初中九年级数学专题复习教案：动态几何之定值问题探讨2

1、【2021 年中考攻略】专题3：动态几何之定值问题探讨动态题是近年来中考的的一个热点问题，动态包括点动、 线动和面动三大类，解这类题目要 “以静制动 ”，即把动态问题， 变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特别情形； 常见的题型包括最值问题、面积问题、和差问题、定值问题和存在性问题等；前面我们已经对最值问题、面积问题、和差问题进行了探讨，本专题对定值问题进行探讨；结合 2021 年和 2021 年全国各地中考的实例，我们从三方面进行动态几何之定值问题的 探讨：（ 1）线段（和差）为定值问题；（ 2）面积（和差）为定值问题；（ 3）其它定值问题；一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例 1

2、：（ 2021 黑龙江绥化8 分）如图，点 e 是矩形 abcd的对角线bd 上的一点， 且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，点 p 为直线 ec 上的一点，且pqbc 于点 q， pr bd 于点 r（1）如图 1，当点 p 为线段 ec 中点时，易证：pr+pq=12 （不需证明）5（2）如图 2，当点 p 为线段 ec 上的任意一点（不与点e、点 c 重合）时，其它条件不变，就（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请赐予证明；如不成立，请说明理由（3）如图 3，当点 p 为线段 ec 延长线上的任意一点时，其它条件不变，就pr 与 pq 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜

3、想【答案】 解：（ 2）图 2 中结论 prpq= 12 仍成立；证明如下：5连接 bp，过 c 点作 ck bd 于点 k ；四边形abcd 为矩形，bcd=9°0；又 cd=ab=3 ，bc=4 ， bdcd 2bc 232425 ；s1bcd =21bc.cd=212bd.ck ， 3×4=5ck ， ck=；5s bcp，s1bce =2be.ck ， s1bep=2pr.be， s1bcp=2pq.bc，且sbce=sbep 1 be.ck= 122pr.be 12pq.bc；又 be=bc ， 121ck=21pr2pq； ck=pr pq；又 ck= 12 ，

4、 pr pq= 12 ；55（ 3）图 3 中的结论是pr pq= 12 5【考点】 矩形的性质，三角形的面积，勾股定理；【分析】（ 2）连接 bp，过 c 点作 ck bd 于点 k 依据矩形的性质及勾股定理求出 bd 的长，依据三角形面积相等可求出 ck 的长，最终通过等量代换即可证明；（3）图 3 中的结论是pr pq=125 ；连接 bp ， s bpe s bcp=sbec ， s bec 是固定值， be=bc为两个底， pr， pq 分别为高，从而pr pq= 12 ；5例 2：（ 2021 江西省 10 分） 如图， 已知二次函数l 1：y=x 2 4x+3 与 x 轴交于 a

5、 b 两点（点a 在点 b 左边），与 y 轴交于点c（1）写出二次函数l 1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）争论二次函数l 2： y=kx 24kx+3k （ k0）写出二次函数l2 与二次函数l 1 有关图象的两条相同的性质；是否存在实数k，使 abp 为等边三角形？假如存在，恳求出k 的值；如不存在，请说明理由；如直线y=8k 与抛物线l 2 交于 e、 f 两点，问线段ef 的长度是否发生变化？假如不会，恳求出 ef 的长度；假如会，请说明理由2【答案】 解：（ 1）抛物线yx24x3x21，二次函数l 1 的开口向上，对称轴是直线x=2 ，顶点坐标（2， 1）；（ 2）二次函数

6、l 2 与 l 1 有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过a （ 1， 0），b （ 3， 0）两点；存在实数k，使 abp 为等边三角形2 ykx24kx3kk x2k ，顶点p（ 2， k ） a （1， 0）， b（ 3，0）， ab=2要使 abp 为等边三角形，必满意| k|=3 ， k=± 3 ；线段 ef 的长度不会发生变化；直线 y=8k 与抛物线l 2 交于 e、f 两点， kx 2 4kx+3k=8k ， k0， x2 4x+3=8 ；解得： x 1= 1， x 2=5 ； ef=x 2x 1=6 ；线段 ef 的长度不会发生变化；【考点】 二次函数综合

7、题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形；【分析】（ 1）抛物线y=ax2+bx+c 中： a 的值打算了抛物线的开口方向，a 0 时，抛物线的开口向上； a 0 时，抛物线的开口向下；抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解；（ 2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析；当 abp 为等边三角形时，p 点必为函数的顶点，第一表示出p 点纵坐标，它的肯定值正好是等边三角形边长的32倍，由此确定k 的值；联立直线和抛物线l 2 的解析式，先求出点e、f 的坐标，从而可表示出ef 的长，如该长度为定值，就线段ef

8、的长不会发生变化；例 3：（ 2021 山东德州12 分） 如下列图，现有一张边长为4 的正方形纸片abcd ，点 p 为正方形 ad 边上的一点（不与点a 、点 d 重合）将正方形纸片折叠，使点b 落在 p 处，点c 落在 g 处， pg 交 dc 于 h，折痕为ef，连接 bp、bh （1）求证： apb= bph ；（2）当点 p 在边 ad 上移动时，pdh 的周长是否发生变化？并证明你的结论；（3）设 ap 为 x，四边形 efgp 的面积为s，求出 s 与 x 的函数关系式，试问s 是否存在最小值？如存在，求出这个最小值；如不存在，请说明理由【答案】 解：（ 1）如图 1， pe=

9、be， ebp= epb又 eph= ebc=90° ， eph epb= ebc ebp，即 pbc= bph；又 ad bc， apb= pbc； apb= bph；（ 2） phd 的周长不变为定值8；证明如下：如图 2，过 b 作 bq ph，垂足为q；由（ 1）知 apb= bph，又 a= bqp=9°0 ， bp=bp ， abp qbp （ aas ）； ap=qp ， ab=bq ；又 ab=bc ， bc=bq ；又 c= bqh=9°0， bh=bh ， bch bqh （ hl ）； ch=qh ； phd 的周长为： pd+dh+ph=a

10、p+pd+dh+hc=ad+cd=8；（ 3）如图 3，过 f 作 fm ab ，垂足为m ，就 fm=bc=ab ；又 ef 为折痕， ef bp； efm+ mef= abp+ bef=90°； efm= abp ；又 a= emf=9°0， ab=me ， efm bpa （asa ）；em=ap=x 在 rt ape 中，（ 4 be）2+xx 222=be ，即be2+ x；28 cfbeem2+x ；8又四边形pefg 与四边形befc 全等，11x 21212 sbecfbc=4+x4=x2x+8=x2+6 ；22422 0 <1 < 4 ，当 x

11、=2 时， s 有最小值6；2【考点】 翻折变换（折叠问题） ，正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的最值；【分析】（ 1）依据翻折变换的性质得出pbc= bph ，进而利用平行线的性质得出apb= pbc 即可得出答案；（ 2）先由 aas 证明 abp qbp，从而由hl 得出 bch bqh ，即可得ch=qh ；因此， pdh 的周长 =pd+dh+ph=ap+pd+dh+hc=ad+cd=8为定值；（ 3）利用已知得出efm bpa ，从而利用在rt ape 中，（ 4 be） 2+x22=be ，利用二次函数的最值求出即可；例 4：（ 2021 福建

12、泉州12 分） 已知： a 、b、 c 不在同始终线上.（1）如点 a 、b、 c 均在半径为r 的 o 上，i ）如图一，当a=45°时， r=1，求 boc 的度数和bc 的长度；bcii ）如图二，当a 为锐角时，求证sin a=；2r（2）.如定长线段 bc 的两个端点分别在man 的两边 am 、an （b 、c 均与点 a 不重合）滑动，如图三，当man=6°0，bc=2 时，分别作bpam ，cp an ，交点为点p ，摸索索：在整个滑动过程中，p、a 两点的距离是否保持不变？请说明理由.【答案】 解：（ 1） i） a=45°， boc=90

13、76;（同弧所对的圆周角等于其所对的圆心角的一半）；又 r=1，由勾股定理可知bc=11=2 ；ii ）证明：连接bo 并延长，交圆于点e，连接 ec；可知 ec bc （直径所对的圆周角为90°），且 e= a （同弧所对的圆周角相等）；bcbc故 sin a=sin a=；be2r（ 2）保持不变；理由如下：如图，连接ap ，取 ap 的中点 k，连接 bk 、ck ，在 rt apc 中， ck= 12同理得： bk=ak=pk；ap=ak=pk ；ck=bk=ak=pk；点 a、 b、p、c 都在 k 上；由（ 1） ii ） sin a= bc2r可知 sin60 

14、6;= bc ；apap=bc43sin603（为定值）；【考点】 三角形的外接圆与外心，圆周角定理，勾股定理，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值，直角三角形中线性质；【分析】（ 1）i ）依据圆周角定理得出boc=2 a=90°，再利用勾股定理得出bc 的长；bcbc出即可；ii ）作直径ce，就 e= a ， ce=2r，利用 sin a=sin e=，得be2r（ 2 ）第一证明点a 、 b 、 p 、 c都在 k上，再利用sin a= bc2r，得出ap=bc43sin603（定值）即可；例 5：（ 2021 山东潍坊11 分） 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于a 2， o

15、 、b2 ， 0、 c0， l 三点，过坐标原点o 的直线 y=kx 与抛物线交于m 、n 两点分别过点c、d0 ，2 作平行于 x 轴的直线l1 、 l 2 1 求抛物线对应二次函数的解析式；2 求证以 on 为直径的圆与直线l1 相切；3 求线段 mn 的长 用 k 表示 ，并证明m 、n 两点到直线l 2 的距离之和等于线段mn的长【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数的解析式为y=ax 2 bx c，14a2b+c=0就4a+2b+c=0 c=1a=4解得b=0；c=1抛物线对应二次函数的解析式所以y= 1 x 21；4（ 2）设 mx 1， y1 ， nx 2 ，y2，由于点m

16、、n 在抛物线上，12122 y1=x11，y 2 =x 21 ， x 2 =4y 2+1 ；442又 on22x 2y24 y221y 2y222， ony 22 ；又 y 2 l， on=2 y2；设 on 的中点 e，分别过点n、e 向直线l1 作垂线，垂足为 p、 f， 就efocnp 22y 2 ，2on=2ef ，即 on 的中点到直线l1 的距离等于on 长度的一半，以 on 为直径的圆与l 1 相切；（3）过点m作mh np交np于点h，就mn 2mh 2nh 22x 2x12y 2y1，又 y 1=kx 1， y 2=kx 2，（ y 2 y 12=k 2x 2x 12； m

17、n 2=1+k 2x 2 一 xl 2；又点 m 、n 既在 y=kx 的图象上又在抛物线上， kx=1 x 241 ，即 x2 4kx 4=0 ， x2 x1 =4k ， x2·x 1= 4；mn=41+k 2 ；2mn=1+k2x 2一x l2=1+k2x 2 xl 2 4x2 2；2·xl=161+k 延长 np 交 l 2 于点 q，过点 m 作 ms l 2 交 l 2 于点 s，就 ms nq=y 2 y 2= 1 x 2121+41= 1x 2 +x 221+2=412x +x1+x 2412xx+2=16k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1+k 241

18、2412124 ms+nq=mn ，即 m 、n 两点到l 2 距离之和等于线段mn 的长；【考点】 二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理；【分析】（ 1）依据点在曲线上，点的坐标满意方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式；（2）要证以on 为直径的圆与直线l1 相切，只要证on 的中点到直线l1 的距离等于on 长的一半即可；（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出mn 和 m 、n 两点到直线l 2 的距离之和，相比较即可；例 6：（ 2021 湖北咸宁10 分） 如图 1，矩

19、形 mnpq 中，点 e，f，g，h 分别在 np，pq，qm ，mn 上，如1234 ，就称四边形efgh 为矩形 mnpq 的反射四边形图2，图3，图 4 中，四边形abcd为矩形，且ab=4 ，bc=8 懂得与作图：（ 1）在图 2，图 3 中，点 e， f 分别在 bc， cd 边上，试利用正方形网格在图上作出矩形 abcd 的反射四边形efgh 运算与猜想：（ 2）求图 2，图 3 中反射四边形efgh 的周长，并猜想矩形abcd的反射四边形的周长是否为定值？启示与证明：（ 3）如图 4，为了证明上述猜想，小华同学尝试延长gf 交 bc 的延长线于m ，试利用小华同学给我们的启示证明

20、（2）中的猜想【答案】 解：（1）作图如下：（ 2）在图 2 中，effgghhe22422025 ，四边形efgh 的周长为 85 ；1在图 3 中，efgh222225 ，fghe364535 ，四边形efgh 的周长为 2523585 ；猜想：矩形abcd的反射四边形的周长为定值；（ 3）延长 gh 交 cb 的延长线于点n ，12 ，15 ，25 ；又 fc=fc ， rt fce rtfcm （ asa ）； ef=mf ， ec=mc ；同理： nh=eh ， nb=eb ； mn=2bc=16 ；m905901，n903 ， 13 ，mn ； gm=gn ；过点 g 作 gk b

21、c 于 k ，就 km1mn8 ；222 gmgkkm224845 ；四边形efgh 的周长为 2gm85 ；矩形abcd的反射四边形的周长为定值；【考点】 新定义，网格问题，作图（应用与设计作图），勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质；【分析】（ 1）依据网格结构，作出相等的角即可得到反射四边形；（2）图 2 中，利用勾股定理求出ef=fg=gh=he的长度，然后即可得到周长，图3 中利用勾股定理求出ef=gh ，fg=he 的长度，然后求出周长，从而得到四边形efgh 的周长是定值；（3）延长 gh 交 cb 的延长线于点 n，再利用 “asa”证明 rt

22、fce 和 rt fcm 全等，依据全等三角形对应边相等可得 ef=mf ， ec=mc ，同理求出 nh=eh ， nb=eb ，从而得到 mn=2bc ，再证明 gm=gn ，过点 g 作 gk bc 于 k ，依据等腰三角形三线合一的性质求出 km周长；1 mn8 ，再利用勾股定理求出gm 的长度，然后即可求出四边形efgh 的2例 7：（ 2021 广西崇左10 分） 如下列图，在正方形abcd 中，点 e、f 分别在 bc、cd 上移动，但点a到 ef 的距离 ah 始终保持与ab 的长度相等，问在点e、f 移动过程中；（ 1） eaf 的大小是否发生变化？请说明理由.（ 2） ec

23、f 的周长是否发生变化？请说明理由.练习题：1. （ 2021 湖南岳阳8 分） 如图，将菱形纸片ab （ e）cd （f）沿对角线bd（ ef）剪开，得到 abd 和 ecf，固定 abd ，并把 abd 与 ecf 叠放在一起（1）操作：如图，将ecf 的顶点 f 固定在 abd 的 bd 边上的中点处，ecf 绕点 f在 bd 边上方左右旋转，设旋转时fc 交 ba 于点 h（ h 点不与 b 点重合）， fe 交 da 于点g（ g 点不与 d 点重合）求证： bh.gd=bf 2（2）操作：如图，ecf 的顶点 f 在 abd 的 bd 边上滑动（ f 点不与 b 、d 点重合），且

24、 cf 始终经过点a ，过点 a 作 ag ce，交 fe 于点 g，连接 dg 探究： fd+dg=请予证明2. （ 2021 四川眉山11 分） 如图，在直角坐标系中，已知点a （ 0， 1）， b （ 4， 4），将点b 绕点 a 顺时针方向旋转90°得到点 c；顶点在坐标原点的拋物线经过点b （1）求抛物线的解析式和点c 的坐标；（2）抛物线上一动点p，设点 p 到 x 轴的距离为d1，点 p 到点 a 的距离为 d2，试说明 d2=d11；（3）在（ 2）的条件下，请探究当点p 位于何处时，pac 的周长有最小值，并求出pac的周长的最小值3. （ 2021 湖南郴州10

25、分） 如图， rt abc 中， a=30°， bc=10cm ，点 q 在线段 bc 上从 b 向 c 运动，点 p 在线段 ba 上从 b 向 a 运动 q、p 两点同时动身，运动的速度相同， 当点 q 到达点 c 时，两点都停止运动作pm pq 交 ca 于点 m ，过点 p 分别作 bc 、ca的垂线，垂足分别为e、f（1）求证： pqe pmf ；（2）当点 p、 q 运动时，请猜想线段pm 与 ma 的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设 bp= x ， pem 的面积为y ，求 y 关于 x 的函数关系式，当x 为何值时，y 有最大值，并将这个值求出来4. （ 2

26、021 辽宁营口14 分） 已知正方形abcd ，点 p 是对角线 ac 所在直线上的动点，点e在 dc 边所在直线上，且随着点p 的运动而运动，pepd 总成立1如图 1 ，当点 p 在对角线ac 上时，请你通过测量、观看，猜想pe 与 pb 有怎样的关系？ 直接写出结论不必证明；2如图 2 ，当点 p 运动到 ca 的延长线上时，1 中猜想的结论是否成立？假如成立，请给出证明；假如不成立，请说明理由；3如图 3 ，当点 p 运动到 ca 的反向延长线上时，请你利用图 3 画出满意条件的图形，并判定此时pe 与 pb 有怎样的关系？直接写出结论不必证明125. （ 2021 贵州遵义12 分

27、） 如图，梯形abcd中， ad bc， bc 20cm， ad 10cm，现有两个动点 p、q分别从 b、d 两点同时动身，点 p 以每秒 2cm 的速度沿 bc 向终点 c 移动，点 q 以每秒 1cm的速度沿 da向终点 a 移动，线段pq 与 bd 相交于点 e，过 e 作 ef bc 交 cd 于点 f，射线 qf 交 bc的延长线于点h ，设动点 p、q 移动的时间为t（单位：秒， 0<t<10 ）（1）当 t 为何值时，四边形pcdq 为平行四边形？（2）在 p、q 移动的过程中，线段ph 的长是否发生转变？假如不变，求出线段ph 的长；假如转变，请说明理由6.（ 2

28、021 黑龙江龙东五市8 分）如图，点 e 是矩形 abcd 的对角线bd 上的一点，且 be=bc ，ab=3 ， bc=4 ，点 p 为直线 ec 上的一点，且pqbc 于点 q， pr bd 于点 r；（1）如图 1，当点 p 为线段 ec 中点时，易证：pr+pq= 12 （不需证明） ；5（2）如图 2，当点 p 为线段 ec 上的任意一点（不与点e、点 c 重合）时，其它条件不变，就（ 1）中的结论是否仍旧成立？如成立，请赐予证明；如不成立，请说明理由；（3）如图 3，当点 p 为线段 ec 延长线上的任意一点时，其它条件不变，就pr 与 pq 之间又具有怎样的数量关系？请直接写出

29、你的猜想；二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例 1：（ 2021 湖北十堰3 分） 如图， o 是正 abc 内一点， oa=3 ， ob=4 ， oc=5 ，将线段bo 以点 b 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段bo，以下结论：boa可以由 boc绕点 b 逆时针旋转60°得到；点 o 与 o的距离为 4； aob=15°0； s四 边形aobo=6+33 ； s aocs aob6+ 934其中正确的结论是【】a b cd【答案】 a ；【考点】 旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理；【分析】 正 abc ， ab

30、=cb ， abc=60 0 ；线段bo以点b为旋转中心逆时针旋转60°得到线段bo， bo=bo ， oao=600； oba=600 abo= oba ； boa boc ； boa可以由 boc 绕点 b 逆时针旋转60°得到；故结论正确；连接 oo， bo=bo，oao=600， obo是等边三角形； oo=ob=4；故结论正确；在 aoo中，三边长为oa=oc=5，oo=ob=4，oa=3 ，是一组勾股数， aoo 是直角三角形；=150 °；故结论正确； aob= aoo oob =90 0 600sss13 4+ 14 236+43；故结论错误；四

31、边形 aoboaooobo22如下列图，将aob 绕点 a 逆时针旋转60°，使得 ab 与 ac 重合，点 o 旋转至 o点易知 aoo 是边长为3 的等边三角形，coo 是边长为3、4、5 的直角三角形；就 sssss1 3 4+ 1 3 33 =6+ 93 ；aocaobaococooaoo故结论正确；2224综上所述，正确的结论为：；应选a ；例 2：（ 2021 广西玉林、防城港12 分） 如图，在平面直角坐标系x o y 中，矩形 aocd 的顶点 a 的坐标是（ 0,4），现有两动点 p、 q，点 p 从点 o 动身沿线段 oc（不包括端点 o，c）以每秒 2 个单位长

32、度的速度， 匀速向点 c 运动，点 q 从点 c 动身沿线段 cd（不包括端点 c， d）以每秒 1 个单位长度的速度匀速向点 d 运动 .点 p，q 同时动身，同时停止，设运动时间为 t 秒，当 t=2 秒时 pq= 25 .（1）求点 d 的坐标，并直接写出t 的取值范畴；（2）连接 aq 并延长交 x 轴于点 e,把 ae 沿 ad 翻折交 cd 延长线于点 f,连接 ef，就 aef的面积 s 是否随 t 的变化而变化？如变化，求出 s 与 t 的函数关系式；如不变化，求出 s 的值.（3）在（ 2）的条件下， t 为何值时，四边形 apqf 是梯形？2【答案】 解：（ 1）由题意可知

33、，当 t=2（秒）时， op=4， cq=2 ，在 rt pcq 中，由勾股定理得：pc=pq2cq 22522=4 ， oc=op+pc=4+4=8 ；又矩形aocd ， a （ 0，4）， d（ 8，4）；t 的取值范畴为：0 t 4；（ 2）结论： aef 的面积 s 不变化； aocd 是矩形， ad oe， aqd eqc ； cecq ，即addqcet84t，解得 ce=8t；4t由翻折变换的性质可知：df=dq=4 t，就 cf=cd+df=8 t；s=s 梯形 aocf s fce s aoe =1 （ oa+cf ） .oc+21cf.ce21oa.oe21=4 （ 8 t

34、） ×8+21 8t（ 8t ） .2 4t 1 ×4×（88t）；24t化简得： s=32 为定值；所以 aef 的面积 s 不变化， s=32；（ 3）如四边形apqf 是梯形，由于ap 与 cf 不平行，所以只有pq af ；由 pq af 可得： cpq daf ； cp： ad=cq ： df ，即 8 2t： 8= t ： 4 t，化简得t2 12t16=0 ，解得： t1=6+25 ， t2= 625 ；由（ 1）可知， 0 t 4， t1=6+25 不符合题意，舍去；当 t= 625 秒时，四边形apqf 是梯形；【考点】 动点和翻折问题，矩形的性

35、质，勾股定理，翻折对称的性质，相像三角形的判定和性质，梯形的性质，解一元二次方程；【分析】（1）由勾股定理可求pc 而得点 c 的坐标，依据矩形的性质可得点d 的坐标；点p 到达终点所需时间为8÷2=4 秒， 点 q 到达终点所需时间为4÷1=4 秒， 由题意可知， t 的取值范畴为： 0 t4；（2）依据相像三角形和翻折对称的性质，求出s 关于 t 的函数关系式，由于关系式为常数，所以aef 的面积 s 不变化， s=32；（3）依据梯形的性质，应用相像三角形即可求解；例 3：（ 2021 江苏苏州 9 分） 如图，正方形abcd 的边 ad 与矩形 efgh 的边 fg

36、 重合，将正方形 abcd以 1cm/s 的速度沿fg 方向移动，移动开头前点a 与点 f 重合 .在移动过程中，边ad 始终与边 fg 重合，连接 cg，过点 a 作 cg 的平行线交线段gh 于点 p，连接 pd.已知正方形abcd 的边长为1cm，矩形 efgh的边 fg、gh 的长分别为4cm、 3cm.设正方形移动时间为x （ s），线段 gp 的长为 y （ cm），其中0 x 2.5.试求出 y 关于 x 的函数关系式，并求出y =3 时相应 x 的值；记 dgp 的面积为s1， cdg 的面积为 s2试说明s1 s2 是常数；当线段 pd 所在直线与正方形abcd 的对角线ac

37、 垂直时，求线段pd 的长 .【答案】 解：（ 1） cg ap， cgd= pag，就 tancgd= tanpag ； cd= pg ；gdag gf=4 ， cd=da=1 ， af=x ， gd=3 x ，ag=4 x；1=y，即y= 4x ； y 关于 x 的函数关系式为y= 4x ；3x4x3x3x当 y =3 时， 3= 4x ，解得 :x=2.5 ；3x（2） s = 1gp gd=14x3x1 x+2， s = 1gd cd= 13x11 x+ 3 ，1223x222222 ss =1 x+21 x+31 为常数；122222（ 3）延长 pd 交 ac 于点 q.正方形 a

38、bcd 中， ac 为对角线，cad=4°5；pqac ， adq=4°5； gdp= adq=4°5； dgp 是等腰直角三角形，就gd=gp ； 3x= 4x3x，化简得：x 25x+5=0 ，解得：x= 55 ；20x2，.5 x= 55 ；2在 rt dgp 中，pd=gd=2 3x =23552+10=；cos45022【考点】 正方形的性质，一元二次方程的应用，等腰直角三角形的性质，矩形的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特别角的三角函数值；【分析】（ 1）依据题意表示出ag 、gd 的长度，再由tancgd= tanpag 可解出 x 的值；（2

39、）利用（ 1）得出的y 与 x 的关系式表示出s1、s2，然后作差即可；（3）延长 pd 交 ac 于点 q，然后判定 dgp 是等腰直角三角形，从而结合x 的范畴得出x 的值，在rt dgp 中，解直角三角形可得出pd 的长度；例 4：（ 2021 四川自贡12 分） 如下列图，在菱形abcd 中， ab=4 ， bad=12°0， aef为正三角形，点e、f 分别在菱形的边bc cd 上滑动，且e、f 不与 b cd 重合（1）证明不论e、f 在 bc cd 上如何滑动，总有be=cf ；（2）当点 e、 f 在 bc cd 上滑动时，分别探讨四边形aecf 和 cef 的面积是

40、否发生变化？假如不变，求出这个定值；假如变化，求出最大（或最小）值【答案】 解：（ 1）证明：如图，连接ac四边形 abcd 为菱形， bad=12°0， bae+ eac=60° ， fac+ eac=60° ， bae= fac ； bad=12°0， abf=60° ； abc 和 acd 为等边三角形； acf=60° ， ac=ab ； abe= afc ；在 abe 和 acf 中， bae= fac ， ab=ac ， abe= afc ， abe acf （ asa ）； be=cf ；（ 2）四边形aecf 的面积不

41、变，cef 的面积发生变化；理由如下：由（ 1）得 abe acf ，就 s abe=s acf；s 四边形 aecf=saec +s acf=s aec+sabe =s abc ，是定值；作 ah bc 于 h 点，就 bh=2 ，s四边形 aecfs abc1 bc ah1 bcab2bh 243 ；22由 “垂线段最短 ”可知：当正三角形aef 的边 ae 与 bc 垂直时， 边 ae 最短故 aef 的面积会随着ae 的变化而变化， 且当 ae 最短时， 正三角形 aef的面积会最小，又 s cef=s 四边形 aecf s aef ，就此时 cef 的面积就会最大 s s122 ce

42、f=s 四边形 aecf aef43232333 ；2 cef 的面积的最大值是3 ；【考点】 菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，垂直线段的性质；【分析】 （ 1）先求证 ab=ac ，进而求证abc 、 acd 为等边三角形，得acf =60°， ac=ab ，从而求证abe acf ，即可求得be=cf ；（2）由 abe acf可得s abe =sacf，故根据s四边形aec f=saec +s acf =saec +s ab e=s abc 即可得四边形aecf 的面积是定值； 当正三角形 aef的边 ae 与 bc 垂直时，边ae 最短

43、aef 的面积会随着ae 的变化而变化，且当ae 最短时，正三角形aef 的面积会最小，依据s cef=s 四边形 aecf s aef ，就 cef 的面积就会最大；例 5：（ 2021 湖南益阳12 分） 已知：如图1，在面积为3 的正方形abcd 中， e、f 分别是bc 和 cd 边上的两点，ae bf 于点 g，且 be=1 （1）求证： abe bcf ；（2）求出 abe 和 bcf 重叠部分（即beg ）的面积；（3）现将 abe 绕点 a 逆时针方向旋转到abe（如图 2），使点 e 落在 cd 边上的点e处，问 abe 在旋转前后与bcf 重叠部分的面积是否发生了变化？请说

44、明理由【答案】（ 1）证明：四边形abcd 是正方形，abe= bcf=90°， ab=bc ； abf+ cbf=90° ； ae bf， abf+ bae=90° ； bae= cbf ；在 abe 和 bcf 中， abe= bcf， ab=bc ， bae= cbf ， abe bcf（ asa ）；（2）解：正方形面积为3， ab=3 ；在 bge 与 abe 中， gbe= bae ， egb= eba=90° ， bge abe ； s bges abe= be 2 ；ae=ab又 be=1， ae 22+be2=3+1=4 ；be 2 s

45、 bge =2aes abe133；428练习题：1. （ 2021 山东东营12 分）如下列图， 四边形 oabc 是矩形 点 a 、c 的坐标分别为 3，0 ，0，1，点 d 是线段 bc 上的动点 与端点 b 、c 不重含 ，过点 d 作直线 yoab 于点 e；(1) 记 ode 的面积为 s求 s 与 b 的函数关系式：1 xb 交折线21(2) 当点 e 在线段 oa 上时，且tan deo=2；如矩形oabc 关于直线de 的对称图形为四边形o1a1 b1c1 摸索究四边形o1a 1b1c1 与矩形 oabc 的重叠部分的面积是否发生变化，如不交，求出该重叠部分妁面积；如转变请说明理由；2. （ 2021 浙江舟山、嘉兴12 分） 已知直线ykx3 （ k 0）分别交x 轴、 y 轴于 a 、b两点，线段 oa 上有一动点p 由原点 o 向点 a 运动， 速度为每秒1 个单位长度， 过点 p 作 x轴的垂线交直线ab 于点 c，设运动时间为t 秒（ 1）当 k1时，线段oa 上另有一动点q 由点 a 向点 o 运动，它与点p 以相同速度同时动身