高二数学必修4(B版)_求三角函数最值的方法

1、1 / 5求三角函数最值的方法三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点， 不易让学生掌握， 它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。 求函数的最值是历届高考数学考查的热点之一，以三角函数为载体的问题已成为高考中的热点问题。一、一角一次一函数形式在学习了三角函数的内容以后可以知道，要求关于三角函数最值只能转化到bxay)sin(或者bxaybxay)tan(,)cos(这种形式才可以求其最值，我把这种形式称为“一角一次一函数形式”。例1：求xxycos3sin的最值。解：)cos23sin21(2cos3sinxxxxy)3sincos3c

2、os(sin2xx)3sin(2x当kx223即zkkx,26时，2maxy当kx223即zkkx,265时，2maxy变式1：再加上2,0 x是，结果如何？在化到 y)3sin(2x时，32,66,2,0 xx1 ,21)3sin(x，2, 1y. 变式2: 求函数xxxxycossincossin，12,12x的最值 . 解：)4tan(1tan1tanxxxy，3,64,12,12xx2 / 5当12x时，33miny；当12x时，3maxy. 变式3：4sin2323cossin41)(222xxxxf，3,4x， 求)(xf的最大值与最小值 . 解：（先观察角之间的关系，最好能转化为

3、同角，然后看同角是三角函数的次数，在化为同一个函数名）2)22cos(123232cos41)(xxxfxx2cos412sin4383)62sin(2183x.65,3262,3,4xx当4x时，.83)(minxf当3x时，.823)(maxxf在这个解题过程中， 运用到了转化思想， 化归到我们已经学习过的三角函数中去，通过一些倍角公式，与同角合并公式)sin(cossin22xbaxbxa, )(tanab的转化，把它转化到 “一角一次一函数形式”，此时对于同一个角度是同次的。所以说把xbxaycossin化成)sin(xay的形式是解决问题普遍方法二、一角二次一函数形式当三角函数转化为

4、“一角一次一函数形式”有困难的时候，该如何呢？例2 求函数472cossincos2xxxy的最值 . 分析：先观察这个解析式可知， 对于同一个角而言， 不是同次时转化不到 “一角一次一函数形式” 时，肯定对同角而言是一次与二次的，所以有可能化归到二3 / 5次函数去。解：471cos2cos1cos22xxxy47coscos2xx221cos2x41,2minmaxyy变式1：求2cos2sinxxy的最值 . 解：4)cos(sin2cossinxxxxy4)4sin(222sin21xx4)4sin(2222cos21xx4)4sin(22)4(sin21212xx27)4sin(22

5、)4(sin2xx232)4sin(2x当1)4sin(x即zkkx,24时，2229miny，当1)4sin(x即zkkx,243时，2229miny. 此题这样做在思考上有一定的困难，但是我们可以思考到xxcossin与xxcossin是有关联的，xxxxcossin1cossin2，由此可设xxtcossin)4sin(2x2,2，232212722122ttty，由此化归到了一元二次函数，比上面的思维应该简单一点。 所以以后见到xxcossin与xx cossin同时出现时， 借助它们之间的联系用 换元法 。利用一些三角公式进行变量替换，是求三角最值的一种常用技巧。对同一个角，有一次，

6、两次出现，一般都可以转化到“一角二次一函数形式 ” 。三、利用有界性（1sin1，1cos1）三角函数中还有很多最值问题并不可以有上面两种方法解决，就有下面的例题来展示：4 / 5例3 求函数2sinsin3xxy的值域 . 分析：不能转化到“一角一次一函数”与“一角二次一函数”这两种形式，但与我们以前所学的求11xxy的最值，联系比较密切，借助分离变量或者说是反表示解决这一题目。解：2sinsin3xxy32sinyyx，因为1sin1x, 所以1321yy. 由此可得333y，函数的值域为33,3. 解二：2sin3232sin3xxy2sin323x，1sin1x32sin1x3322s

7、in3232xy33,3（用变量分离的方法更简便）变式1：求函数2sincos3xxy的值域 . 解：由题意得yxxy2cos3sin，所以为其中(2)sin(32yxy)辅助角，32)sin(2yyx，1sin1x13212yy11y解得：所以函数的值域为1 , 1. 解二：（此题还可以与几何图形相联系）由题意得)2(sin0cos2sincos3xxxxy设点)0,2(),cos,(sinqxxp， 则)2(sin0cosxx可以看成是单位圆上的动点p与点 q 连线的斜率，有图象可得331k，332kx q o p2 p1 y 5 / 533333y11y这个代数问题通过解析几何解决了，体现了数形结合的数学思想。这些过程中主要是让学生在学习的过程中，要会与以前所学知识的联系，把新的问题化归或转化到已经学过的知识中去。这就要求要把知识的传授和能力的培养相结合， 注重数学思想方法的教学， 而学生们一旦掌握了一种新的数学思想和方法，思维就提高到一个新的层次，解答数学问题的能力就有较大的提高，因为“数学的精神和本质在于它的思想和方法”。在这个求三角函数最值基本的过程中，让