抛物线的简单几何性质

1、1 抛物线的简单几何性质（45分钟100分）一、选择题（每小题6分，共30分）1. （2013济宁高二检测）设抛物线y2=12x的焦点为F,点P在此抛物线上且横坐标为5,则|PF等于（）2. （2013宜春高二检测）抛物线顶点在原点,焦点在y轴上，其上一点P（m, 1）到 焦点的距离为5,则抛物线方程为（）B. x2=-8yDx：=-16y3. （2013四川高考）抛物线y2=8x的焦点到直线x-错误!未找到引用源。y=0的 距离是（）A. 2错误!未找到引用源。B. 2C.错误!未找到引用源。D. 14. （2013冀州高二检测）设F为抛物线y：=2px（p0）的焦点,A, B, C为该抛物

2、线上 三点，当错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二0,且I错误!未找到引用源。1 + 1错误!未找到引用源。1+错误!未找到引用源。1=3时，此抛物线的方程为（）A. y=2xCy=6x5.点A是抛物线G:y咯2px （p0）与双曲线 3 错误!未找到引用源。 -错误味找到 引A. x=8yC. x2=16yB. y=4xD. y2=8x-7 -用源。=l（a0,b0）的一条渐近线的交点，若点A到抛物线G的准线的距离为-7 -P,则双曲线c：的离心率等于（A.错误!未找到引用源。二、填空题（每小题8分，共24分）6. （2013安阳高二检测）经过抛物线y二错误!未找

3、到引用源。扌的焦点作直线交抛物线于A（xi, yi）,B （x2, y2）两点，若刃+y尸5,则线段AB的长等于_ .7.己知点（-2, 3）与抛物线y:=2px（p0）的焦点的距离是5,则p二_.8. （2013天水高二检测）AB是过C:y2=4x焦点的弦，且AB|=10,则AB中点的横坐标是_三、解答题（9题，10题14分,11题18分）9.若抛物线的顶点在原点， 开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物 线上一点，且|AM|二错误!未找到引用源。，AF|=3,求此抛物线的标准方程.10.直角AA0B的三个顶点都在抛物线y-2px上,其中直角顶点0为原点,0A所在 直线的方程为尸

4、错误!未找到引用源。x,AA0B的而积为6错误!未找到引用源。, 求该抛物线的方程.11.（能力挑战题）如图，己知直线/：y=2x-4交抛物线y-4x于A, B两点，试在抛物线A0B这段曲线上求一点P,使APAB的面积最大，并求出这个最大面积.）B.错误!未找到引用源。C.错误!未找到引用源。D.错误!未找到引用源。4 答案解析1.【解析】选C.yJl2x中，p二6,由焦半径公式得|PF|=Xp+错误!未找到引用源。二5+错误!未找到引用源。二8.2.【解题指南】运用焦半径公式.【解析】选C.由条件可知，抛物线开口向上，设抛物线方程为x2=2py (p0)，由1 +错误!未找到引用源。二5./

5、.p=8,故抛物线方程为x2=16y.3.【解析】选D.根据点到直线的距离公式，可得抛物线y2=8x的焦点(2,0)到直线x-错误!未找到引用源。y二0的距离d二错误!未找到引用源。4.【解题指南】利用向量的性质及焦半径公式求解.【解析】选A.设Ag, yt),B(X2,y2), C (x3, y3),错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。二0,(x厂错误!未找到引用源。)+(X2-错误!未找到引用源。)+(X3-错误!未找到引用 源o )=0,-5-即Xi+X2+X3=错误!未找到引用源。p.又I错误!未找到引用源。I + I错误!未找到引用源。I + I错误!未找

6、到引用源。|=3,幺+错误!未找到引用源。)+(X2+错误！ 未找到引用源。)+(X#错误!未找到引用 源。 )二3,即3p=3,/.p=1,故抛物线方彳呈为y-2x.5.【解析】 选C.求抛物线C1:y2=2px (p0)与双曲线C2：错误!未找到引用源。 -错 误!未找到引用源。=1 (a0, b0)的一条渐近线的交点：错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。所以错误!未找到引用源。二错 误!未找到引用源。，cJ5a；e二错误!未找到引用源。，选C.【变式备选】(2013南安高二检测)双曲线错误!未找到引用源。-错误!未找到 引用源。 二1(a0,b0)的右焦点是抛物线y2=8x的焦点

7、， 两曲线的一个公共点为P,且|PF|二5,则该双曲线的离心率为( )A.错误!未找到引用源。B.错误!未找到引用源。C.2D.错误!未找到引用源。【解析】选C.抛物线的准线为x=-2,设P(xo, y0),则x+2二5,Ax0=3,错误！未找到引用源。=24.错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。.离心率e二错误!未找到引用源。=2.6.【解题指南】利用焦点弦的弦长公式，即yi+y2+p.6 【解析】抛物线y二错误!未找到引用源。X：即x4y的准线方程为y=-1,| AB |二 |AF | +1BF | =y1+y2+2=5+2=7.答案：77.【解析】yJ2px(p0)的焦点为(错误

8、!未找到引用源。，0).由题意得错误！未找到引用源。二5,解得p=4或p=-12(舍去).答案:4【误区警示】容易把点(-2, 3)看成抛物线上的点，使用焦半径公式，而导致出错.8.【解题指南】利用焦点弦公式.【解析】设A(xbyi),B(x2, y2),则AB的中点的横坐标XF错误!未找到引用源。. 又抛物线的准线方程为x=-1,且|AB| = 0,Xi+x2+p=Xi+x2+2=*l 0.X2二&错误!未找到引用源。二4.答案:49.【解析】设所求抛物线的标准方程为x2=2py (p0),设A (xo, yo) ,M (0, -错误!未找到引用源。).V|AF|=3,yo+错误!未

9、找到引用源。=3,|AM|二错误！未找到引用源。，错误!未找到引用源。+(y+错误！未找到引用源。)J17,错误!未找到引用源。二&代入方程错误！未找到引用源。二2py。得，8=2p (3-错误!未找到引用源。)，解得p二2或p=4.所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y.-7-10.【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标，从而求出|0A|和|0B|,利用面积公式求出P即可.【解析】 因为0A丄0B,且0A所在直线的方程为y二错误!未找到引用源。x,所以0B所在直线的方程为y二-错误!未找到引用源。x.由错误!未找到引用源。得A点坐标(错误!未找到引用源。，错误!未找到引用

10、源。)，由错误!未找到引用源。得B点坐标(6p, -2错误!未找到引用源。p).|0A|二错误!未找到引用源。|p|,|OB|二4错误!未找到引用源。|p|,SWB二错误!未找到引用源。pJ6错误!未找到引用源。 ， 所以p二土错误!未找到引 用源。.即该抛物线的方程为y2=3x或yJ-3x.【拓展提升】抛物线中恒过定点问题过抛物线yJ2px(p0)的顶点任作两条互相垂直的直线0A和0B,则直线AB恒 过定点(2p,0).【举一反三】若本题中0A的直线方程为y=kx, AAOB的面积为6错误！未找到 引用源。”去掉，证明AB恒过定点(2p,0).【证明】由错误!未找到引用源。得A的坐标为(错误

11、!未找到引用源。，错误!未 找到引用源。)，TOA丄OB,0B的直线方程为y二-错误!未找到引用源。x.由错误！未找到引用源。得B的坐标为(2pk2, -2pk)k沪错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。，AB的方程为y+2pk二错误!未找到引用源。(x-2pk2), 8 整理得k(x-2p) + (k2-1)y=0.由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。故直线恒过定点(2p,0).门. 【解题指南】 先求出弦长|AB|,再求出点P到直线AB的距离， 从而可表示出APAB的面积，再求最大值即可.【解析】由错误!未找到引用源。解得错误!未找到引用源。或错误!未找到引用 源。A(4,4),B(1,-2),A I AB | =3错误!未找到引用源。，设P (x0, y0)为抛物线AOB这段曲线上一点,d为点P到直线AB的距离，则有d二错误!未找到引用源。二错误!未找到引用源。|错误!未找到引用源。-y0-4|二错误!未找到引