初中数学竞赛精品标准教程及练习12：用交集解题

1、中考数学复习资料，细心整编吐血举荐, 如如有用请打赏支持，感谢不尽！初 中数学竞赛精品标准教程及练习（12） 用交集解题一、内容提要1某种对象的全体组成一个集合；组成集合的各个对象叫这个集合的元素； 例如 6 的正约数集合记作 6 的正约数 1，2，3，6，它有 4 个元素 1，2，3，6；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作除以3 余 1 的正整数 1，4，7，10，它的个元素有很多多个；2由两个集合的全部公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的交集例如 6 的正约数集合a 1，2，3，6， 10 的正约数集合b 1， 2， 5， 10，6 与 10 的公约数集合 c 1，2，集合

2、 c 是集合 a 和集合 b 的交集；3几个集合的交集可用图形形象地表示，正正整数整数集右图中左边的椭圆表示正数集合，集数集右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集正整数集；不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集；例如不等式组2x6x212解的集合就是不等式（ 1）的解集 x>3 和不等式（ 2）的解集 x2 的交集， x>3.如数轴所示：0234一类问题， 它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答； 把符合每个条件的全部的解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案；有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其

3、他条件逐一挑选、剔除，求得答案；（如例 2）二、例题例 1. 一个自然数除以3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值；解：除以 3 余 2 的自然数集合a 2，5，8，11， 14，17，20，23，26，除以 5 余 3 的自然数集b 3， 8， 13，18，23， 28，除以 7 余 2 自然数集合c 2， 9， 16，23，30，集合 a、b、c 的公共元素的最小值23 就是所求的自然数；例2.有两个二位的质数，它们的差等于6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数；解：二位的质数共21 个，它们的个位数字只有1，3，7，9，即符合条件的质数它们的个位数的集合是

4、 1，3，7，9；其中差等于6 的有： 1 和 7；3 和 9；13 和 7，三组；平方数的个位数字相同的只有3 和 7；1 和 9 二组；同时符合三个条件的个位数字是3 和 7 这一组故所求质数是： 23，17；43，37；53，47；73，67 共四组；例3.数学爱好小组中订阅a 种刊物的有28 人，订阅 b 种刊物的有21 人，其中6 人两种都订，只有一人两种都没有订，问只订a 种、只订b 种的各几人？数学爱好小组共有几人？解：如图左、右两椭圆分别表示订阅a 种、b 种刊物的人数集合， 就两圆重叠部分就是它们的交集（a、b两种都订的人数集合） ；只订 a 种刊物的人数是286 22 人；

5、 a 28b 21只订 b 刊物的人数是21 615 人；只aab只b小组总人数是22 156144 人；设 n，n（a）， n（ b），n（ab）， n22615分别表示总人数，订a 种、b 种、ab两种、都不订的人数，就得公式一 n n + n（ a） +n（b） n（ ab）；例4.在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有24 人，篮 球有 18 人，排球有10 人，同时会玩乒乓球和篮球的有6 人，同时会玩乒乓球和排球的有4 人，三种球都会的只有1 人，问：有多少人只会打乒乓球同时会打篮球和排球只会打排球？解：仿公式一 , 得公式二：n n + n（a）+n（ b） +ncn（ab） n（

6、ac） nbc+nabc只会打乒乓球的是2464115（人）求 n（bc）可用公式二：402418 1064n（bc） 1aab246b 18ac abc41c 10n（ bc） 3，即同时会打篮球和排球的是3 人只会打排球的是10316（人）例 5.十进制中，六位数19xy87 能被 33 整除，求x 和 y 的 值解： 0x，y9，0x+y 18，9xy9，x+y>x y333×11，1 9 x+y+87 的和是 3 的倍数，故x+y=2,5,8,11,14,17 1+x+8 9+y+7 是 11 的倍数，故 x y=4，7x+y 和 x y 是同奇数或同偶数，它们的交集是

7、以下四个方程组的解：xy8xy14xy11xy17xy4xy4xy7xy7x2x5x9x12y6y9y2y5解得（x=12 不合题意舍去）答：x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2三 、 练 习 12 1负数集合与分数集合的交集是2等腰直角三角形集合是三角形集合与三角形集合的交集；312 的正约数集合a， 30 的正约数集合b12 和 30 的公约数集合c，集合 c 是集合 a 和集合 b 的4解以下不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：3x6x5x25x01 x132x2x20x205某数除以3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值；6九张纸各写着1

8、 到 9 中的一个自然数（不重复） ，甲拿的两张数字和是10，乙拿的两张数字差是1，丙拿的两张数字积是24，丁拿的两张数字商是3，问剩下的一张是多少？7求符合如下三条件的两位数：能被3 整除它的平方、立方的个位数都不变两个数位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同；8据 30 名同学统计，会打篮球的有22 人，其中 5 人仍会打排球；有2 人两种球都不会打；那么会打排球有几人？只会打排球是几人？9100 名同学代表选举同学会正付主席，对侯选人a 和 b 进行表决，赞成a 的有 52 票，赞成 b 的有60 票，其中a、b 都赞成的有36 人，问对a、b 都不赞成的有几人？10. 数、理、化三科竞赛，参与人数按单科统计，数学24 人，物理 18 人，化学 10 人；按两科统计，参与数理、数化、理化分别是13、4、5 人，没有三科都参与的人；求参赛的总人数，只参与数学科的人数；（此题假如改为有2 人三科都参与呢？）11. xy3xy5012. 十进制中，六位数1xy285 能被 21 整除，求 x,y的值（仿例5）三、练习 12 参考答案：1.负分数2. 等腰，直角3. 交集4 x>5, x<-2, -3