DH坐标系建立学习课程

1、 在机器人中，通常有两类关在机器人中，通常有两类关节：转动关节和移动关节。不同节：转动关节和移动关节。不同于人类的关节，一般机器人关节于人类的关节，一般机器人关节为一个自由度的关节，其目的是为一个自由度的关节，其目的是为了简化力学、运动学和机器人为了简化力学、运动学和机器人的控制。转动关节提供了一个转的控制。转动关节提供了一个转动自由度，移动关节提供一个移动自由度，移动关节提供一个移动自由度，各关节间是以固定杆动自由度，各关节间是以固定杆件相连接的。件相连接的。 旋转关节有两种基本形式：旋转关节有两种基本形式：铰链和两杆的相对转动。铰链和两杆的相对转动。关关 节节第1页/共55页第一页，编辑于

2、星期五：十六点 四十分。杆杆 件件 机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械）。机器人杆件是连接两个关节的固定物体（机械）。机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与各相关末机器人杆件的主要目的是用来保持该关节与各相关末端关节一个固定的关系。机器人末端杆件只有一个关端关节一个固定的关系。机器人末端杆件只有一个关节，位于最接近末端（或机座）的位置。在最远离机节，位于最接近末端（或机座）的位置。在最远离机座的末端，通常是附加一个手爪。为了更容易、清楚座的末端，通常是附加一个手爪。为了更容易、清楚地解释一个机器人的末端和其各关节点的关系，课程地解释一个机器人的末端和其各关节点的关系，课程中只以有限的杆件

3、数作为研究讨论对象。实际上，为中只以有限的杆件数作为研究讨论对象。实际上，为了使得机器人更容易制造，类似的限制在机器人制造了使得机器人更容易制造，类似的限制在机器人制造中也使用。中也使用。第2页/共55页第二页，编辑于星期五：十六点 四十分。下面给出了八种类型的常见杆件构形下面给出了八种类型的常见杆件构形： 1) 两个平行的转动关节且在两个平行的转动关节且在两轴间没有扭转；连杆参数两轴间没有扭转；连杆参数ln连杆的长度；如果连杆的中心线被认连杆的长度；如果连杆的中心线被认作作x方向并且从关节方向并且从关节n-1到关节到关节n沿沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可以绕方向有一定距离，整个杆件可以

4、绕关节关节n-1转动转动 n角，该角认为是两角，该角认为是两连杆夹角并且这个角就是一般转连杆夹角并且这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认动关节的变量；同时关节轴被认为是为是z方向并且绕方向并且绕zn-1转动；转动；y轴由轴由右手定则确定。右手定则确定。 第3页/共55页第三页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线转轴轴线) (2) Xn-1：垂直两连杆公垂线：垂直两连杆公垂线xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参

5、数确定 (1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离； (2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角；的转角； (3) dn：两连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-1距离，距离，0； (4) n：两连杆间角度，：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕绕zn-1的转角，的转角， 变量。变量。第4页/共55页第四页，编辑于星期五：十六点 四十分。 2) 两个转动关节在空间形成两轴两个转动关节在空间形成两轴间间90的扭转；连杆参数的扭转；连杆参数ln连杆连杆的长度；如果连杆的中心线被认的长度；如果连杆的中心线被认作作x方向并且从关节方向并且从关

6、节n-1到关节到关节n沿沿xn-1方向有一定距离，整个杆件可方向有一定距离，整个杆件可以绕关节以绕关节n-1转动转动 n角，该角认为是角，该角认为是两连杆夹角，这个角就是一般转动关两连杆夹角，这个角就是一般转动关节的变量；同时关节轴被认为是节的变量；同时关节轴被认为是z方方向并且向并且绕绕zn-1转动；转动；y轴由右手定则确定。轴由右手定则确定。 第5页/共55页第五页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线转轴轴线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：

7、根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角， 90；(3) dn ：两连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-1距离，距离， 0；(4) n：两连杆间角度，：两连杆间角度，Xn-1 Xn绕绕Zn-1的转角，的转角，变量。变量。第6页/共55页第六页，编辑于星期五：十六点 四十分。 3) 两个转动关节相互交叉两个转动关节相互交叉垂直轴；两个关节转动轴相交，垂直轴；两个关节转动轴相交，连杆参数连杆参数ln=0；关节轴被认为是

8、；关节轴被认为是z方向；方向；x方向由两个方向由两个z轴确定，轴确定，y方向由右手定则确定；方向由右手定则确定；dn为为偏移值偏移值。 第7页/共55页第七页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交为的距离，两轴相交为0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角

9、n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn ：两连杆间偏置：两连杆间偏置：xn-1 xn沿沿zn-1距离，距离，dn；(4) n：连杆绕：连杆绕zn-1的转角，变量。的转角，变量。第8页/共55页第八页，编辑于星期五：十六点 四十分。 4) 两个转动关节相互垂直两个转动关节相互垂直并且重合；连杆参数并且重合；连杆参数ln=0；关；关节轴被认为是节轴被认为是z方向；方向；x方向由方向由两个两个z轴确定，轴确定， y方向由右手定方向由右手定则；则；dn为偏移值。原点由为偏移值。原点由n-1坐标系决定坐标系决定 第9页/共55页第九页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其

10、相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，90 ；(3) dn ：两连杆间距离：两连杆间距离：xn-1 xn沿沿zn-1移动距离，移动距离，0；(4) n：连杆绕：连杆绕zn-1的转角，变量。的转角，

11、变量。第10页/共55页第十页，编辑于星期五：十六点 四十分。 5) 两个移动柱关节相互垂两个移动柱关节相互垂直并相交；连杆参数直并相交；连杆参数ln=0；关；关节轴线方向是节轴线方向是z向；向；x向由向由z轴轴确定，确定， y方向由右手定则确方向由右手定则确定；定；dn 与与dn+1为柱关节变量。为柱关节变量。第11页/共55页第十一页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右

12、手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n：移动关节转角为：移动关节转角为0。第12页/共55页第十二页，编辑于星期五：十六点 四十分。 6) 一个转动关节和一个移一个转动关节和一个移动柱关节相互垂直并相交；连动柱关节相互垂直并相交；连杆参数杆参数ln=0；转动关节轴线方；转动关节轴线方向和移动关节移动方向是向和移动关节移动方向是z向；向；x

13、方向由方向由z轴确定，轴确定，y方向由右方向由右手定则确定；手定则确定；n为转动关节变为转动关节变量、量、dn+1为移动关节变量。为移动关节变量。第13页/共55页第十三页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两

14、关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，-90 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量，：移动关节移动变量，dn=偏置量；偏置量；(4) n：转动关节变量。：转动关节变量。第14页/共55页第十四页，编辑于星期五：十六点 四十分。 7) 一个移动柱关节和一一个移动柱关节和一个转动关节相互平行；连杆个转动关节相互平行；连杆参数参数ln=偏置量；关节轴线方偏置量；关节轴线方向是向是z向；向；x方向由方向由z轴确定，轴确定， y方向由右手定则；转动和移动方向由右手定则；转动和移动关 节 变 量 为关 节 变 量 为 n和和dn + 1。第15页/共55页第十五页，编辑于星期五：十六点

15、 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离；的距离；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，0 ；(3) dn+1 ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n：转动关节变量。：转动关节变量。第16页/共55页第十六页，编辑于星期五：十六点 四

16、十分。 8) 一个移动柱关节和一一个移动柱关节和一个转动关节相互垂直；连杆个转动关节相互垂直；连杆参数参数ln=0；关节轴线方向是；关节轴线方向是z向；向；x向由向由z轴确定，轴确定，y方向由方向由右 手 定 则 ；右 手 定 则 ；dn为 偏 移 值 。为 偏 移 值 。第17页/共55页第十七页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系及其相关参数确定：坐标系及其相关参数确定： 一、坐标系确定一、坐标系确定 (1) Zn-1的确定的确定(转轴轴线、柱轴方向线转轴轴线、柱轴方向线) (2) Xn-1、：xn -1=zn-1 zn (3) Yn-1 ：根据右手定则确定：根据右手定则确定 二、参数确

17、定二、参数确定(1) 连杆长度连杆长度ln：zn-1 zn沿沿xn-1的距离，两轴相交的距离，两轴相交0；(2) 两关节轴扭角两关节轴扭角 n： zn-1 zn绕绕xn的转角，的转角，90 ；(3) dn ：移动关节移动变量；：移动关节移动变量；(4) n+1：转动关节变量。：转动关节变量。第18页/共55页第十八页，编辑于星期五：十六点 四十分。2.8 D-H表示法表示法学习目标：学习目标：1 理解理解D-H法原理法原理 2 学会用学会用D-H法对机器人建模法对机器人建模学习重点：学习重点：1 给关节指定参考坐标系给关节指定参考坐标系 2 制定制定D-H参数表参数表 3 利用参数表计算转移矩

18、阵利用参数表计算转移矩阵第19页/共55页第十九页，编辑于星期五：十六点 四十分。一一 背景简介：背景简介： 1955年，年，Denavit和和Hartenberg提出了这一方法，提出了这一方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，后成为表示机器人以及对机器人建模的标准方法，应用广泛。应用广泛。 二二 总体思想总体思想 首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节首先给每个关节指定坐标系，然后确定从一个关节到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参到下一个关节进行变化的步骤，这体现在两个相邻参考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确定考坐标系之间的变化，将所有变化结合起来，就确

19、定了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方了末端关节与基座之间的总变化，从而建立运动学方程，进一步对其求解。程，进一步对其求解。第20页/共55页第二十页，编辑于星期五：十六点 四十分。1. 坐标系的确定坐标系的确定规则规则一一 关节，连杆命关节，连杆命名规则：第一个名规则：第一个关节指定为关节关节指定为关节n,第二个关节为第二个关节为n+1,其余关节以此类推。其余关节以此类推。连杆命名规则与关连杆命名规则与关节相同。节相同。坐标系的确定坐标系的确定第21页/共55页第二十一页，编辑于星期五：十六点 四十分。坐标系的确定规则坐标系的确定规则2. Z轴确定规则轴确定规则如果关节是旋转的，如

20、果关节是旋转的，Z轴位于按右手规则旋转的轴位于按右手规则旋转的方向，转角方向，转角 为关节变量。如果关节是滑动的，为关节变量。如果关节是滑动的，Z轴为沿直线运动的方向，连杆长度轴为沿直线运动的方向，连杆长度d为关节变量。为关节变量。关节关节n处处Z轴下标为轴下标为n-1。3. X轴确定规则轴确定规则情况情况1 两关节两关节Z轴既不平行也不相交轴既不平行也不相交取两取两Z轴公垂线方向作为轴公垂线方向作为X轴方向，命名规则同轴方向，命名规则同Z轴轴第22页/共55页第二十二页，编辑于星期五：十六点 四十分。X轴确定规则轴确定规则情况情况2：两关节：两关节Z轴平行轴平行此时，两此时，两Z轴之间有无数

21、条公垂线，可挑选与前一轴之间有无数条公垂线，可挑选与前一关节的公垂线共线的一条公垂线关节的公垂线共线的一条公垂线情况情况3：两关节：两关节Z轴相交轴相交取两条取两条Z轴的叉积方向作为轴的叉积方向作为X轴。轴。第23页/共55页第二十三页，编辑于星期五：十六点 四十分。Y轴及变量确定规则轴及变量确定规则4. Y轴确定原则轴确定原则取取X轴，轴，Z轴差积方向作为轴差积方向作为Y轴方向。（右手）轴方向。（右手）5. 变量选择原则变量选择原则用用 角表示绕角表示绕Z轴的旋转角，轴的旋转角，d表示在表示在Z轴上两条相轴上两条相邻的公垂线之间的距离，邻的公垂线之间的距离，a表示每一条公垂线的长表示每一条公

22、垂线的长度度(关节偏移关节偏移)，角，角 表示两个相邻表示两个相邻Z轴之间的角度轴之间的角度也叫关节扭转。通常情况下，只有也叫关节扭转。通常情况下，只有 和和d是关节变是关节变量。量。第24页/共55页第二十四页，编辑于星期五：十六点 四十分。 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标系的标准运动我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变我们可以通过以下几个运动，将一个参考坐标系变换到下一个参考坐标系。换到下一个参考坐标系。1 绕绕Zn轴旋转轴旋转 ，它使得它使得Xn+1和和Xn互互相平行相平行1n第25页/共55页第二十五页，编辑于星期五：十六点 四十分。 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标

23、系的标准运动2 沿沿Zn轴平移轴平移dn+1距离，距离，使得使得Xn和和Xn+1共线共线3 沿沿Xn轴平移轴平移an+1的距离，使的距离，使Xn和和Xn+1的原点重合。的原点重合。第26页/共55页第二十六页，编辑于星期五：十六点 四十分。 到达下一坐标系的标准运动到达下一坐标系的标准运动4 将将Zn轴绕轴绕Xn+1轴旋转轴旋转 ，使得，使得Zn轴与轴与Zn+1轴对准。轴对准。1n这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系这样就实现了从一个坐标系变换下一个坐标系第27页/共55页第二十七页，编辑于星期五：十六点 四十分。列出变换矩阵列出变换矩阵 由于所有的运动都是相对于当前坐标系而言的。由于所有

24、的运动都是相对于当前坐标系而言的。因此，总的变换矩阵因此，总的变换矩阵A等于各变换矩阵右乘。等于各变换矩阵右乘。从而得到的结果如下：从而得到的结果如下：10000),()0 , 0 ,(), 0 , 0(111111111111111111111),(111nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnznnndCSSSCCCSCaSSCSCAxRotaTransdTransRotATn以此类推，总的变换矩阵为：以此类推，总的变换矩阵为：nHRAAAAT321第28页/共55页第二十八页，编辑于星期五：十六点 四十分。D-H参数表参数表通过原理图确定各参数，制定通过原理图确定各参数，制定D-H参数

25、表如下：参数表如下：#da1 23456将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一步将各参数带入矩阵方程即可得到运动学方程，进一步求解。求解。第29页/共55页第二十九页，编辑于星期五：十六点 四十分。例2.11 如图，已知一两杆机构，两杆长分别为l1、l2，转角变量为 、 ，1)确定零位置；2) 建立连杆坐标系3)确定参数； 4) 确定工作空间12第30页/共55页第三十页，编辑于星期五：十六点 四十分。例2.12 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆长为l2，转角变量为， ：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间12第31页/共55页第三十一页，编辑于星期五：十

26、六点 四十分。例2.13 如图，已知一两杆机构，一杆偏置为d1、二杆偏置为d2，变量为， d2 ：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间1第32页/共55页第三十二页，编辑于星期五：十六点 四十分。例2.14 如图，已知一两杆机构：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间第33页/共55页第三十三页，编辑于星期五：十六点 四十分。例2.15 如图，已知一两杆机构：1) 建立连杆坐标系；2) 确定参数； 3) 确定工作空间第34页/共55页第三十四页，编辑于星期五：十六点 四十分。例例 题题 2.19对下图所示简单机器人，根据对下图所示简单机器人，根据D-H

27、法，建立必要坐法，建立必要坐标系及参数表。标系及参数表。第35页/共55页第三十五页，编辑于星期五：十六点 四十分。第一步：根据第一步：根据D-H法建立坐标系的规则建立坐标系法建立坐标系的规则建立坐标系 第36页/共55页第三十六页，编辑于星期五：十六点 四十分。第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第二步：将做好的坐标系简化为我们熟悉的线图形式第37页/共55页第三十七页，编辑于星期五：十六点 四十分。第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入第三步：根据建立好的坐标系，确定各参数，并写入D-H参数表参数表#da1009020030040-905009060001234562a3

28、a4a第38页/共55页第三十八页，编辑于星期五：十六点 四十分。第四步：将参数代入第四步：将参数代入A矩阵，可得到矩阵，可得到10000010000011111CSSCA1000010000222222222aSCSaCSCA1000010000333333333aSCSaCSCA1000001000444444444aSCSaCSCA10000010000055555CSSCA10000100000066666CSSCA第39页/共55页第三十九页，编辑于星期五：十六点 四十分。第第5步步 求出总变化矩阵求出总变化矩阵1000)()()()()()()()(2232342345234623

29、4652346523422323423415152341651623465234165162346523412232342341515234165162346523416516234652341654321aSaSaSSSCCCCSCCSaCaCaCSCCSCSSSCCSCCCSSSCSSCCCSaCaCaCCCSSCCSSSCSCCCCCSSSSCCCCAAAAAATHR第40页/共55页第四十页，编辑于星期五：十六点 四十分。思考题思考题第41页/共55页第四十一页，编辑于星期五：十六点 四十分。2.9 机器人的逆运动学解机器人的逆运动学解654321AAAAAATHR让我们通过下面这道例

30、题来了解一下机器人逆运动学求解让我们通过下面这道例题来了解一下机器人逆运动学求解的一般步骤。例的一般步骤。例2.19最后方程为最后方程为1000zzzzyyyyxxxxHRpaonpaonpaonT求逆运动学方程的解求逆运动学方程的解第42页/共55页第四十二页，编辑于星期五：十六点 四十分。 根据第根据第3行第行第4列元素对应相等可得到列元素对应相等可得到依次用依次用 左乘上面两个矩阵，得到：左乘上面两个矩阵，得到：11A10000100056565223234234523462346523462346523422323423452346234652346234652341111111111

31、111111CSSCSaSaSaSSSCCCCSSCCCSaCaCaCSCCSCCCSSCCCCPSPCaSaCoSoCnSnpaonSPCPSaCaSoCoSnCnyxyxyxyxzzZzyxyxyxyx180)arctan(111和xypp第43页/共55页第四十三页，编辑于星期五：十六点 四十分。根据根据1，4元素和元素和2，4元素，可得到：元素，可得到：将上面两个方程两边平方相加，并利用和差将上面两个方程两边平方相加，并利用和差化积公式得到化积公式得到322322242342423411332322322)()(cosaaaaaSpaCSpCpCCCSSzyx于是有：223234234

32、22323423411aSaSaSpaCaCaCSpCpzyx第44页/共55页第四十四页，编辑于星期五：十六点 四十分。已知已知2331 CS于是可得到：于是可得到：333arctanCS依次类推，分别在方程依次类推，分别在方程2.19两边左乘两边左乘A1A4的逆，的逆，可得到可得到第45页/共55页第四十五页，编辑于星期五：十六点 四十分。100000001000)()()()(0)()()()(665656556565342342341123423411234234112342341123411111143423423411234234112342341123423411234CSCSS

33、CSSSCCCaSaSpCPSPCSaCaSaCSoCoSoCSnCnSnCSaSaCoSoCnSnCaaCaCpSpSpCCaSaSaCCoSoSoCCnSnSnCCzyxzyxzyxzyxxyxyxyzyxxyxzyxzyx机器人的逆运动学解zyxyxzaaSaaSaCa)CSC180)arctan(1123423423423411234（和第46页/共55页第四十六页，编辑于星期五：十六点 四十分。这样，这样， 就可以计算出来了，接下来再一次利用式就可以计算出来了，接下来再一次利用式由于由于C12=C1C2-S1S2以及以及S12=S1C2+C1S2，最后得到：，最后得到：3机器人的逆运

34、动学解yxzyxxyzyxzyxyxzaCaSaSaSaCCaSaCCaSaSaaSpaSaCSpCpaaCaCSpCpaSaSpaaC112341123451152341123453223444234334234112334234113342342332)(arctan)CCS)()()()(arctan（，可以得到再根据对应项元素相等进而可得：22323423422323423411aSaSaSpaCaCaCSpCpzyx第47页/共55页第四十七页，编辑于星期五：十六点 四十分。最后用最后用A5的逆左乘式的逆左乘式2.67，再利用，再利用2,1元素和元素和2,2元素，元素，得到：得到：zyxzyxoCoSoCSnCn