A116高斯公式课件

1、A116高斯公式PPT课件 RdxdyQdxdzPdydzdsnF、2 dxdyyxzyxRzyxzyxQzyxzyxPyDxxy),(,)(,(,)(,(, RdxdyQdxdzPdydz、1 dydzzyxP),( dzdxzyxQ),( dxdyzyxR),(总结总结 dsRQP)coscoscos( RdxdyQdxdzPdydzdsnF、3),(:yxzz A116高斯公式PPT课件设空间闭区域设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面围成取外侧由分片光滑的闭曲面围成取外侧函数函数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上具有上具有一阶连续偏导数一阶连续偏导数, , 则有公式则有公

2、式 dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydzdsnF)( 11.6 11.6 高斯公式高斯公式 dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()( 或或A116高斯公式PPT课件这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧， cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦. .证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xyD. .xyzo 由由1 , ,2 和和3 三部分组成三部分组成, ,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz 3 1 2 3 xyD.),( dxdyzyxRdvzRA116高斯公式P

3、PT课件根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdyzRxyDyxzyxz ),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR( (1 取取下下侧侧, , 2 取取上上侧侧, , 3 取取外外侧侧) ),),(,),(22 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR. 0),(3 dxdyzyxRA116高斯公式PPT课件,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是.),( dxdyzyxRdvzR

4、,),( dydzzyxPdvxP同理同理,),( dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系界曲面上的曲面积分之间的关系. .A116高斯公式PPT课件使用使用Guass公式时注意公式时注意:1 1、RQP,是是对对什什么么变变量量求求偏偏导导数数; ;2 2、是是否否满满足足高高斯斯公公式式的的条条件件; ;（拉拉普普拉拉斯斯算算子子）、2222223zyx 222222zvyvxvv （哈密尔顿算子）（哈密尔顿算子），、 zyx4（高高斯斯公公

5、式式）、dvFdsnFv 5 vdvzdxdyydxdzxdydzVzRyQxP31,6、A116高斯公式PPT课件例例1 1 计计算算曲曲面面积积分分xdydzzydxdyyx)()( 其其中中为为柱柱面面122 yx及及平平面面3, 0 zz所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧. .解解, 0,)(yxRQxzyP xozy113, 0, 0, zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dxdydzz)(.29 )(30zDdxdyzdz 29A116高斯公式PPT课件xyzo例例 2 2 计算曲面积分计算曲面积分dszyx)coscosco

6、s(222 , ,其中为其中为锥面锥面 222zyx 介于平面介于平面0 z及及)0( hhz之间的部分的下侧之间的部分的下侧, , cos,cos,cos是在是在),(zyx处处的法向量的方向余弦的法向量的方向余弦. .h A116高斯公式PPT课件xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补补充充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, 为利用为利用高斯公式高斯公式取取上上侧侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围围成成空空间间区区域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 A116高斯公式PPT课件 dvzyxdSz

7、yx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxzdzdxdy22,2| ),(222hyxyxDxy hDrdrrhddxdyyxhxy02220222)()(.214h zdv2A116高斯公式PPT课件 112222)coscoscos(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h xyDxyzoh 1 A116高斯公式PPT课件例例 3 3 计算曲面积分计算曲面积分 yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 , , 其中其中 是由曲线是由曲线)31(01 yxyz绕绕y轴旋转

8、一周轴旋转一周 所成的曲面所成的曲面, ,它的法向量与它的法向量与y轴正向的夹角恒大于轴正向的夹角恒大于2 . . 解解22101xzyyxyz 轴轴旋旋转转面面方方程程为为绕绕xyzo132 *A116高斯公式PPT课件xyzo132 * *I且有且有dvzRyQxP)(* dvyyy)4418(yzdxdydzdxyxdydzyI4)1(2)18(2 欲欲求求 dv xzDxzdydxdz3122 3120202dydd 203)2(2d,2 A116高斯公式PPT课件 *2)31(2dzdx,32 )32(2 I故故.34 )(31yDdxdzdydv221xzy 31)1(dyy ,2

9、 或：或：xyzo132 *yzdxdydzdxyxdydzy4)1(2)18(2* A116高斯公式PPT课件例例4.dddddd)(2223yxzxxzyzxzyxzxI设 为曲面21,222zyxz取上侧, 求 解解: 作取下侧的辅助面1:1z1:),(22yxDyxyxI11zyxdddyxxdd)(2xyD) 1(20d10dr221drz202dcos103drr12131zoxy211用柱坐标用柱坐标用极坐标用极坐标A116高斯公式PPT课件212222222()6,()(98)axdydzzadxdyIxyzzaxya 例 ：计算其中为下半球面的上侧， 为大于零的常数。 dxd

10、yazaxdydzaI2)(11）：）：解（解（ vSdvazaadxdyazaxdydza)22(1)(12323213azdvav 30222222adxdyzdzazayxa 323a ssdxdyazadxdyazaxdydza22)(1)(1 Dsdxdyaadxdyaa22113a )(2333aaI 23a SA116高斯公式PPT课件例例 6 6 设设),(,),(zyxvzyxu是两个定义在闭区域是两个定义在闭区域 上的上的具有二阶连续偏导数的函数具有二阶连续偏导数的函数, ,nvnu ,依次表示依次表示 ),(,),(zyxvzyxu沿沿 的外法线方向的方向导数的外法线方向

11、的方向导数. .试证试证dsnuvnvudxdydzuvvu)()( 其中其中 是空间闭区域是空间闭区域 的整个边界曲面的整个边界曲面. . ( (注注 222222zyx , ,称为拉普拉斯算子称为拉普拉斯算子) ) coscoscoszvyvxvnv 证明：证明： coscoscoszuyuxunu A116高斯公式PPT课件 coscoscoszvuyvuxvunvu coscoscoszuvyuvxuvnuv dsnuvnvu)( 即即dszuvzvuyuvyvuxuvxvucos)(cos)(cos)( dxdyzuvzvudxdzyuvyvudydzxuvxvu)()()( 222

12、2)(xuvxuxvxvuxvxuxuvxvux 又又2222xuvxvu dvzuyuxuvzvyvxvuIV)()(222222222222 A116高斯公式PPT课件三、通量与散度三、通量与散度引例引例. 设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为kzyxRjzyxQizyxPzyxv),(),(),(),(理意义可知, 设 为场中任一有向曲面, yxRxzQzyPdddddd单位时间通过曲面 的流量为 则由对坐标的曲面积分的物 由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为SRQPdcoscoscosSnvdA116高斯公式PPT课件若 为方向向外的闭曲面, yxRxzQzyPdddddd

13、当 0 时, 说明流入 的流体质量少于 当 0，表示流出多于流入，表示流出多于流入，S内部有产生流体的泉源；内部有产生流体的泉源； 0，表示流出少于流入，表示流出少于流入，S内部有吸收流体的洞；内部有吸收流体的洞； =0，表示流出与流入平衡。，表示流出与流入平衡。dsnvS 通量为正、为负、为零时的物理意义：通量为正、为负、为零时的物理意义：A116高斯公式PPT课件222221)ln(1)(1,1,0)2)ln,()zuxy iye jxzkPuxyzdiv gradu例求向量场在点处的散度。设则求zuyuxuudiv ：解解1zzxeyz2122 Pudiv)0 , 1 , 1(22)21

14、(zzxeyz 2 zuyuxugradu,2：解解uzuyuxugradudiv 222222)(2221zyx A116高斯公式PPT课件内容小结内容小结1. 高斯公式及其应用公式:yxRxzQzyPddddddzyxzRyQxPddd应用:(1) 计算曲面积分 (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧)(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件: 0ddddddyxRxzQzyP0zRyQxPA116高斯公式PPT课件2. 通量与散度 设向量场P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 的通量为 G 内任意点处的散度为 ),(RQPASnAdzRyQxPAdivA116高

15、斯公式PPT课件思考与练习思考与练习,:2222取外侧设Rzyx所围立体,222zyxr判断下列演算是否正确?(1)yxrzxzryzyrxdddddd333333vRd324 R(2)yxrzxzryzyrxdddddd333333vrzzryyrxxd33333331Ryxzxzyzyxdddddd33331Rvzyxd)(3222 为A116高斯公式PPT课件00cosrn00rn 备用题备用题 设 是一光滑闭曲面,所围立体 的体 是 外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径,222zyxr试证.dcos31VSr证证: 设 的单位外法向量为 ,cos,cos0n,0rzryrxr则coscoscosrzryrxSrdcos31Szyxdcoscoscos31vd331V的