勾股定理-学案

1、学习必备欢迎下载勾股定理适用学科中学数学适用年级中学二年级适用区域全国课时时长（分钟） 120 分钟学问点1、 勾股定理2、 勾股定理的逆定理学习目标1、 把握勾股定理的概念2、 娴熟把握勾股定理及其逆定理，并能娴熟应用学习重点1、 勾股定理的概念2、 勾股定理的应用与其逆定理的应用是考试的重点；学习难点娴熟应用勾股定理及其逆定理学习过程一、复习预习勾股定理是三角形中的一个重点学问，也是数学中的一个很重要、很常用的一个学问点；另外，勾股定理及其逆定理的运用也是解决直角三角形的问题种常用到的一种方法，同学要娴熟把握勾股定理的使用；二、学问讲解考点/ 易错点 1勾股定理的概念与应用概念：假如直角三

2、角形的两直角边长分别为a， b，斜边长为c ，那么 a 2b 2c 2留意：1 、学习并把握勾股定理的含义，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；2、在进行运算时， 要能够娴熟的进行精确的运算，熟记常用的数的平方和常见的勾股数；有 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13 等.考点/ 易错点 2勾股定理的逆运用定义：假如三角形三边长a,b,c满意 a 2b 2c 2 ；，那么这个三角形是直角三角形；勾股定理是直角三角形中的一个重要的学问点，在勾股定理的学习中，要把握其含义与应用， 要能依据勾股定理求出其它未知量；另外， 勾股定理的逆定理是证明一个三角形是否为直角三角形的一种常用的方法

3、；三、例题精析【例题 1】学习必备欢迎下载【题干】 在始终角三角形中有两边长分别是3、4，就其第三边长为【答案】【解析】 注意分类讨论 ；4既可以是直角边又可以是斜边，分两种情况讨论【例题 2】【题干】 印度数学家拜斯迦罗（公元 1114 1185 年）的著作中， 有个好玩的“荷花问题”，是以诗歌的形式显现的：湖静浪平六月天，荷花半尺出水面；忽来一阵狂风急，吹倒花儿水中偃.湖面之上不复见，入秋渔翁始发觉；残花离根二尺遥 ，试问水深尺如干？问题：这是一道数学诗，你能读懂诗意，求出水深是多少尺吗？【答案】 设水深为x 尺，就荷花高为（x+0.5）尺，如图形成直角三角形xx+0.5222x由勾股定理

4、可列方程：x2 x0.5，解之： x=3.752【解析】 此题只要是将实际问题转化为数学问题【例题 3】222【题干】已知：在 abc中， a、 b、 c的对边分别是a、b、c ，满意 a +b +c+338=10a+24b+26c；试判定 abc的外形；【答案】【解析】 移项，配成三个完全平方；三个非负数的和为0，就都为 0；已知 a、b、c ，利用勾股定理的逆定理判定三角形的外形为直角三角形；【例题 4】【题干】 已知：在 abc中， a、 b、 c 的对边分别是a、b、c，a=n2 1， b=2n， c=n2=nn1（ n 1）求证： c=90°；【答案】 由于 a22+b =

5、 （ n2 1） 2（ 2n） 24 2n21， c2=（ n2 1） 2=4 2n2 1，从而学习必备欢迎下载2a +b22，从而得知 abc为直角三角形，进而c=90°，故命题获证=c【解析】 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：先判定那条边最大；分别用代数方法运算出a2+b2 和 c2 的值；判定a2+b2 和 c2 是否相等，如相等，就是直角三角形；如不相等，就不是直角三角形；要证 c=90°，只要证 abc是直角三角形，并且c 边最大；依据勾股定理的逆定理只要证明a2+b2=c2 即可；由于 a222 1）2（2n）242n2 1，c22

6、1）24 2n2 1，从而 a222，+b =（ n故命题获证；=n=（ n= n+b =c【例题 5】【题干】 已知：如图，在abc 中， cd 是 ab 边上的高，且cd2=ad·bd； 求证： abc是直角三角形；【答案】 ac2=ad2+cd2， bc2=cd2+bd2 ac2+bc2=ad2+2cd2+bd222=ad +2ad· bd+bd=（ ad+bd） 2=ab2【解析】 勾股定理逆定理的应用【例题 6】【题干】 如图， 已知四边形abcd中， b=90 °，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四边形abcd的面积 .22222【答案】

7、解：连接ac，在 rt abc中， ac=abbc=3 4 =25， ac=5. 在 acd 中， ac 2 cd2=25 122=169，而 ab 2=132=169， ac2 cd2=ad2， acd=9°0 故 s 四边形 abcd=sabc sacd=ab· bcac·cd=×3×4×5×12=6 30=36.答：四边形abcd的面积为： 36.【解析】 依据题目所给数据特点，联想勾股数，连接ac，可实现四边形向三角形转化，并学习必备欢迎下载运用勾股定理的逆定理可判定acd是直角三角形 .【例题 7】【题干】 如下图

8、，南北向mn为我国领域，即mn以西为我国领海，以东为公海. 上午 9 时 50分，我反走私a 艇发觉正东方向有一走私艇c 以 13 海里 / 时的速度偷偷向我领海开来，便立刻通知正在mn线上巡逻的我国反走私艇b. 已知 a、c两艇的距离是13 海里， a、b 两艇的距离是 5 海里； 反走私艇测得离b 艇的距离是12 海里 . 如走私艇c 的速度不变， 最早会在什么时间进入我国领海？0【答案】 设 mn交 ac于 e，就bec=9. 0又 ab2+bc2=52+122=169=132=ac2，0 abc是直角三角形， abc=90 .又 mnce，走私艇c 进入我领海的最近距离是线段ce的长，

9、2222就 ce+be=144，（ 13-ce） +be=25，得 26ce=288，ce=，÷13=0.85 （小时） ， 0.85 ×60=51（分） .9 时 50 分+51 分=10 时 41 分.答：走私艇最早在10 时 41 分进入我国领海.【解析】 为减小摸索问题的“跨度”，可将原问题分解成下述“子问题”：（ 1） abc是什么类型的三角形？（2）走私艇 c 进入我领海的最近距离是多少？（3）走私艇 c 最早会在什么时间进入？这样问题就可迎刃而解.【例题 8】【题干】 如图， ab 为一棵大树，在树上距地面10m 的 d处有两只猴子，它们同时发觉地面上的 c

10、处有一筐水果，一只猴子从d 处上爬到树顶a 处，利用拉在a 处的滑绳ac，滑到 c处，另一只猴子从d 处滑到地面b，再由 b 跑到 c，已知两猴子所经路程都是15m，求树高 ab.学习必备欢迎下载【答案】 解：设 ad=x米，就 ab为（ 10+x）米， ac为（ 15- x）米， bc为 5 米，222x+10+5 =15-x，解得 x=2 ， ab=10+x=12（米）答：树高ab为 12 米；【解析】 勾股定理的应用四、课堂运用【基础】1. 如图， e、f 分别是正方形abcd中 bc和 cd边上的点，且ab=4， ce=bc， f 为 cd的中点，连接af、ae，问 aef是什么三角形

11、？请说明理由.2. 如图，矩形oabc的边 oa长为 2，边 ab 长为 1，oa在数轴上，以原点o为圆心，对角线ob的长为半径画弧，交正半轴于一点，就这个点表示的实数是（）a、2.5b、22c、3d、53. 如图，在 rt abc中， acb=90 °点， d 是斜边 ab的中点， de ac，垂足为 e，如 de=2， cd=25 ，就 be的长为学习必备欢迎下载4. 如图 , 在直角梯形abcd中，ab cd,ad dc,ab=bca,e且bc. 求证： ad=ae； 如 ad=8， dc=4，求 ab的长 .【巩固】1. 如下列图，有一块塑料模板abcd，长为 10 ，宽为4

12、 ，将你手中足够大的直角三角板 phf的直角顶点p 落在 ad边上 不与 a、d 重合 并在 ad上平行移动：能否使你的三角板两直角边分别通过点b 与点 c？如能，请你求出这时ap的长；如不能，请说明理由.再次移动三角板位置，使三角板顶点p 在 ad上移动，直角边ph始终通过点b， 另始终角边pf 与 dc的延长线交于点q，与 bc交于点 e，能否使 ce=2？如能， 请你求出这时ap的长；如不能，请说明理由.2. 如图，矩形abcd的对角线ac=10， bc=8，就图中五个小矩形的周长之和为（）a、14b、 16c、20d、 28学习必备欢迎下载23. 矩形 abcd的对角线相交于点o，ab

13、=4cm，aob=60 °，就矩形的面积为cm4.【拔高】1. 如图，在a中bc，acb=90 °a，c=bc， p 是abc内的一点，且pb=1，pc=2， pa=3，求 bpc的度数2. 如下列图， 圆柱的底面周长为6cm，ac是底面圆的直径，高 bc 6cm ，点 p 是母线 bc上一点且pc 23bc 一只蚂蚁从a 点动身沿着圆柱体的表面爬行到点p 的最短距离是（）a（ 46 ） cm b 5cmc 35cmd 7cm3. 如图梯形abcd中，ad bca、b cd，ac丄 bd于点 o，bac 60 °，如bc6 ，就此梯形的面积为（）学习必备欢迎下载a

14、、2b、13c、26d、234. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图 1）图 2 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形abcd，正方形 efgh，正方形 mnkt的面积分别为s1，s2，s3，如 s1+s2+s3=10，就 s2 的值是 103课程小结2221勾股定理的逆定理：假如三角形的三边长a、b、c 满意 a b c是直角三角形，那么这个三角形2222. 满意 a +b =c用的勾股数的三个正整数， 称为勾股数 勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数 常有 3、4、5； 6、 8、10； 5、12、 13 等.3. 应

15、用勾股定理的逆定理时，先运算较小两边的平方和，再把它和最大边的平方比较.4. 判定一个直角三角形，除了可依据定义去证明它有一个直角外，仍可以采纳勾股定理的逆定理，即去证明三角形两条较短边的平方和等于较长边的平方，这是代数方法在几何中的应用.课后作业【基础】1. 如下列图，四边形abcd中，dc abb，c=1， ab=ac=ad=2 就 bd的长为（）学习必备欢迎下载a.14b.15c.32d.232. 如图， 在直角三角形abc中， c=90 °，ab=10，ac=8，点 e、f 分别为 ac和 ab的中点，就 ef=（）a、3b、4c、5d、63. 如图，在rt abc中，c=9

16、0 °，如bc=3， ac=4，就 ab 的长是54.如图，在a中bc，ad bc，垂足为d，b=60 °，c=45 °（1）求 bac的度数（2）如 ac=2，求 ad的长【巩固】1. 已知小龙、阿虎两人均在同一地点，如小龙向北直走160 公尺，再向东直走80 公尺后，可到神仙百货，就阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340 公尺？（）a、100b、180c、220d、260学习必备欢迎下载2. 如下列图，在矩形abcd中， ab=， bc=2，对角线ac、bd 相交于点o，过点 o 作 oe垂直 ac交 ad于点 e，就 ae的长是（）a、b、c、1d、1.53. 如图，等腰梯形abcd中，ad bca，b=dc，ad=3，ab=4， b=60 °就，梯形的面积是 （）a、103b、203c、6+43d、12+834. 如图，在等腰直角三角形abc中，abc=90 °d，为 ac边上中点，过d点 de丄 df，交 ab于 e，交 bc于 f，如 ae=4， fc=3，求 ef 长【拔高】1. 一个长方体的三视图如下列图，如其俯视图为正方形，就这个长方体的表面积为（）a 66b 48c 48236d 573 2左视图4主视图俯视图学习必备欢迎下载2. 如图， 由四个边