-2yz+z 2)=4x 2+20x+25-y 2+

32、2yz-z 2 = 4x 2-y 2-z 2+2yz +20x+25 .七、巧用公式做整式乘法整式乘法是初中数学的重要内容，是今后学习的基础，应用极为广泛。尤其多项式 乘多项式，运算过程复杂，在解答中，要仔细观察，认真分析题目中各多项式的结构特 征, 将其适当变化，找出规律，用乘法公式将其展开，运算就显得简便易行。一.先分组，再用公式例 1.计算：(a b c d)( a b c d)简析：本题若以多项式乘多项式的方法展开，则显得非常繁杂。通过观察，将整式 (a b c d)运用加法交换律和结合律变形为(b d) (a c)；将另一个整式 (a b c d)变形为(b d) (a c),则从其

33、中找出了特点，从而利用平方差公式即 可将其展开。解：原式(b d) (a c) b d a c(b d )2 (a c)2b2 2bd d 2 a 2 2ac c2二.先提公因式，加公式 例 2.“算：8x 4 4x24简析：通过观察、比较，不难发现，两个多项式中的x的系数成倍数，y的系数也成倍数,V而且存在相同的倍数关系，若将第一个多项式中各项提公因数2出来，变为2 4x y ,则可利用乘法公式。解:4原式2 4x4x y2 4 y 2 42 4x 432x2 y283 .先分项，再用公式例 3.计算： 2x 3y 2 2x 3y 6简析：两个多项中似乎没多大联系，但先从相同未知数的系数着手观察，不难发现， x的系数相同，y的系数互为相反数，符合乘法公式。进而分析如何将常数进行变化。若 将2分解成4与2的和，将6分解成4与2的和，再分组，则可应用公式展开。解：原式二(2x 4) (2 3y) 2x 42 3y(2x 4)22 3y 24x 2 16x 12 12 y 9 y 24 .先整体展开，再用公式例 4.计算：(a 2b)(a 2b 1)(a 2b) 1 ,再简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即 将第一个整式